高等几何讲义( 第3章 )

1、 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) a b c d x 1. 透视对应透视对应 一线束与一点列间的一一对应，若使束中每一直线 过其对应点(等价地，使列中每一点在其对应直线 上)，则称此对应为透视对应透视对应，简称透视透视 从线束到点列的透视称为截影截影 从点列到线束的透视称为投影投影 如右图， a，b，c，d， 是以 x 为心的线束被以 为底 的点列截得的截影 而a，b，c，d，是投影 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) a b c d x 定理定理1 点列与线束间的透视 保持交比不变 ( ) 1( ) 2( )，( ) 1( ) 2(

2、 ) 从而 ( ) ( ) ( ) 1( ) 2( ) ( ) 1( ) ( ) 2( ) ( ) 1( ) 2( )， 即 ( c ) 1( a ) 2(b ) 同理 ( d ) 1( a ) 2(b ) 因此 (ab; cd) 21/12 (; ) 证明证明：如右图，在线束 x 中 取、 为基线，则 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 同类一维基本形间的透视： a/ d/ / x a b c d b/ c/ / x/ / / / x 若两个线束是同一点列的 投影，则称这两个线束是 透视的透视的 若两个点列是同一线束的 截影，则称这两个点列是 透视的透视的 点列的

3、底称为透视轴透视轴线束的心称为透视中心透视中心 透视线束的等价定义是它它 们的对应直线交点共们的对应直线交点共 线线 透视点列的等价定义是它它 们的对应点连线共点们的对应点连线共点 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 如前面三图中的透视分别记为： 写在记号“ ”上方的文字表示透视中心或透视 轴 记号：用“ ”表示透视 , , , a, b, c, ， a, b, c, a/, b/, c/, ， x , , , /, /, /, ， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) a/ d/ / x a b c d b/ c/ 定理定理2 透视保持交

4、比不变 证明证明：由定理1及对偶原理， 只需证二点列情形 注意：xa, xb, xc, 可简写为 xa, b, c, 故 (ab; cd) (xa, xb; xc, xd) (a/b/; c/d/) 若a, b, c, d, a/, b/, c/, d/, ，则 x a, b, c, d, xa, b, c, d, a/, b/, c/, d/, ， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线 ae 与对角线 bd 平行证明：直线 ab、ad 与直线 ac、ae 成调和共轭 a o d c b p e 故 (ab, a

5、d; ac, ae) (bd; op) 因平行四边形对角线互相平分，故 (bd; op) 1 所以 (ab, ad; ac, ae) 1 ab, d, c, e b, d, o, p， 证明：证明：因 ae 与 bd 平行，故 设二者交点为无穷远点 p 记(ac)(bd) o则 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) x y za b u c d m n 例例2 求证：完全四点形的一边 上的二顶点，两条对角线与此 边的二交点，四点成调和共 轭(可作结论使用) 故(uz; ab) (yz; mn) 1 这表明在边 ab上，a、b与 u、z 成调和共轭 证明证明：如图，由完

6、全四点形的 对角线上的调和共轭性质， 有 (yz; mn) 1 又以点 x 为中心，有 u, z, a, b y, z, m, n， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 2. 一维基本形之间的射影对应一维基本形之间的射影对应 一维基本形 I 与 II 之间的一一对应 T: III，若保 持交比不变，则称为射影对应射影对应 关于射影对应的表达式，有 定理定理3 两个一维基本形之间的射影对应是非退化 的线性变换： 证明证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列 在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依 次为 II 的坐标系 / u/, v/;

7、t/ 中的基点和单位点 a11 a12 1 a21 a22 2 /1 /2 T: ，det(aij) 0 (3.1) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) u t v x u/v/t/ x/ I II 且设 I 上的动点 x 对应 II 上 的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx) 设各点射影坐标分别为 u(u1, u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1, 2)、x/(/1, /2)，则得 10 11 /21 /10 11 10 /20 /11 t2u2 t1u1 2v2 1v1 2u2 1u1 t2v2 t1v1 高高 等等 几几

