矩阵运算和行列式

1、矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 南京 苏州 常州 啤酒(瓶装)2016200 180 190 啤酒(易拉罐)5020100 120 100 干啤3016150 160 140 生啤2516180 150 150 重量 (Kg/箱) 单价 (元/箱) 数量(箱) 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和

2、行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 In = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 2. 逆序数逆序数 对于对于n个不同的元素个不同的元素, 先规定各元素之间的先规定各元素之间的 一个标准次序一个标准次序 (如如 n个不同的自然数个不同的自然数, 可规可规 定由小到大的次序为标准次序定由小到大的次序为标准次序), 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列

3、 的的. 逆序数为奇逆序数为奇(偶偶)数的排列称为数的排列称为(). 于是在这于是在这n个元素的任意一个排列中个元素的任意一个排列中, 当某当某 两个元素的先后次序与标准次序不同时两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说就说. 矩阵运算和行列式 3. 对换对换 在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余的元其余的元 素不动素不动, 称为称为. 将相邻的两个元素对调将相邻的两个元素对调, 称为称为. 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 每一项都是三个元素的乘积每一项都是三个元素的乘积. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a

4、22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 每一项的三个元素都位于不同的行和列每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的行列式的6项恰好对应于项恰好对应于1, 2, 3的的6种排列种排列. 各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性 有关有关. 矩阵运算和行列式 321 321 321 321 )( ) 1( jjj jjj jjjN aaa a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 j1 j2 j3的逆序数的逆序数 对所有不同的

5、三级排列对所有不同的三级排列 j1 j2 j3求和求和 21 21 21 21 )( ) 1( jj jj jjN aa a11 a12 a21 a22 矩阵运算和行列式 2. n阶行列式的定义阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann n n n jjj njjj jjjN aaa 21 21 21 21 )( ) 1( : 当当n = 1时时, 一阶行列式一阶行列式|a11| = a11, 这与绝这与绝 对值符号的意义是不一样的对值符号的意义是不一样的. 设设A = aij为为n阶方阵阶方阵, A的行列式记为的行列式记为|A|, 或或detA.

6、矩阵运算和行列式 3. 几个特殊的行列式几个特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0 = 1 2 n , 1 2 n . 2 )1( ) 1( nn (1) 对角行列式对角行列式 矩阵运算和行列式 (2) 上上(下下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann = a11 a22ann . = a11 a22ann . 事实上事实上, 只有只有pi i (i = 1,2,n)时时, n nppp aaa 21 21 才有可能不为才有可能不为0. 若有

7、某个若有某个pk k, 则必然有则必然有若有某个若有某个pl 1+2+n, 矛盾矛盾! 矩阵运算和行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann a11 a22 ann 1 1 )( n n i ii n a 矩阵运算和行列式 4. n阶行列式的另外一种定义阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann n n n jjj njjj jjjN aaa 21 21 21 21 )( ) 1( n n n iii niii iiiN aaa 21 21 21 21 )( ) 1( 矩阵运算和行列式 . DT = D.

8、nppp pppN n n bbb 21 )( 21 21 ) 1( .) 1( 21 21 21 )( Daaa n n nppp pppN 矩阵运算和行列式 . 互换行列式中的两行互换行列式中的两行(列列), 行列式变号行列式变号. : 记互换行列式记互换行列式D中的第中的第k, l行得到的行列式为行得到的行列式为D1. nlk nlk nplpkpp ppppN bbbbD 1 1 1 )( 1 ) 1( nlk nlk npkplpp ppppN aaaa 1 1 1 )( ) 1( nkl nlk nplpkpp ppppN aaaa 1 1 1 )( ) 1( nkl nkl np

9、lpkpp ppppN aaaa 1 1 1 1)( ) 1( nkl nkl nplpkpp ppppN aaaa 1 1 1 )( ) 1( = D. 矩阵运算和行列式 . 如果行列式如果行列式D中有两行中有两行(列列)完全相同完全相同, 那么那么D = 0. . 行列式的某一行行列式的某一行(列列)的公因子可以的公因子可以 提到行列式记号外提到行列式记号外. 事实上事实上, 若行列式若行列式D中有两行完全相同中有两行完全相同, 交换交换 这两行这两行, 得得D = D. 因此因此D = 0. 对于有两列完全相同的情形对于有两列完全相同的情形, 可类似地证明可类似地证明. 矩阵运算和行列式

