应用抽样技术答案

1、应用抽样技术答案 3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校 名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一 个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购 书支出金额 yi （如表1所示）。 (1)在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支 出额； (2)试估计该校学生该月购书支出超出70元的人数； (3)如果要求相对误差限不超过10%，以95%的置信 度估计该校学生该月购书支出超出70元的人数比 例，样本量至少应为多少。 应用抽样技术答案 样本样本 序号序号 支出额支出额 （元）（元） 样本样本 序号序号 支出额支出额 （元）（元） 样本样本 序号序号 支出额支出额 （元）（元） 1 2

2、3 4 5 6 7 8 9 10 85 62 42 15 50 39 83 65 32 46 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 75 34 41 58 63 95 120 19 57 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 49 45 95 36 25 45 128 45 29 84 表1 30名学生某月购书支出金额的样本数据 应用抽样技术答案 3.3解：解：(1)依据题意和表依据题意和表1的数据，有：的数据，有： 22 1682 1682,56.07(),(1182661682 /30)/30798.73 30 iy yys元 2 1175

3、030 0.032764 30 1750 fNn bac nnN ( )0.03276798.7326.168v y ( )( )5.115se yv y 因此，对该校学生某月的人均购书支出额的估计为56.07 （元），由于置信度95%对应的 t=1.96, 所以，可以以95%的把 握说该学生该月的人均购书支出额大约在56.071.965.115， 即50.96-61.19元之间。 ， 应用抽样技术答案 (2)易知，N=1750，n=30， 1 8n t=1.96 1 8 0.267 30 n p n 1175030 0.03389 1(1)29 1750 fNn nnN (1)0.2670.

4、7330.1957pqpp (1) 0.033890.19570.08144 1 f pq n 1 0.0167 2n P 的的95%95%的置信区间为的置信区间为: : 1 2 (1)1 ()0.267(1.960.081440.0167) 12 =(0.0907,0.4433) f pq pu nn 的的95%95%的置信区间为的置信区间为: : 1 N(159(159，776)776) 应用抽样技术答案 (3)N=1750(3)N=1750，n=30n=30，n n1 1=8, t=1.96, p=0.267,=8, t=1.96, p=0.267, q=1-0.267=0.733 q=

5、1-0.267=0.733 由此可计算得： 22 0 2 1.960.733 1054.64 0.01 0.267 t q n r p 计算结果说明，至少应抽取一个样本量为659的简单随机 样本，才能满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度 要求。 n = n0/1+(n01)/N = 1054.64/1+1053.64/1750=658.2942 = 659 应用抽样技术答案 3.5要调查甲乙两种疾病的发病率，从历史资料得知， 甲种疾病的发病率为8，乙种疾病的发病率为5 ，求： (1)要得到相同的标准差0.05，采用简单随机抽样各 需要多大的样本量？ (2)要得到相同的变异系数0.0

6、5，又各需要多大的样 本量？ 应用抽样技术答案 3.5解：已知 P1= 0.08, Q1= 1-P1 = 0.92; P2= 0.05, Q2 = 1 P2 = 0.95; V(p) = 0.05*0.05 ， (1) 由 0 ( ) PQ n V p 得： 1 0 2 0.080.92 30 0.05 n 2 0 2 0.050.95 19 0.05 n 由 0 2 ( ) Q n Cvp P 得：(2) 1 0 2 0.92 4600 0.050.08 n 2 0 2 0.95 7600 0.050.05 n 应用抽样技术答案 第四章第四章 分层抽样分层抽样 4.3解：解： （1） ， （

7、2）按比例分配）按比例分配 n=186n=186，n n1 1=57=57，n n2 2=92=92，n n3 3=37=37 （3）Neyman分配分配 n=175，n1=33，n2=99，n3=43 4.5 ，置信区间（，置信区间（60.63，90.95）元。）元。 20.07 st y （元）()3.08 st s y（元） 75.79 st y（元） 应用抽样技术答案 4.6 解解 已知已知W1=0.2，W2=0.3，W3=0.5， P1=0.1，P2=0.2，P3=0.4 P=hWhPh=0.28，Q=1P=0.72 n=100的简单随机抽样估计方差：的简单随机抽样估计方差： V(P

