中学数学函数求最值方法

1、中学数学中的函数最值求解方法探讨摘 要：对中学数学中函数最值的求解方法进行解剖和探讨。函数最值的求解一直是高考考察的重点，而如何正确和高效的运用方法解答题目是探讨的重点。本文就对函数最值的求解列举了多种常见的解法以及函数最值的创新和发展。多种常见的方法包括配方法、三角函数求最值、判别式求最值、利用重要不等式求最值、求导法、二次函数性质求最值、数形结合和换元法。关键词：中学数学；最值求解；方法探讨Abstract：In the middle school mathematics function most value and discusses the solving method of ana

2、tomy.Solution of the function most value has been the focus of the investigation of the university entrance exam.And how to correct method to solve the topic is the key point of research.In this paper,the function most value lists a variety of common solution and the most value of innovation and dev

3、elopment.A variety of common methods include Pei means,Triangle function to get most value,The discriminant for the most value,Get the most value to important inequality,Derivation method,several form combining and change element method.Key words：Secondary Mathematics;To solved the most value;Discus

4、sion on the method1 函数最值的研究背景最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是中学数学的重要内容之一。它涉及到中学数学知识的各个方面，并且解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解决途径。“最值”是人们工作和生活追求的目标：在工矿企业，人们千方百计使成本最低而质量最高、收益最高；在生活中，人们想尽办法使付出最小而生活质量最好；在科学研究中，人们竭尽全力使耗时最少而成效最佳。因此最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，并且涉及的知识面很广。 数学是一门很重要的学样，它在人类发展史上成为人类社会的进步人民生活方式的提

5、高，做出了巨大的科学作用，数学不仅在日常生活需要，在工厂商品与原料分配，或追击路程问题，时间所需要最短或在军事射程距离，运输用费量最省或分配最值问题，都需要数学最值思想去解决，所以我们学习数学最值问题是有目的，是为了将来在各个阶层领域上解决一类有数学理性的实事，以便能够更好的提高经济效益加强也是为了培育更好的理科人才将来上降，解决科学界的大事情，在研究方法上必须是科学的，必须科学设计方案、实事求是。因此最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，并且涉及的知识面很广。从而在初高中，我们把生活中碰到的最值问题运用数学知识解出来。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这

6、类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各类数学技能。2 函数最值问题的常见解法2.1 配方法配方法是求函数最值的一种行之有效的方法，主要用于求二次函数最值，也用于可转化为二次函数类型函数的最值。对于二次函数，可先配方成，然后根据自变量的取值范围确定函数的最值1。例2.1 已知，求的最值。解析 这题用常规的方法，发现关于的代数式不仅有一次还有二次，如果用的表达式来表示，则会出现根号，则很麻烦还不容易解出来。所以考虑运用配方法，但题目中并没有出现的表达式，这时就要将题目给出的表达式相应变化。 解 由，可得， ， ， 当时，有最小值，为，当时，为为最大值。 注 无论是直接或间接的利用配方法求函数的

7、最值时，都必须注意自变量的取值范围，或注意挖掘隐含条件，否则就会导致错误。2.2 三角函数法 三角函数在中学很重要的章节，其中求最值的题目在高考题中算重中之重，利用三角函数公式的诱导函数、2倍角公式、和差化积公式、函数的单调性求最值。 例2.22 求的最小值。 解析 这道题可以利用了三角函数公式的诱导公式，和差化积公式解得结果。解 利用和差化积公式得 ， 当=时，函数值为是最小值。例2.33 求函数的最大值和最小值。解析 可以利用了正（余）弦函数的有界性，转化为含变量的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然这题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但是都不如上述解法简单易行

8、。 解 将上述函数变形为， 即， 即， 所以 ， 又因为， ， 两边平方得， 即3-4y，解得, 所以函数的最小值为，最大值为.2.3 判别式方法如果函数可以化为()的形式，同时可从-中求出的取值范围。便可以考虑用判别式法求此函数的最值。判别式法多用于求分式函数或无理函数的最值。运用此方法必须谨慎，特别是对于原函数的定义域不是实数而是在给定区间上的函数，当用判别式方法求出 的变化范围后，应将端点值代回原函数进行检验，否则易产生“增值”“误判”等情况。例2.4 求函数的最值。解 变形整理得， 从而得， 所以， 经过验证当时，原函数最大值为 2.4 不等式方法 有些函数可利用已经证明过的重要不等式

