经济学微积分最值问题及其应用

1、一、函数的最大值与最小值一、函数的最大值与最小值 二、经济应用问题举例二、经济应用问题举例 三、小结三、小结 思考题思考题 第四节第四节 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 及其在经济中的应用及其在经济中的应用 一、函数的最大值与最小值 经济问题中，经常有这样的问题，怎样才经济问题中，经常有这样的问题，怎样才 能使能使“产品最多产品最多”、“用料最少用料最少”、“成本最成本最 低低”、“效益最高效益最高”等等这样的问题在数学中等等这样的问题在数学中 有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最 大值或最小值问题大值或最小值问题 根据自变量的取值范围

2、，分以下两种情况根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论讨论 1目标函数在闭区间连续目标函数在闭区间连续 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法 步骤如下：步骤如下： 第二步，计算所求出的各点的函数值，比第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值较其大小，选出最大值和最小值 2目标函数在开区间连续目标函数在开区间连续 开区间的连续函数不一定有最大、最小值开区间的连续函数不一定有最大、最小值 即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求即使有最大值、最

3、小值，也不能用上述方法求 出若函数满足下列两个条件：出若函数满足下列两个条件： 则可以断定这个极值点一定是函数的最大则可以断定这个极值点一定是函数的最大 （小）值点（小）值点 1. 1. 最大利润问题最大利润问题 二、经济应用问题举例 )()()()( )()( QCQRQLQL QCQRQ 可可表表示示为为则则总总利利润润 ，和和的的函函数数，分分别别记记为为示示为为产产量量 总总成成本本都都可可以以表表在在经经济济学学中中，总总收收入入和和 0 )()()( dQ QCQRd dQ QdL 零，即零，即 其一阶导数等于其一阶导数等于为使总利润最大，须令为使总利润最大，须令 dQ QdC d

4、Q QdR)()( 表表示示边边际际成成本本表表示示边边际际收收益益， dQ QdC dQ QdR)()( 显然，为使总利润达到最大，还应有显然，为使总利润达到最大，还应有 )0)()( , 0 )()( 2 2 QCQR dQ QCQRd )()( , )()( 2 2 2 2 QCQR dQ QCd dQ QRd 即即 解：解：则则设利润为设利润为),(XL 20001. 05)()()( 2 XXXCXRXL XXL02. 05)( ，由于，由于台台，解得，解得令令)(2500)( XXL 002. 0)( X L .)(425)250(值值为为极极大大值值，也也就就是是最最大大万万元元

5、所所以以 L 解：解：故故得得收收益益函函数数得得由由,/ )(eQdPepdQ )()(eQdQPQQR 利利润润函函数数为为 2 ( )( )( ) ()() L QR QC Q db Qea Qc QaebdQL)(2)()( )(2/ )( 0)( 0 aebdQ QL 得唯一驻点得唯一驻点 ，由由 故故又又, 0)(2 aeL 最最大大值值为为时时利利润润最最大大, )(2/ )( 0 aebdQQ caebd aebaLQL )(4/)( )(2/ )()( 2 0 解解 )5025000()2)(8012000(QPPL 6490001616080 2 PP 16160160)(

6、 PPL 且且是是唯唯一一极极值值点点，得得令令1010)( PPL 元元时时，故故当当又又因因101, 0160)101( PL )(167080)101( )( 元元 有最大值，且最大值为有最大值，且最大值为 L PL 2. 最大收益问题最大收益问题 例例 4 4 某某商商品品的的需需求求函函数数为为 2 75)(PPQQ ， 问问 P P 为为多多少少时时，总总收收益益最最大大？ 解：解：PPQPPR)75()( 2 2 375)(PPR )(5, 0)(唯唯一一驻驻点点得得令令 PPR .5, 030)( 5 时时收收益益最最大大故故 PPR P 解解 00 ()0,() abb R