8、srs) (1f )/100PQ 0.28*0.72/100 = 0.002016 按比例分配的分层抽样的估计方差：按比例分配的分层抽样的估计方差： V(Pprop) hWh2 (1fh)/nh Ph Qh n-1hWh Ph Qh = n-10.2*0.1*0.9+0.3*0.2*0.8+0.5*0.4*0.6 = 0.186 n-1 故故 n 92.26 93 应用抽样技术答案 4.8 解解 已知已知W1=0.7，W2=0.3，p1=1/43，p2=2/57 （1）简单随机抽样）简单随机抽样 Psrs=(1+2)/100=0.03 V(P)=PQ/(n-1)=0.03*0.97/99=0.

9、0002937 （2）事后分层）事后分层 Ppst=hWhph=0.7*1/43+0.3*2/57=0.0268 V(Ppst) =hWh2(1fh)/(nh1)phqh =0.72*1/42(1/43)(42/43)+0.32*1/56(2/57)(55/57) =0.00031942 应用抽样技术答案 第五章 比率估计与回归估计 5.2 N2000, n36, 10.95, t1.96, f = n/N0.018， 0.000015359， 0.003920.00392 置信区间为置信区间为40.93%,42.47%。 ) (Rv ) (Rse 应用抽样技术答案 第五章 比率估计与回归估计

10、 5.3当 时用第一种方法，当 时用第二种 方法，当 时两种方法都可使用。这是因为： ， ， 若 则 0 Y X C C 2 Y X C C 2 Y X C C 2 222 11 )( YY CY n f S n f yV )2( 1 ) ()( 222 XYXY CCCCR n f RV x y V )( X y V 2222 2 11 YY CR n f CY Xn f Y X C C 2 )2( 1 )()( 2 XYX CCCR n f x y V X y V Y X C C 2 0)2( 1 )()( 2 XYX CCCR n f x y V X y V Y X C C 2 )2(

11、1 )()( 2 XYX CCCR n f x y V X y V 0 应用抽样技术答案 5.45.4 解解： V(YR)(1f)/nY2CY2+CX22rCYCX V(Ysrs)=(1f)/nSY2 =(1f)/n CY2Y2 故故 V(YR)/V(Ysrs) = 12rCX/CYCX2/CY2 = 1-2*0.696*1.054/1.063-1.0542/1.0632 = 1-0.397076 = 0.602924 应用抽样技术答案 5.5 证明：由（5.6）得： 2 1 2 1 )( 1 )( d N i ii R S Nn nN N RXY n f yV , 2 VS Nn nN d

12、令 ，则 22 )( dd NSSNVn NV S V S SNV NS n d d d d 2 2 2 2 1 从而 应用抽样技术答案 5.65.6 解解 (1) 简单估计简单估计: 总产量总产量: : Ysrs=(N/n)i=1n Yi=(140/10)1400+1120+480 =176400(斤斤) v(Ysrs)=N2(1f)/nSY2 =1402(110/140)/10*194911.1 = 354738222 se(Ysrs)= 18834.496 应用抽样技术答案 5.65.6 解解 (2) 比率估计比率估计: R =i=1n Yi/ i=1n Xi = 12600/29.7

13、= 424.2424 YR= XR = 460*424.2424 = 195151.5(斤斤) v(YR)=N2(1f)/n *i=1n (yiRXi )2/(n-1) =1402(110/140)/90*124363.5 = 25149054 se(Ysrs)= 5014.883 面积面积/ / 亩亩 产量产量/ / 斤斤 3 314001400 2.52.511201120 4.24.217101710 3.63.615001500 1.81.8720720 5.25.219801980 3.23.213101310 2.42.410801080 2.62.613001300 1.21.2