8、 何何 ( Higher Geometry ) v2t2t2u2 t1u1t1v1 令 ，则 /2 /1 u21 u12 v21 v12 ， /2 u21 u12 /1 v21 v12 ，从而 若记 a11 v2，a12 v1，a21 u2，a22 u1，则 得所求射影变换式为 反之，也可证明(3.1)必为射影对应 在 (3.1) 中令 1/2，/ /1/2，a a21，b a11，c a22，d a12，则可得 a11 a12 1 a21 a22 2 /1 /2 T: ，det(aij) 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 推论推论1 采用非齐次坐标，两个一维

9、基本形之间的 射影对应式为 a/ b c/ d 0，ad bc 0 推论推论2 三对对应元素决定两个一维基本形之间的 射影对应 例例3 求射影对应，使直线 上坐标为0、1、2的 三点依次对应于 /上坐标为 1、0、2的三点 解法一解法一：(非齐次坐标法) 设对应式为 a/ b c/ d = 0，则 由 0 1 得 c d 0， 由 1 0 得 b d 0， 由 2 2 得 4a 2b 2c d 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 由以上三式联立求解，得 a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4， 故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0 解法二解法二：(齐

10、次坐标法) 设对应式为 由 (0, 1) (1, 1) 得 由 (1, 1) (0, 1) 得 由 (2, 1) ( 2, 1) 得 a11 a12 1 a21 a22 2 /1 /2 ，det(aij) 0 1 a12 1 a22， 0 a11 a12 2 a21 a22， 23 2a11 a12 3 2a21 a22 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 将以上三组方程中的第一个联立，可解得 a11 a12 1，3 1/2 联立其余三个方程，并用上述结果，可得 a11 1，a12 1，a21 (3/4)1，a22 1， 故所求射影对应为 解法三解法三：(交比法)

11、设 上任意点 x( )对应于 / 上的 点 x/(/ )，则 (0,1; 2, ) (1,0; 2, / )，即 (02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02)， 故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0 4 4 1 3 4 2 /1 /2 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 由定义：射影对应是可传递的射影对应是可传递的即 则 a, b, c, a/, b/, c/, 记号记号：“ ”表示射影对应 若 a, b, c, , , , ，且 , , , a/, b/, c/, ， 3. 射影对应与透视的关系射影对应与透视的关系 定理定理4 透视是射

12、影对应 定理定理5 二同类一维基本形间的射影对应是透视 将公共元素映到自身 证明证明：由对偶原理，只需证明同为点列的情 形必要性显然，下证充分性 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 如图，设 T: / 为 a, b, c, d, a/, b/, c/, d/, ， (1) 其中 a a/ / x a a/b/ b c d c/d/ / _ d 记 x (bb/)(cc/)，又对 上任意点 d，设 (xd) / ，则 _ d a, b, c, d, a/, b/, c/, , (2) x _ d 由(1)和(2)，有 (a/b/; c/d/) = (ab; cd )

13、(a/b/; c/ )， _ d 因此 d/，即 T 为透视 _ d 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 定理定理6 同类一维基本形间 的非透视射影对应可以分 解为两个透视的乘积 a b c d a/b/c/d/ / / a/ b/ c/ d/ 证明证明：只需证明同为点列 的情形 如图，有非透视射影对应 a, b, c, d, /a/, b/, c/, d/, (1) 因 a/a, b, c, d, a, b, c, d, ， 且 aa/, b/, c/, d/, /a/, b/, c/, d/, ， 故 aa/, b/, c/, d/, a/a, b, c, d,