7、PPbabc cc 令令得得 时时故当故当 由题设由题设 )(0 , 0, bca c b P Pbca . , 0 的的增增加加而而增增加加相相应应的的销销售售额额将将随随单单价价 有有 P R )()()1(c bP a PPQPR 销售额销售额 2 2 )( )( )( bP bPcab PR ,)(时时当当bca c b P .的的增增加加而而减减少少相相应应的的销销售售额额将将随随单单价价P 售售额额为为处处取取得得最最大大值值，最最大大销销在在点点，所所以以 又又是是唯唯一一驻驻是是销销售售额额的的极极大大值值点点，可可知知由由 0 0 )1()2( PR P 2 0 )( /)(

8、 bca c c ab ab c ab PR 解解),60(10)()1( 2 xexxPxR x ;)2(5)( 2 x exxR 边际收益函数为边际收益函数为 052/ )4(5)( , 2, 0)()2( 1 2 2 2 exexR xxR x x x 又又 得唯一驻点得唯一驻点令令 1 10)2(2 eRx为为为最大值点，最大收益为最大值点，最大收益故故 相应的价格为：相应的价格为： 1 2 2 1010 eeP x x 列表如下：列表如下： 内，内，的点插入的点插入把把6 , 0)0)(4, 2)3( xRxx x(0,2)2(2,4)4(4,6) +0- -0+ 极大值拐 点 )(

9、x R )(x R )(xR 1 20 e )40, 4( 2 e 其图形如下：其图形如下： 0 x R 246 3 60 e 2 40 e 1 20 e 解：解： 40 200 25000)( )( x xx xC xC 40 125000 )( 2 x xC .1000 .)(10 01050)1000( )(1000,1000, 0)( 3 5 21 件产品件产品小，应生产小，应生产因此，要使平均成本最因此，要使平均成本最 取最小值取最小值时，时，故当故当 ，因因 ，舍舍得得由由 xCx C xxxC )()()(xCxRxL )() 40 20025000(500 2 xL x xx

10、20 200500 x 6000, 0)( xxL得得令令 件产品时利润最大件产品时利润最大故生产故生产6000, 0 20 1 )( x L 3. 经济批量问题经济批量问题 (一一)经济批量概念经济批量概念 所所谓谓经经济济批批量量问问题题就就是是确确定定合合理理的的采采购购进进 货货的的批批量量，使使库库存存费费用用和和采采购购费费用用之之和和最最小小. (二二)经济批量问题的求法及原理经济批量问题的求法及原理 . . 下下图图所所示示 化化如如库库存存量量相相对对于于时时间间的的变变为为进进货货周周期期 为为时时间间，库库存存量量为为批批采采购购，批批量量为为 ，全全年年分分量量为为设设

11、某某种种货货物物的的全全年年需需求求 T txXN a 0 t T 2 X (库存量库存量) X最最高高库库存存量量 2 X 平平均均库库存存量量 2 20 2)( X X ）（ 最最小小库库存存量量最最大大库库存存量量平平均均库库存存量量 则则表表示示全全年年的的采采购购次次数数， 表表示示全全年年的的需需求求量量，量量，用用可可看看成成全全年年的的平平均均库库存存 N a X 2 x X X a N 则则全全年年的的采采购购费费用用为为 需需的的采采购购费费用用，表表示示每每采采购购一一批批货货物物所所用用b X ab X a bbN ，因因此此，总总费费用用为为则则全全年年的的库库存存费

12、费用用为为 一一年年所所需需费费用用，表表示示一一个个单单位位货货物物库库存存用用 2 CX C 2 )( CX X ab XE 的的函函数数：，故故总总费费用用也也可可表表示示为为又又N N a X ()/()()() 22 aaCaC E NabbN NNN 2 22 2 (),0 22 CabCXab E XX XX 由由 为为最最小小值值点点故故 又又 0 3 ),0,(0 2 )( X Xba X ab XE C ab XXEXE 2 )( , 0 )( 0 的唯一驻点的唯一驻点得得令令 且且最最小小总总费费用用为为 0 0 0 2 ()2 222 XabCabC E XCababC

