上海市黄浦区20152016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

1、2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1椭圆x2+4y2=100的长轴长为_2已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为_3已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是_4行列式3的代数余子式的值为_5已知ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的线BM所在直线的方程为_6已知直线l1的方程为3xy+1=0，直线l2的方程为2x+y3=0，则两直线l1与l2的夹角是_7用数学归纳法证明“1+n（nN，n1）

2、”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是_8执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是_9若圆C的方程为x2+y22ax1=0，且A（1，2），B（2，1）两点的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是_10若，且存在，则实数a的取值范围是_11已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，1）且与y轴交于B点，若l1l2，且，则点M的轨迹方程为_12如图所示，ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是_二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确

3、答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A（1b，1a）B（1a，1b）C（a，b）D（b，a）14若位于x轴上方、且到点A（2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15在圆x2+y22x6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|BD|的值为（）ABCD16对数列an，bn，若对任意的正整数n，都有an+1，bn+1an，bn

4、且，则称a1，b1，a2，b2，为区间套下列选项，可以构成区间套的数列是（）ABCD三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17已知两直线l1：x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0（1）当m为何值时，直线l1与l2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行18在直角ABC，C是直角，顶点A，B的坐标分别为（4，4），（2，4），圆E是ABC的外接圆（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程19已知是不平行的两个向量，k是实数，且（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值20在数列

5、an，且对任意nN，都有（1）计算a2，a3，a4，由此推测an的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列bn的各项之和与最大项21已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求QMN面积的最大值2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得

6、零分1椭圆x2+4y2=100的长轴长为20【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的简单性质求解【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得： =1，a=10，b=5，椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20故答案为：202已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为【考点】直线的倾斜角【分析】设直线l的倾斜角为，0，），则tan=，即可得出【解答】解：设直线l的倾斜角为，0，），则tan=，=故答案为：3已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得【解答】解：由题意，方程组

7、解之得故答案为4行列式3的代数余子式的值为5【考点】三阶矩阵【分析】写出行列式的3的代数余子式，再计算，即可得到结论【解答】解：由题意，行列式3的代数余子式为=（3+2）=5故答案为：55已知ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的线BM所在直线的方程为3x2y+2=0【考点】待定系数法求直线方程【分析】由AC的点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的线所在的直线方程【解答】解：AC的点M（2，4），AC边上的线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x2y+2=0，故答案为：3x2y+2=06已知直线l1的方程为3xy+1=0，直线l2的方程为2x+y3

8、=0，则两直线l1与l2的夹角是【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为，求出直线的斜率，则由题意可得tan=|=1，由此求得的值【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为，则0，），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为2，tan=|=1，解得=，故答案为：7用数学归纳法证明“1+n（nN，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k【考点】数学归纳法【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末

9、项为，应增加的项数为2k故答案为2k8执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是【考点】程序框图【分析】由已知的程序框图及已知p输入6，可得：进入循环的条件为n6，即n=1，2，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值【解答】解：当n=1时，S=0+21=；当n=2时，S=+22=；当n=3时，S=+23=；当n=4时，S=+24=；当n=5时，S=+25=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：故答案为：9若圆C的方程为x2+y22ax1=0，且A（1，2），B（2，1）两点的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（，2）（1，+）【考点】点与圆的位置关系【分析

10、】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a2（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a1综上，a的取值范围是（，2）（1，+）故答案为（，2）（1，+）10若，且存在，则实数a的取值范围是1a2【考点】极限及其运算【分析】根据得出11，再根据存在得出11，由此求出实数a的取值范围【解答】解：，=，11，解得4a2；又存在，11，解得1a3；综上，实数a的取值范围是1a2故答案为：1a211已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，1）且与y轴交于B点，若l1l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0【考点】轨

11、迹方程；向量数乘的运算及其几何意义【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；A（1，0），B（0，1）；由得，（x1，y）=2（x，1y）；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y4=k（x1），令y=0，x=

