圆切线证明地方法

1、切线证明法切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点._. . 切线的性质定理的推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和 圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出 过这一点的半径，证明直线垂直于半径.【例1】如图1,已知AB为。O的直径，点D在AB的延长线上，BD = 0B, 点C在圆上，/ CAB= 30o求证：DC是O O的切线.思路：

2、要想证明 DC是。O的切线，只要我们连接 0C,证明/ OCD = 90o 即可.证明：连接OC, BC. AB 为O O 的直径，/ ACB= 90o1 CAB= 30o 二 BC= AB = OB.21v BD = OB，a BC= OD . a/ OCD = 90o.2a DC是O O的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意经过半径的外端”和 垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.【例2】如图2,已知AB为O O的直径，过点B作O O的切线BC，连接OC,弦AD / 0C.求证：CD是O O的切线.B思路：本题中既有圆的切线是已知条件， 又证

3、明另一条直线 是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理.欲证明 CD是OO的切线，只要证明/ ODC = 90o 即可.证明：连接OD.v OC/ AD,a/ 1 = / 3,/ 2=Z 4.T 0A= 0D ,二 / 1 = / 2.Z 3= / 4.又 OB= OD, OC = OC, OBCA ODC ./ OBC=Z ODC . BC 是O O 的切线，/ OBC = 90qODC= 90o. DC是。O的切线.【例3】如图2,已知AB为。O的直径，C为。O上一点，AD和过C点的 切线互相垂直，垂足为 D .求证：AC平分Z DAB.图3思路：利用圆

4、的切线的性质 一一与圆的切线垂直于过切点 的半径.证明：连接OC.v CD 是O O 的切线，二 OCX CD . AD丄CD，二 OC/ AD.Z 1 = Z 2.v OC = OA，Z 1 = Z 3.Z 2=Z 3. AC 平分Z DAB .【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的.在解决 有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 切线.例 4】如图1，B、C是O O上的点，线段AB经过圆心O,连接AC、BC，过点C作CD丄AB于D，Z ACD=2Z B. AC是O O的切线吗？为什么? 解：AC是O O的切线.理由：连接OC,vOC=OB

5、，AB是OO的直径，D是ABZ OCB=Z B.vZ COD是厶BOC的外角，Z COD= Z OCB+Z B=2Z B.vZ ACD=2Z B，Z ACD=Z COD.v CD 丄 AB 于 D，Z DCO+ Z COD=90o .Z DCO+ Z ACD=90o .即 OCX AC.v C为O O上的点，AC是O O的切线.【例5】如图2,已知。是厶ABC的外接圆, 的延长线上的一点，AEXDC交DC的延长线于点E,且AC平分Z EAB.求证:DE是O O的切线.图2证明：连接0C,贝U OA=OC,/ CAO=Z ACO, AC 平分/ EAB,/ EAC=Z CAO=Z ACO, AE

6、/ CO,又AE丄DE,CO 丄 DE, DE是。O的切线.、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3, AB=AC , OB=OC ,O O与AB边相切于点D .证明:连接OD，作OE丄AC,垂足为E. AB=ACOB=OC. AO为/BAC角平分线，/ DAOMEAOvO O与AB相切于点D , / BDO= / CEO=9O. v AO=AO ADOA AEO，所以 OE=OD .v OD是O O的半径， OE是O O的半径. O O与AC边相切.【例7】 如图，在 ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D，交ACA于E,

7、 B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切.证明：连结OE, AD.v AB是O O的直径， AD 丄 BC.又 v AB=BC , Z 3=Z 4.BD=DE , Z 1 = Z 2.又v OB=OE, OF=OF, BOFEOF (SAS). Z OBF=Z OEF.v BF与O O相切, OB 丄 BF. Z OEF=9O EF与O O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切.证明一：作直径AE，连结EC. PA=PD，/ 2=Z 1 + Z DAC. AD 是/ B

8、AC 的平分线，/ DAB= / DAC.vZ 2=Z B+ / DAB，/ 仁/B.又/ B=Z E，/ 1 = Z Ev AE是。O的直径， AC 丄 EC，Z E+Z EAC=90.Z 1 + Z EAC=900. 即 OA 丄 PA. PA与O O相切.证明二：延长AD交O O于E,连结OA，OE.v AD是Z BAC的平分线,c c1 BE=CE， OE 丄 BC. Z E+Z BDE=900.v OA=OE， Z E=Z 1.v PA=PD， Z PAD= Z PDA.又 vZ PDA= Z BDE, Z 1 + Z PAD=900即OA丄PA. PA与O O相切说明：此题是通过证

9、明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用【例9】如图，AB=AC，AB是O O的直径，O O交BC于D，DM丄AC于MBC求证：DM与O O相切.证明一：连结OD.v AB=AC，/ B= / C.OB=OD,/ 1 = / B./ 仁/C.OD / AC.v DM 丄 AC, DM 丄 OD. DM与O O相切证明二：连结OD, AD.v AB是。O的直径， AD 丄 BC.又 v AB=AC,/ 仁/2.v DM 丄 AC,/ 2+Z 4=90v OA=OD ,/ 仁/3./ 3+Z 4=90.即OD丄DM. DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证

10、两角互余证明垂直 的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】 如图，已知：AB是O O的直径，点C在OO上，且/ CAB=30,BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O O的切线证明：连结OC、BC.v OA=OC，./ A= / 仁/30./ BOC=Z A+ / 1=600.又 OC=OB, OBC是等边三角形OB=BC.vOB=BD ,OB=BC=BD.OC 丄 CD. DC是。O的切线.CD 丄 AB，且 OA2=OD OP.说明：此题解法颇多，但这种方法较好 【例12】 如图，AB是。O的直径, 求证：PC是O O的切线.证明：连结OC2v OA2=OD OP, OA=O

11、C ,2A OC =OD OP,OC OPOD _OC .又v/仁/ 1, OCPsA ODC.A / OCP=/ ODC.v CD 丄 AB , a / OCP=9C.A PC是。O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E, 交CD于F.求证：CE与厶CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG的外接圆，但 CFG是直角三角形，圆心FG的中点O,连结OC,证明CE丄OC即可得在斜边FG的中点，为此我们取 解.证明：取FG中点O,连结OC.v ABCD是正方形， BC 丄 CD, CFG 是 RtAv O是FG的

12、中点，O是RtACFG的外心.vOC=OG,:丄 3=Z G,v AD / BC ,/Z G=Z 4.vAD=CD, DE=DE,Z ADE= Z CDE=45, ADECDE (SAS).Z 4=Z 1,Z 1 = Z 3.vZ 2+Z 3=90,Z 1 + Z 2=90.即CE丄OC. CE与厶CFG的外接圆相切二、若直线I与。O没有已知的公共点，又要证明I是。O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”又 v BD=CD, BDECDF (AAS) DF=DE. F 在O D 上. AC是O D的切线证明二：连结DE, AD，作DF丄AC, AB与O D相切， DE 丄 AB. AB=AC , BD=CD ,/ 1 = / 2. DE 丄 AB , DF 丄 AC , DE=DF. F 在O D 上. AC与O D相切.ADF=DE的，证明二是利用角平分说明：证明一是通过证明三角形全等证明 线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC, BD与O O切于A、B，且AC / BD，若/ COD=90求证：CD是O O