13、 XCab 22 2 0 2 )( X abC X abC XE得得由由 即即得得等等式式两两边边乘乘,X X abCX 2 费用费用 批量批量 总费用总费用 库存费用库存费用 采购费用采购费用 经济采购费用经济采购费用 例例 8 8 某厂生产某种产品，其年销售量为某厂生产某种产品，其年销售量为 100100 万件，每万件，每 批生产需要增加准备费批生产需要增加准备费 10001000 元，而每件的一年库存费元，而每件的一年库存费 为为 0.050.05 元元. .如果年销售率为平均的， 且上批售完后立即如果年销售率为平均的， 且上批售完后立即 生产出下批生产出下批( (此时商品的库存数为批量

14、的一半此时商品的库存数为批量的一半) )， 问应分， 问应分 为几批生产，能使采购费用及库存费之和最小？为几批生产，能使采购费用及库存费之和最小？ 解解解法一解法一 N x a bNb1000 一一年年生生产产准准备备费费为为 1000000a x NN 批批量量 （N为批数）为批数） 05. 0 2 1000000 2 , 2 1000000 2 N x C N x 库存费库存费库存量库存量 于于是是总总费费用用为为 05.0 2 1000000 1000)( N NNE 25000 1000,(0,)NN N 2 25000 ()10000,E N N 令令得得 )(55舍舍去去或或 NN

15、 .5, 0 50000 )( 3 时时总总费费用用最最小小故故 N N NE .5小小批批生生产产，能能使使总总费费用用最最即即分分 解法二解法二 2 Cxab x 由由得得 ,200000 10001000000 )05.0( 2 x x x 得得 所以所以即经济批量即经济批量,200000 x 5 200000 1000000 x a N .5批批生生产产总总费费用用最最小小即即分分 4. 最大税收问题：最大税收问题： 则则，每每件件商商品品征征税税为为为为 ，征征税税后后的的总总成成本本为为设设企企业业某某件件商商品品的的产产量量 ,)(txC x t )()()(xtxCxC t t

16、t xCxRxL)()()( 征征税税后后的的利利润润为为 ( )( )( )R xC xt x 时时，有有最最大大值值，时时，且且当当0)(0)( tt xLxL ,txttxT 政政府府得得到到的的总总税税收收为为 ;txx 此时解出的产量此时解出的产量 可见最大税收问题仍为一元函数的最值问题. 解：解： xP420 需需求求函函数数 2)( xC平平均均成成本本又又 txxxC t 2)(税税收收后后的的总总成成本本 )420()(xxxPxR 收入函数收入函数 xxC 2)(总成本总成本 征征税税后后利利润润函函数数)1( tt xCxRxL)()()( txxxx 2420 2 2

17、(18)4t xx xtxL t 818)( 8 18 , 0)( t xxL t 则则当当 2 22 8 18 420 tt P 此此时时， 08)( t xL又又 有最大值有最大值 t xL)( 16 )18( ) 8 18 ( 4 8 )18( ) 8 18 ( 2 2 2 tttt L t 8 )18( 2 tt txT 此此时时，总总税税收收 4 9 8 218tt T 9, 0 tT则则令令 0 4 1 T又又.有有最最大大值值T . 8 81 9 TT时时，税税收收的的最最大大值值为为即即当当 16 81 L利润的最大值为利润的最大值为 是是税后，付给企业的价格税后，付给企业的价

18、格 的销售的销售若征收若征收需求函数需求函数%25,420)2(XP )420( 4 3 xP t tt xCxRxL)()()( 利利润润函函数数为为 2 3132)420( 4 3 xxxxx 6 13 , 0)( xxL t 则则 06)( t xL又又 有最小值有最小值 t xL)( 12 169 6 13 Lx时时，有有最最大大利利润润即即当当 5. 其他方面的应用：其他方面的应用： 例例 1 10 0( (最最 优优 门门 票票 票票 价价 问问 题题 ) )某某 单单 位位 准准 备备 举举 行行 一一 次次 游游 园园 会会 ， 据据 测测 ， 若若 门门 票票 为为 每每 人