12、；l2：，令x=0，y=；由得，；消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0故答案为：9x+6y+1=012如图所示，ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是20，4【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cos，3sin），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据1cos1便可求出的取值范围【解答】解：如图，以C为坐标原点，

13、以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；设P（3cos，3sin）；1cos1；2012cos84；的取值范围为20，4故答案为：20，4二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A（1b，1a）B（1a，1b）C（a，b）D（b，a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可【解答】解：点（a，b）关于直线x+y

14、=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A14若位于x轴上方、且到点A（2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b0）即可判断出结论【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b0）“点P在曲线C上”“”，反之也成立“”是“点P在曲线C上”的充要条件故选：C15在圆x2+y22x

15、6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|BD|的值为（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的点，在直角三角形BME，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC

16、垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|BD|=104=40故选：C16对数列an，bn，若对任意的正整数n，都有an+1，bn+1an，bn且，则称a1，b1，a2，b2，为区间套下列选项，可以构成区间套的数列是（）ABCD【考点】数列的极限【分析】对于A，运用数列的极限，即可判断；对于B，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论【解答】解：对于A，（bnan）=21=10，故不构成区间套；对于B，当n=1时，a1，b1=，a2，b2=，

17、显然不满足a2，b2a1，b1，故不构成区间套；对于C，当n=1时，a1，b1=，a2，b2=，显然不满足a2，b2a1，b1，故不构成区间套对于D，由1（）n1（）n+11+（）n+11+（）n，满足an+1，bn+1an，bn；又（bnan）= 1（）n 1+（）n=11=0，故构成区间套故选：D三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17已知两直线l1：x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0（1）当m为何值时，直线l1与l2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直

18、线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A1A2+B1B2=0，可得 1m+（1+m）2=0，由此求得解得m的值（2）由两直线平行的充要条件是=，由此求得解得m的值【解答】解：（1）两条直线l1：x+（1+m）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A1A2+B1B2=0，即 1m+（1+m）2=0，解得m=（2）由两直线平行的充要条件可得=，即=，解得：m=118在直角ABC，C是直角，顶点A，B的坐标分别为（4，4），（2，4），圆E是ABC的外接圆（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程【考点】直线与

19、圆的位置关系【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）在直角ABC，C是直角，顶点A，B的坐标分别为（4，4），（2，4），AB是直径，则AB的点（1，0），即圆心E（1，0），半径R=|BE|=5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25（2）（4+1）2+102=12525，点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4（1）=5此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y10=k（x4），即kxy+104k=0，则圆心到直线的距离d=5，即|2k|=，

20、平方得44k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x4y+28=0或x=419已知是不平行的两个向量，k是实数，且（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）=k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值【解答】解：（1）=k+=k（）+=（1k）+k（2）=2=1|2=（1k）+k2=4（1k）2+k22k（1k）=7k210k+4=7（k）2+f（k）=f（k）的最小值为=20在数列an，且对任意nN，都有（1）计算a2，a3，a4，

21、由此推测an的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列bn的各项之和与最大项【考点】数学归纳法；数列的函数特性【分析】（1）由，且对任意nN，都有可得a2=，a3=，a4=由此推测an的通项公式，an=再利用数学归纳法证明即可得出（2），可得bn=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列bn的各项之和Tn【解答】解：（1），且对任意nN，都有a2=，a3=，a4=由此推测an的通项公式，an=下面利用数学归纳法证明：当n=1时，a1=成立；假设当n=kN时，ak=则n=k+1时，ak+1=，因此当n=k+1时也成立，综上：nN，an=成立（2），bn=（2）n=+9，无穷数列bn的各项之和Tn=+=+当n=2k（kN）时，Tn=+，Tn单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=当n=2k1（kN）时，Tn=，Tn单调递增，且Tn0综上可得：Tn的最大项为T2=21已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求QMN面积的最大值【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）设Q（x，y），P（x，y），由=2，可得（x，y）=2（x，y），可得，代入曲线C1的方程可得