14、480480 29.729.71260012600 应用抽样技术答案 5.65.6 解解 (3) 回归估计回归估计: 回归系数回归系数 b = Sxy/Sxx2= 370.5965 ylr=xb(xX)=1260370.5965*(2.97460/140)=1377.089 Ylr=Nylr=192792.47(斤斤) v(Ylr)=N2(1f)/n *i=1n yiyb(xix)2/(n-2) =1402(110/140)/80*89480.59 = 20356834 se(Ylr)= 4511.855 应用抽样技术答案 5.7解： ,)(YyE lr )1 ( 1 )( 22 Ylr S

15、n f yV n i iilrlr XxBy n xXByxXByy 1 )(2 1 )(2)( YxEXByEyE lrlr )()()( )(2 1 )( 1 n i iilr XxBy n VyV 2 1 )(2 1 11 YXXBY Nn f N i ii )(4 1 )44( 1 22222 YXxYYXXY SBSBS n f BSSBS n f )()1 ( 11 222 lrYY yVS n f S n f 故估计量 虽然与 一样都是 的无偏估计， 但方差不小于 的方差， 当 时 ， 故 不优于 。 lr y lr y Ylr y 0)()( lrlr yVyV lr y lr

16、 y 应用抽样技术答案 0.22390.2514 0.15480.0573 0.04870.1022 0.06760.0981 第六章 不等概率抽样 6.1假设对某个总体，事先给定每个单位的与 规模成比例的比值 Zi ，如下表，试用代码 法抽出一个n=3的 PPS 样本。 i i z i i z 表表1 总体单位规模比值总体单位规模比值 应用抽样技术答案 6.1解：令 ,则可以得到下表，从11000中 产生n=3个随机数，设为108，597，754，则第二、 第六和第七个单位入样。 0 1000M iMi累计累计Mi 代码代码 1 2 3 4 5 6 7 8 98 102 57 251 67

17、48 154 223 98 200 257 508 575 623 777 1000 198 99200 201257 258508 509575 576623 627777 7781000 M0=1000 应用抽样技术答案 281 954 1 085 1 629 215 798 920 1 834 5 6 7 8 1 353 639 650 608 1 238 746 512 594 1 2 3 4 子公司 序号 子公司 序号 6.3欲估计某大型企业年度总利润，已知该企业 有8个子公司，下表是各子公司上年利润Xi 和当年利润 Yi 的数据，以Mi作为单位Xi大小 的度量,对子公司进行PPS

18、抽样，设n=3,试与 简单随机抽样作精度比较。 i Y i X i Y i X 表表2 某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元）某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元） 应用抽样技术答案 对子公司进行抽样，根据教材（对子公司进行抽样，根据教材（6.7）式：）式： 88 11 6.3 8,3,6857,7199 ii ii NnXXY 2 1 2 2 1 1 ()() 1 N i HHi i i N i i i Y V YZY nZ Y XY nX 2 1 68577707.827199 3 342303.5 585.07 HH V Y 应用抽样技术答案 显然对 抽样，估计量的精度有显著的提

19、高。 如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时 的的 简单估计方差为：简单估计方差为： Y 2 SRSy N Nn V YS n 8 5 4580379.69 3 61071729.2 7814.84 SRS V Y PPS 抽样的设计效应是： 342303.5 0.005605 61071729.2 deff PPS 应用抽样技术答案 6.4 解解 (1) PPS的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法. (2) 若在时间长度若在时间长度2、8、1、7h中打入电话数量分别为中打入电话数量分别为8、 29、5、28，则

20、客户打入电话的总数：，则客户打入电话的总数： YHH=(35/4)8/2+29/8+5/1+28/7=145.46875 (3) 估计量的方差估计估计量的方差估计 v(YHH)=n(n1)-1i=1n(yi/ziYHH)2 =352/(4*3)(8/24.15625)2+(29/84.15625)2 +(5/14.15625)2+(28/74.15625)2 =106.4697 应用抽样技术答案 6.5设总体设总体N=3, zi=1/2,1/3,1/6，Yi=10,8,5, 采取的采取的 n=2的的PS抽样，求抽样，求i ,ij (i,j=1,2,3) 。 解：解：(1)(1)所有可能样本为：