19、人 8 8 元元 ， 观观 众众 将将 有有 3 30 00 0 人人 ， 且且 门门 票票 每每 降降 低低 一一 元元 ， 观观 众众 将将 增增 加加 6 60 0 人人 . .试试 确确 定定 当当 门门 票票 多多 少少 时时 可可 使使 门门 票票 收收 入入 最最 大大 ， 并并 求求 相相 应应 的的 门门 票票 收收 入入 . . 解解 应应相相等等，即即 法法，则则降降低低的的损损失失两两种种算算门门票票收收入入为为 人人，元元，对对应应的的观观众众为为设设票票价价为为每每人人 R yx )8(601)300(xy ).80(60780 xxy所所以以 2 60780)60

20、780(xxxxyR 又又 xR120780 ., 0120有有最最大大值值所所以以又又因因为为RR 其其相相应应的的门门票票收收入入为为 大大，元元时时，可可使使门门票票收收入入最最即即当当每每人人门门票票5 . 6 （元）（元）2535)5 . 6( R 5 . 6, 0 xR则则令令 例例 1 11 1( (最最佳佳时时机机问问题题) )某某酿酿酒酒厂厂有有一一批批新新酿酿成成的的酒酒，即即 可可在在现现时时( (t t= =0 0) )卖卖掉掉收收入入 K K 元元，也也可可在在窖窖藏藏起起来来待待来来日日 按按陈陈酒酒价价钱钱出出售售. .随随窖窖藏藏时时间间的的增增加加，其其酒酒价

21、价V是是窖窖藏藏 时时间间的的函函数数 t KeV . .假假设设窖窖藏藏不不需需支支出出存存储储费费，连连续续 计计息息的的年年率率为为 r r，问问窖窖藏藏多多长长时时间间可可使使利利润润最最大大. . 解解 依题意可知：酒的酿造成本已经结转，又假设依题意可知：酒的酿造成本已经结转，又假设 不需支出存储费，所以使利润最大与使销售不需支出存储费，所以使利润最大与使销售 收入收入V最大是一样的最大是一样的. . rt rt VeA VtAeV tAr 钱钱在在现现时时的的值值为为 元元的的时时后后终终值值为为，反反之之，的的终终值值为为 时时元元在在时时间间的的情情况况下下，现现时时的的在在年

22、年利利率率为为 .)( rt VetA Vt 的的现现值值是是 后后的的价价值值意意长长的的时时间间因因此此，这这批批酒酒在在窖窖藏藏任任 t KeV 又因为又因为 rttrtt KeeKetA )(所所以以 0)()( t AtA达到极大，必须使达到极大，必须使要使要使 ) 2 1 ()( 2 1 rtKetA rtt ) 4 1 () 2 1 ()( 4 1 , 0)( 2 1 2 1 2 tKertKetA r ttA rttrtt 又又 则则令令 0) 2 1 ()( 2 1 rtKetA rtt 而而 0 4 ) 4 1 ()( 3 2 3 t A tKetA t . 4 1 2 时

23、时，可可使使利利润润最最大大即即当当窖窖藏藏时时间间 r t 例例 9 9 ( (查账最佳抽样问题查账最佳抽样问题) )在抽样查账时，有如下一个在抽样查账时，有如下一个 关于抽样总费用的模型关于抽样总费用的模型. . n C nCC 2 1 ，其中其中 1 C=每每 查一项账目的收费；查一项账目的收费； 2 C=发现账目中有一笔差错的平发现账目中有一笔差错的平 均价值；均价值；n=n=抽样的大小，当抽样的大小，当2916, 2 21 CC元时，元时， 求抽样大小为多少时求抽样大小为多少时使查账费用最小使查账费用最小？ 解：解： 知条件知条件是连续变化的，根据已是连续变化的，根据已假设假设n n