9、公式来求最值。特别是均值不等式，在求最值的问题中更是应用广泛。如，设，为正数，令（调和平均值）， （几何平均值），（算术平均值），（平方平均值），则，当且仅当，不等式取“=”。例2.5 设，求的最大值。 解析 如果把这题散开，却发现函数式是一个一元三次函数，根本就没有思路解答这题目。如果用重要不等式，可以发现，就可以利用，则题目就可以顺利的解答出来。 解 设； 令（先算负的个数为个，则在后加个，再做恒等变化） ； 令； 解出 ， 则. 注 这道题就运用了重要不等式的性质，学会灵活运用它们的关系，为以后学习柯西不等式甚至排比不等式求最值打下基础。2.5 求导求最值 在中学遇到高阶函数或不易解出值

10、的函数，就可运用函数的求导方法求最值。例2.64 已知函数,当时，求的最大值。解析 这题主要考察了导数的几何意义，导数应用，利用导数求最值等基础知识。首先求导把函数的单调区间求解出来。再在定义域中分类讨论函数值的取值范围。 解 由于， 故（1）当时，有，此时在上单调递减， 故； （2）当时，有，此时在上单调递增， 故； （3）当时，设， 则，； 表2.1 2 + 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增 由于， 故， ， 从而， 所以；(1) 当时， 又因为 ， 故； （2）当时，且， 又因为， ， 所以当时,， 故； 当时， 故.2.6 利用二次函数求最值求解二次函数的最值问题需要

11、分三类讨论：（1）关于实数R上的二次函数的最值。（2）关于某区间上的二次函数的最值。（3）关于含参数的二次函数的最值。就这三类中含参数的的二次函数是我们高考经常遇到的。而解答含参数的二次函数最值问题的基本思想，是就参数的取值范围进行讨论，比较容易出错，容易遗忘其中的条件限制。所以我们可以借助二次函数的图像，从二次系数和顶点横坐标入手，逐步探求二次函数的最值。 例2.75 已知函数，求的最值。 解析 先根据定义域求出的取值范围，再进行分类讨论。解 由题目可知，,可以解出且，所以函数的定义域为，原函数可化为,令，函数为增函数 , 又因为， （1）当时且，即时， 函数在区间上单调递增，没有最大值。所

12、以原函数也没有最大值。 （2）当，即； 函数在取最大值，其值为，其有最大值，最大值为； 则的情况不可能存在。 综上所述，所求函数在且时 注 利用二次函数求最值函数容易出现四种错误：忽略函数的定义域；对函数单调性的实质认识不足；对复合函数的二次函数型忽略新变量的取值范围；对含参数的二次函数最值问。 2.7 数形结合求最值数形结合是中学最常用的方法，结合图形观察题目，简单易懂。在图像上可以找到很多隐形的条件。如在一个直角三角形中可以运用勾股定理。如三边关系可以是等等。例2.8 如题对于给定正数，且，还有 试求在给定区间，上的最大值。 图2-1 解 根据题目我们画出图2-1， 如图，设， ， 则，

13、， ， ， ， ， 当且仅当时，即时，取最大值。2.8 换元求最值法 在高考题，特别是高考填空题，经常出一些很复杂却很规律的函数，如用常规的方法解答题目，不仅麻烦，容易算错，还浪费时间。所以我们可以把复杂的函数换元成简单的函数，这种方法在求最值时很常见。例2.9 有如下5个正数，设，且，求的最小值。解 令 则 ； 则 ； 则 ； ；利用前面说的重要不等式， 则， 又因为， 则上式， 当且仅当时，等式成立，能取最小值。 注 当遇到复杂的函数的函数时，我们首先想到的换元法。但是换元的时候，一定要搞清楚它们的关系，以及换多个元时它们的内在关系。这会给我们在高考节省很多时间。2.9 利用性质求最值 然