21、（所有可能样本为：（1010，8 8），（），（1010，5 5），（），（8 8， 1010），（），（8 8，5 5），（），（5 5，1010），（），（5 5，8 8），其概率分别为：），其概率分别为： 122 236 111 236 133 3412 111 3412 133 6530 122 6530 应用抽样技术答案 1 213351 66123060 2 213244 612123060 3 113225 612303060 12 2335 61260 13 1316 63060 23 129 123060 所以：所以： 应用抽样技术答案 6.6 解解 (1) 简单随机抽样简单

22、估计简单随机抽样简单估计 Y=2+3+6+8+11+14=44 S2=(N1)-1i=1N(YiY)2 =(2*322)2+(3*322)2+(6*322)2 +(8*322)2+(11*322)2+(14*322)2/(5*9) = 322/15 = 21.4667 总值估计的方差估计总值估计的方差估计 V(Ysrs) = N2(1f)/nS2 = 36(12/6)/2322/15 =1288/5 = 257.6 应用抽样技术答案 6.6 解解 (2) 简单随机抽样比率估计简单随机抽样比率估计 X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44， R=44/36=11/

23、9，f=2/6=1/3 总值估计的方差估计总值估计的方差估计 V(YR) N2(1f)/n i=1N(YiRXi)2/(N1) = 36(12/6)/10(21*11/9)2+(32*11/9)2 +(64*11/9)2 +(87*11/9)2 +(119*11/9)2+(1413*11/9)2 = (12/5)*(488/81) = 14.46 应用抽样技术答案 6.6 解解 (3) PPS抽样汉森抽样汉森赫维茨估计赫维茨估计 X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44， 取取Zi=Xi/X, (i=1,2,6) 总值估计的方差估计总值估计的方差估计 V(YHH

24、) = (1/n) i=1N Zi(Yi/Zi Y)2 = (1/nX)i=1N Xi(XYi/Xi Y)2 = (1/72)1*(36*2/144)2+2*(36*3/244)2 +4*(36*6/444)2 +7*(36*8/744)2 +9*(36*11/944)2+13*(36*14/1344)2 = 24.96 应用抽样技术答案 第七章 整群抽样 7.1（略） 7.3 解： 不是 的无偏估计，此因类似于 有 因为对群进行简单随机抽样，故 ， ，从而 ，若取 则 2 s 2 S 1 ) 1() 1( 22 2 AM SASMA S bw 1 ) 1() 1( 22 2 aM sasMa

25、 s bw 22 bb SEs 22 ww SEs 2 22 2 1 ) 1() 1( S aM SaSMa Es bw 1 ) 1() 1( 22 2 AM sAsMA S bw 22 SSE 应用抽样技术答案 7.2 样本样本耐用时数耐用时数 1 1 10361036 10751075 11251125995995 10881088 10651065 10231023988988 10021002994994 2 2 10471047 11261126 11831183 10581058 11421142 10981098945945968968 10361036987987 3 3 10

26、461046 11531153 10871087984984 12241224998998 10321032976976 11031103958958 4 4 11531153 10781078 10391039 10061006 12141214 10761076986986994994 1048104811261126 5 5 12161216 10941094 10961096 10351035 10041004 10531053 10041004 11221122 1080108011521152 6 6964964 11361136 11851185 10211021 1007100

27、7948948 10241024975975 10831083994994 7 7 11131113 10931093 10051005 10881088997997 10341034985985997997 1005100511201120 8 8 10471047 10971097 11361136989989 10731073 11021102976976984984 1004100410821082 应用抽样技术答案 样样 本本 耐用时数耐用时数均值均值标准差标准差 1 110361036107510751125112599599510881088 10651065 102310239