24、 nC 2916 2 2 3 2 3 14582 2 2916 2 nnC 81, 0)0( nC则则令令 02187 2 5 nC又又因因为为 有有最最小小值值所所以以C . 81 查查账账费费用用为为最最小小 个个单单位位时时，可可使使即即当当抽抽样样大大小小是是 三 小结 思考题 本节基本概念：本节基本概念： 函数的极大值与极小值函数的极大值与极小值 当目标函数在闭区间连续时当目标函数在闭区间连续时 当目标函数在开区间连续时当目标函数在开区间连续时 极值的经济应用极值的经济应用 最大利润问题最大利润问题 最大收益问题最大收益问题 经济批量问题经济批量问题 最大税收问题最大税收问题 某某工

25、工厂厂要要在在一一年年内内以以相相等等批批量量分分批批生生产产 2 24 40 00 0 件件产产品品，产产品品的的单单位位成成本本为为 6 6 元元，但但每每生生产产一一 批批产产品品需需要要调调整整机机器器费费用用为为 1 16 60 0 元元. .在在生生产产过过 程程中中，在在制制品品占占用用资资金金的的银银行行年年利利率率为为 1 10 0% %. . 若若全全年年所所需需费费用用等等于于全全年年所所需需机机器器调调整整费费用用 与与在在制制品品占占用用资资金金利利息息的的总总和和，问问批批量量多多大大时时 才才能能使使全全年年所所需需费费用用最最小小？ 思考题思考题 解：解： x

26、xxP 2400 )( 则则全全年年批批生生产产的的批批数数为为 ，批批量量为为设设全全年年所所需需费费用用为为 . 2400 160元元所所需需调调整整机机器器费费用用为为 x 因为批量相同，所以全年商品所占资金的利因为批量相同，所以全年商品所占资金的利 息为息为元元，%106 x 因此因此 2 3 102416 6 . 0 x P 640000, 0)( 2 xxP则则令令.)(有有最最小小值值xP .8003件件批批生生产产，每每批批批批量量即即全全年年分分 x x x xxP 3 102416 6 . 0 2400 160%106)( 1 1 生产某种商品生产某种商品 x x 单位的利

27、润是单位的利润是 2 00001. 05000)(xxxL ( (元元) )，问生产多少，问生产多少 单位时，所得利润最大。单位时，所得利润最大。 2 2 产品每次销售产品每次销售 1000010000 件时，每件价格为件时，每件价格为 5050 元，元， 若每次多销售若每次多销售 20002000 件则每件相应地降低件则每件相应地降低 2 2 元，元， 又设价格是需求量的线性函数，且这种产品的又设价格是需求量的线性函数，且这种产品的 固定成本固定成本 60006000 元，变动成本每件元，变动成本每件 2020 元，试求元，试求 产量多少时，利润最大，并产量多少时，利润最大，并求求最大利润。

28、最大利润。 练 习 题 1111设某商品的总成本函数设某商品的总成本函数 C=1000+3QC=1000+3Q，需求函数，需求函数 Q=Q=- -100P+1000100P+1000，其中，其中 P P 为该商品单价，求能使为该商品单价，求能使 利润最大的利润最大的 P P 值。值。 1212已知某厂生产已知某厂生产 x x 件产品的成本为件产品的成本为 2 40 1 20025000 xxc ( (元元),),问：问： (1)(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？要使平均成本最小，应生产多少件产品？ (2)(2)若产品以每件若产品以每件 500500 元售出，要使利润最大，元售出，要使利润最大， 应生产多少件产品？应生产多少件产品？ 2 20 0. .厂厂商商的的总总收收益益函函数数和和总总成成本本函函数数分分别别为为 12)(,30)( 22 QQQCQQQR，厂厂商商追追求求 最最大大利利润润，政政府府对对产产品品征征税税，求求： ( (1 1) )厂厂商商纳纳税税前前的的最最大大利利润润及及此此时时的的产产品品的的产产量量和和价价 格格； ( (2 2) )征征税税收收益益的的最最大大值值及及此此时时的的税税率率； ( (3 3) )厂厂商商纳纳税税后后的的最最大大利利润润和和此此时时的的产产品品的的价价格格。 2 22