14、后我们也不能忽略函数本身的性质，如函数的单调性，函数的奇偶性，函数的周期性就可以求出某些特殊的最值问题。如 是定义在实数集上的，对满足，设是的一个根，记在中的根的个数为，求的最小值。这道题就要运用函数奇偶性以及函数的周期性。 例2.106 如下有，俩个实数，设其中为正整数，为正有理数。则求函数的最小值。 解析 这题包含了函数的一元高次函数，可以发现一般的方法对它也素手无策。但是我们可以考虑先把函数求导，再运用函数的单调性求出最小值。 解 ， 令，解得， 当时，所以在内是减函数； 当时，所以在内是增函数。 故函数在处取这个最小值。2.10 赋值验证法 很多时候，其实题目不需要我们一一把函数的值解

15、出来，也不需要我们把最值清楚的算出来。当我们遇到最值的逆向求解时，那复杂繁琐的步骤以及计算过程，会让我们忘而退步。所以我们可以创新方法简化题目，特别是做选择题的时候，我们就可以运用最简单的赋值验证法，只要符合题目的我们就可以把简单的计算。 例2.117 已知函数在区间，上的最大值为，求的值。 解析 如果从最值入手，需要对系数和对称轴的范围进行双重讨论，难度系数很大。如果注意到最值只能出现在，中，即可赋值求解。 解 （1）若，则， 可知图像开口向下，对称轴是， 所以二者矛盾，故不符题意； （2）若，则， 可知图像开口向上，对称轴是， 因为， 所以 符合题意； （3）若，则， 当时，对称轴是， 当

16、时，对称轴是， 所以，综上所述，或符合题意。2.11 最值问题在生活中的运用 翻开近几年的高考或中考试卷，发现以应用题的方式结合实际求最值的题目占的比例不小。这种题型经常以填空题和简答题的方式出现，让我们不得不重视。我们现选取2013年的一道高考题。 例2.128 甲厂以千克/小时的速度均匀生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元。（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？求此最大的利润。解 （1）根据题意： ， 又因为，解得； （2）设利润为元，则 ， 故时，元。3 小结 函数最

17、值的求解是中学很重要的知识点，在高考中，它经常与三角函数、一次函数、二次函数、一元二次函数、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各类数学技能。而在生活中我们会广泛运用最值的性质特点。3.1 求解函数最值注意事项3.1.1 注意定义域求解函数最值题时，在计算过程中要注意观察定义域有无改变。在解题之初，首先要确定函数的定义域；在解题的过程中，变形时要看定义域是否改变，在引进新变量时要明确新变量的取值范围。如在使用换元法求函数最值时，要确定新变量的取值范围；在解题结束

18、时，要检验所求得的使函数取得最值时相应的自变量是否在在定义域内。3.1.2 注意参变量的约束条件 有一类的最值问题，在题设函数里有参变量，在计算过程中，当问题转化为参数的二次函数时，如不考虑参变量的约束条件，易误入一般的情况如求函数的最值的方法替代求函数在特定区间的最值的歧途。3.2 学解函数最值的意义学到了不少的最值求解（数学最值问题如何解决）使之能加以举一反三灵活运用；扩大的思想领域，我们以前数学思想都比较狭小，经过函数最值求解的方法研究，我们的思想理论能力提高了不少；为以后高考数学答题打了奠定的基础，使一些没有数学思想的人，做到启蒙的作用9。 然而在生活中，我们常常要运用求最值的方法以得到最大的利益，如工厂产品与原料的合理分配以之节省更多的原料和成本；路程与时间的节省多少合理选择；化学中的物质能量变化；物理内能变化之最大利用。在解决问题中我们运用了各种数学方法，如配方法、三角函数求最值、判别式求最值、利用重要不等式求最值，一直到解决问题为止。掌握函数最值求解方法，在学习中，在生活中，都可以利用这些方法求解各种类型的最值问题。参考文献：1 杨春凤. 求函数最值问题中常见错误剖析J. 丽水师专学报, 1997(10): 17-18.2 聂文喜. 三角函数最值问题的常见类型及求法J.