28、8898810021002994994 1039.11039.1 47.0990747.09907 2 21047104711261126118311831058105811421142 109810989459459689681036103698798710591059 78.4644378.46443 3 310461046115311531087108798498412241224998998 1032103297697611031103958958 1056.11056.1 85.6549385.65493 4 4115311531078107810391039100610061214

29、1214 1076107698698699499410481048 112611261072107273.932473.9324 5 51216121610941094109610961035103510041004 10531053 10041004 1122112210801080 11521152 1085.61085.666.573666.5736 6 696496411361136118511851021102110071007948948 1024102497597510831083994994 1033.71033.7 77.4453977.44539 7 71113111310

30、9310931005100510881088997997 1034103498598599799710051005 11201120 1043.71043.7 53.6595253.65952 8 810471047109710971136113698998910731073 1102110297697698498410041004 1082108210491049 57.2809857.28098 应用抽样技术答案 y = (1/80)ij yij = 1054.78, sb2= (10/7)i (yiy)2 = 3017.65 V(y) = (1f)/(aM)sb2 = (18/2000)

31、/(8*10)*3017.65 = 37.5697 Se(y) = 6.1294 (1) 以每盒灯泡为群实施整群抽样以每盒灯泡为群实施整群抽样 应用抽样技术答案 y = (1/80)ij yij = 1054.78, s2= (1/79)ij (yijy)2 = 4628.667 V(y) = (1f)/(aM)s2 = (180/20000)/(8*10)*4628.667 = 57.6269 Se(y) = 7.5912 (2) 以从以从20000个灯泡中按简单随机抽样个灯泡中按简单随机抽样 应用抽样技术答案 y = (1/80)ij yij = 1054.78, Sw2 = (1/a)

32、i si2 = 1/(a(M1)ij (yijyi)2 = 4721.0056 r = (sb2sw2)/sb2+(M1)sw2 = -0.04723 Deff = V(y)/V(y) = 1+(M1)r = 0.6694 7.4 对对7.2题群内相关系数进行估计题群内相关系数进行估计 应用抽样技术答案 7.5 解：由于农户是调查单位，故以村为抽样单位的抽样是 整群抽样，村即是群。对于村既有生猪存栏数，也有户数，因 此在村大小不等的整群抽样下，既可使用简单估计量估计生猪 存栏数，也可以户数为辅助指标构造比率估计和回归估计来估 计生猪存栏数。 （1）简单估计量 （2）以户数为辅助变量的比率估计量

33、 ,10800 6 3240 200 yAY ,639424000 1 )( )1 ( ) ( 1 2 2 a yy a fA Yv a i i 25287) (Yse ,113684 2850 3240 100000 1 1 0 a i i a i i R m y MY314.452， 98880， 365.718， 133750 y s 2 y s x s 2 x s 13684. 1 2850 3240 1 1 a i i a i i m y R 0.934 r 13341) 2 ( )1 ( ) () ( 222 2 xyxyRR srsRsRs a fA YvYse 应用抽样技术答案

34、 （3）以户数为辅助变量的回归估计量 803. 0 22 x xy x yx s srs s s b 1080000.803（100000200475）112015 475m )( )( 0 mNMbYmNMNbYyNY lrlr 9034)1 ( 2 1)1 ( ) () ( 22 2 rs a a a fA YvYse ylrlr 显然以户数为辅助变量构造回归估计量效果最好。此因各村显然以户数为辅助变量构造回归估计量效果最好。此因各村 生猪存栏数与村的规模（户数）有高度相关性，生猪存栏数与村的规模（户数）有高度相关性，r r0.9340.934， 故采用回归估计量精度最高。故采用回归估计量精度最高。 应用抽样技术答案 企业企业已婚女职工人数已婚女职工人数/ /人人 M Mi i平均理想婚龄平均理想婚龄/ /岁岁 y yi i 1 149549524.124.1