14、 因 a a/ a/ a，故 有 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) aa/, b/, c/, d/, a/a, b, c, d, 所以，线束 a 与线束 a/ 的对应直线交点a/, b/, c/, d/, 共线于 / 于是非透视射影对应 (1) 成为两个透视 与 /a/, b/, c/, d/, /a/, b/, c/, d/, a a, b, c, d, /a/, b/, c/, d/, a/ 的乘积 注意注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递， 但透视一般是不可传递的 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) d/ a b c d a

15、/b/c/ / 作法见下图：作法见下图： 求作 上任意点 d 在 /上的对应点 a, b, c /a/, b/, c/， 例例4 已知两射影点列的三对对应点 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例5 用透视法证明Pappus定理 证明证明：如图，设 a b c a/b/c/ d p s r t q / p (ab/)(a/b)，q (bc/)(b/c)， r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， t (bc/)(ca/)，d / 因 a/, p, s, b a/, b/, c/, d t, q, c/, b， a c 故 a/, p, s, b t,

16、 q, c/, b， 从而 a/, p, s, b t, q, c/, b 所以 a/t，pq，sc/ 共点，即 r (a/t)(sc/) 在 直线 pq 上 由此证得 p、q、r 共线 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) d/ 3过 x 作平行于 的直线 ，记 d ( )，则 d 即是所求点 x bca a/ b/ d 作法作法：1过 c 作不过 a、b 的任意直线，在上取a/、b/， 使 ca/cb/ ； 从而(ab; cd) (a/b/; cd/) ，因此 d 为所求点 2作aa/、bb/，记 x (aa/)(bb/)； 理由理由：记 d/ 为上无穷远点，则

17、a, b, c, d a/, b/, c, d/， x 例例6 已知直线 上三点a、b、c及常数 ( 0, 1)， 求作第四点 d，使(ab; cd) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例7 在三点形abc中，d, d/; e, e/; f , f /顺次是各边 b c, c a, a b的两个顶点的调和共轭点证明： e f , e/ f /, b c共点；f d , f / d/, c a共点；d e, d/ e/, a b共点 a b c f d e f / d/ e/ 证明证明：因(ac; ee/) 1 (ab; f f / ) 所以 e f、e/ f /

18、、b c 共点 其余同理可证 故 a, c, e, e/ a, b, f, f /， 从而 a, c, e, e/ a, b, f, f / 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例8 若三点形 abc 的边 bc，ca，ab分别通过 共线三点 p，q，r，又顶 点 b，c各在一条定直线 上求证：顶点 a 也在 一条定直线上 o a c b pq r a0 b0 c0 证法一证法一：以德萨格定 理证明点 a 在定直线 oa0上 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) q v a g u r c v/ p o b 所以 (qu; rv) (go

19、; bv) (qv/; pv) 因q、r、v、q、v/、p均为 定点，故 u 为定点 所以 a 在定直线o u上 则 q, u, r, v g, o, b, v， a 且 q, v/, p, v g, o, b, v c 证法二证法二：如图，设 b，c 所在定直线 、 交点为 o记 v (p q)、v/ (p q)，g (c q)，u (o a) ( p q) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 4. 一维射影变换一维射影变换 一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换一维射影变换 给定坐标系 u, v; t，则一维射影变换 T: a/ b c/ d 0，ad bc

20、 0 将 (w) =(u) (v) 变为(w/) /(u) (v) 其不动元坐标满足 a2 (b c) d 0，ad bc 0 1) 若 a 0，则由判别式 (b c)2 4(bc ad) 的符号知 T 有两个不动元、唯一不动元、无不动 元(或有两个虚不动元) 2) 若 a 0，则不动元坐标 满足 (b c) d 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 若 b c 0，则有二不动元 和 d/(b c)； 若 b c 0，则有唯一不动元 注意注意：1是射影变换不动元的充要条件是射影 变换式中 a 0 2一维射影对应将 变成 的充要条件是射影对 应式中 a 0 定理定理