10、 n n npppp pppt aakaa 321 21 321 )( )() 1( n n nppp pppt aaak 21 21 21 )( ) 1( 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 = 6= 48. 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 二二. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式

11、矩阵运算和行列式 . n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行 (列列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和之和. 即即 矩阵运算和行列式 D2n = adD2(n 1) bcD2(n 1) . 依次类推可得依次类推可得D2n = (ad bc)n. 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 1. 定义定义: 设设A为方阵为方阵, 若存在方阵若存在方阵B, 使得使得 AB=BA=I. 则称则称A, 并称并称B为为A的的. 2. 逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性 事实上事实上, 若若AB

12、=BA=I, AC=CA=I, 则则B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1. . 设方阵设方阵A可逆可逆, 则其逆矩阵是唯一的则其逆矩阵是唯一的. 矩阵运算和行列式 3. 设设A = aijn n为方阵为方阵, 元素元素aij的代数余子式的代数余子式 为为Aij, 则称如下矩阵则称如下矩阵 A* = A11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 为方阵为方阵A的的. 矩阵运算和行列式 事实上事实上, 由由AB=BA=I得得 1 = |I| = |AB| = |A|B|. .

13、 设设A为方阵为方阵, 若若A可逆可逆, 则则|A| 0. 4. 逆矩阵的存在性逆矩阵的存在性 A 1 = |A| 1 A*. 矩阵运算和行列式 . 设设A, B为方阵为方阵, 若若AB = I(或或BA = I), 则则B = A 1. = (BA)A 1 = IA 1 = A 1. 事实上事实上, AB = I |A| 0 A可逆可逆 B = IB = (A 1A)B = A 1(AB) = A 1I = A 1. BA = I |A| 0 B = BI = B(AA 1) A可逆可逆 2A2+3A I = 0. 证明证明: A及及A 2I可逆可逆, 并求它们的并求它们的 矩阵运算和行列式

14、 (2) |B| = 2 0, B 1 = |B| 1 B* B11 = ( 1)1+1 2 1 4 3 = 2, B21 =6, B31 = 4, B12 = 3, B22 = 6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2. = 2 1 2 6 4 3 6 5 2 2 2 . 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 1 1 = , |A 1| = |A| 1. T 1 = 1 T. 1 = k 1 1. 1 = B 1 1. 1 1 1 1(I A) = 1( ) = 1 1 = 1 1 矩阵运算和行列式 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa b

15、xaxaxa 2211 22222121 11212111 矩阵运算和行列式 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 1 0, x1 = D1 D , x2 = D2 D , , xn = Dn D , 矩阵运算和行列式 . 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 的系数行列的系数行列 式式D = |A| 0, 则它只有零解则它只有零解. 2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组与非齐次线性方程组 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 设设A为为m l矩阵矩

16、阵, B为为l n矩阵矩阵, 将它们分块如下将它们分块如下 A = A11 A12 A1t A21 A22 A2t As1 As2 Ast , B = B11 B12 B1r B21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr , 其中其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分别与的列数分别与B1j, B2j, , Btj的的 行数相等行数相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.) C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr , 其中其中Cij = AikBkj ,则则AB = k=1 t 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 于是于是AB =

17、 I O A1 I B11 I B21 B22 B11 I A1B11+B21 A1+B22 = , 而而A1B11 = 1 2 1 1 1 0 1 2 3 4 0 2 =, A1B11 +B21 = 3 4 0 2 1 0 1 1 + A1+B22 = 1 2 1 1 4 1 2 0 + 2 4 1 1 =, 3 3 3 1 =. B11 I A1B11+B21 A1+B22 从而从而AB = =. 1 0 1 0 1 2 0 1 2 4 3 3 1 1 3 1 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 设矩阵设矩阵A = A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr , A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT AsrT .则则AT = 矩阵运算和行列式 1 2 m 矩阵运算和行列式 矩阵运算和行列式 则则|A| = |A1| |A2| |As|. 矩阵运算和行列式 A 1 = A1 1 A2 1 As 1 . 则则AA1, A2, , As都都 可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆时都可逆时,有有 矩阵运算和行列式 矩阵的矩阵的n维向量的概念；维向量的概念； 矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵 的转置及相关的运算性质，的转置及