21、7 一维非恒等射影变换可分为三种类型： 1. 有二(实)不动元素；(双曲型双曲型) 2. 有唯一(实)不动元素；(抛物型抛物型) 3. 无(实)不动元素(椭圆型椭圆型) 关于有二不动元素的射影变换（即双曲型），有 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 定理定理8 设一维基本形上的变换 T 有两个不动元素 v、w，且u、u/是其任意一对对应元素，则 T 是射 影变换 (vw; uu/) 常数( 0) 证明证明：不妨设一维基本形是点列 设 u 与 u/， t 与 t/ 是任意两对对应点： (u) 1(v) 2(w)，(u/) /1(v) /2(w)， (t) 1(v) 2

22、(w)，(t/) /1(v) /2(w) 因2/1/1/2 2/1/1/221/12 /2/1/1/2， 故 ( vw; uu/) ( vw; tt/) ( vw; ut) ( vw; u/t/)， 即 (vw; uu/) 常数 T是射影变换 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 5. 对合对合 设 是非恒等的一维射影变换，若对任意元素 u， 都有 (u) u/，(u/) u， 即 I， 2 I ，则称 为对合对合(变换变换) 称对合的一对对应元素为成对合的元素对 定理定理9 射影变换a/ b c/ d 0，ad bc 0 是对合 b c u/ u/ u/ u 2(u

23、) u/ u 非对合 u/ u/ u/ u 2(u) u/ u 对合 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 证明证明：若一维射影变换T: a/ b c/ d 0， ad bc 0 是对合，则对，有/ 即 a/ b c/ d 0， 且 a/ b/ c d 0， 不妨取一对对应元 与 /，使 /且都不是 ， 则由上面二式可得(b c)( /) 0，从而 b c 反之，若 b c，则 T 的表达式关于 、/ 对称， 故对，有/ 如果采用齐次坐标，则对合的变换式成为 a11 a12 1 a21 a11 2 /1 /2 ，a112 a12a21 0 高高 等等 几几 何何 (

24、Higher Geometry ) 推论推论3 两对对应元素决定一对合 推论推论4 抛物型对合不存在 定理定理10 一维射影变换 ，若有一对元素 u v， 满足(u) v，(v) u，则 是对合 证明证明：设w是此一维基本形的任意元素，且 (w) w/，(w/) w/，则 (uv; ww/) (vu; w/w/) (uv; w/w/)， 故 w/ w 定理定理11 有二不动元素的射影变换是对合 每一 对对应元素都是此二不动元素的调和共轭元素 证明证明：设 v、w 是射影变换 的两个不动元，u、 u/ 是其它任意一对对应元，即 (u) u/ 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geomet

25、ry ) 若 是对合，则 (u/) u从而 (vw; uu/) (vw; u/u) 1/(vw; uu/)， 故 (vw; uu/) 1 若为 1，则 u/ u，与所设矛盾 因此，(vw; uu/) 1 反之，若 (vw; uu/) 1，则 (vw; u/u) 1 由此可得(vw; uu/) (vw; u/u) ，即 (u/) u 推论推论 设 v、w 是一维基本形 I 上对合 的二不动 元素，u、u/是 I 上二不同元素，则 u、u/ 是 的 对应元 (vw; uu/) 1 例例9 设 u 与 u/，t 与 t/ 是一对合的两对对应元素， v、w 是二不动元素，求证： u 与 t，u/ 与

26、t/，v 与 w 是另一对合的对应元素 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) a b c d p p/q/r q r/ e 证明证明：由题设有 (ut/; vw) (u/t; vw) 从而 (ut/; vw) (tu/; wv)， 由此可见 u 与 t，u/与 t/，v 与 w 是另一对合 /: u, t/, v, w, t, u/, w, v, 的对应元 例例10(Desargues第二定理) 求证：不过完全四点形顶 点的直线与此完全四点形 的三对对边的交点是属于 同一对合的三对对应点 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) a b c d

27、p p/q/r q r/ e 证明证明：如图设出完全四点 形 abcd 的三对对边与直 线 的三对交点，并设 e (ab)(cd) 因 p, p/, q, r e, p/, d, c p, p/, r/, q/， ba 故 ( pp/; qr) ( pp/; r/q/) 从而 ( pp/; qr) ( p/p; q/r/) ， 这表明 p 与 p/，q 与 q/，r 与 r/ 是对合 q, r, p, p/, q/, r/, p/, p, 的三对对应点 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) Desargues第二定理提供了在由两对对应点 p 与 p/， q 与 q/

28、确定的对合中，作任意点 r 的象点的方法： pp/ q q/ r r/ 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 1. 直射变换的定义及表达式直射变换的定义及表达式 射影平面上的点变换，若将共线点变成共线点，且 保持交比不变，则称为直射变换直射变换，简称直射直射 若坐标系 o(1), o(2), o(3); e在直射T下，o(i)变成 o/(i)，e变成e/，则称 / o/(1), o/(2), o/(3); e/为原坐标 系的象坐标系象坐标系 引理引理 在直射 T 作用下，象点在象坐标系下的坐标 等于原象点在原坐标系下的坐标 证明证明：设任意点 x 在 T 作用下的象为

29、 x/，且 x 在 下的坐标为(x1, x2, x3)， x/ 在 / 下的坐标为(x*1, x*2, x*3) 用第二章3中3.3的记号，如下图所示 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) x e o(1) o(2) o(3) e(1) x(1) x(3) x(2)e(2) e(3) x/ e/ o/(1) o/(2) o/(3) e/(1) x/(1) x/(3) x/(2)e/(2) e/(3) T 因 T 保持共线性，故 e(2)e/(2)，x(2)x/(2)，再由 T 保持交比不变，得 (o/(1)o/(3); e/(2)x/(2) (o(1)o(3); e(

30、2)x(2) 故 x*1/ x*3 x1/ x3 同理 x*2/ x*3 x2/ x3 所以 x1/ x*1 x2/ x*2 x3/ x*3 ( 0 ) ， 即 x*i xi ( i 1, 2, 3 ) (1) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 由此引理可得直射的表达式 定理定理1 射影坐标系下，直射变换的表达式是如下 满秩线性变换： 证明证明：设象点x/ 在 下的坐标为(x/1, x/2, x/3) 因 / 的坐标变换式为 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 A，det A 0 x*1 x*2 x*3 x/1 x/2 x/3 A，det A 0 高高 等等

31、 几几 何何 ( Higher Geometry ) 因此，也直接称满秩线性变换为直射变换，且有 时也将其写为： T: x/i aijxj ( i 1, 2, 3)，|aij| 0 j = 1 3 将 (1) 代入即得 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 A，det A 0 (2) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 2. 射影群及基本射影性质射影群及基本射影性质 可看作射影变换 (2) 用象表示原象的表达式；若 将 x/( x/1, x/2, x/3 )看作原象，x( x1, x2, x3 )看作象， 则此为 (2) 的逆变换习惯上，(2) 的逆变换写为 直

32、射变换 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 A，det A 0 (2) 可改写为： x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 / A 1 (3) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 也可改写为： 其中 Aij 是 aij 在 A (aij) 中的代数余子式 显然，T 1也是直射 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 T 1： A 1 (4) x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 ， (4)/T 1： / A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 B又若 T *： ，det B 0，

33、也是直射，则 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 以上讨论表明，有 定理定理2 射影平面上全体直射变换的集合构成变换 群，称为直射群直射群 通常，将直射变换称为射影变换射影变换，相应地，直射 群也称为射影群射影群射影群附属的几何即射影几何， 其研究内容为射影变换下的不变性质、不变量和 图形分类 易知，结合性是基本射影性质，交比是基本射影 不变量 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 BA，det BA 0 T *T : / 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例 菱形在仿射变换和射影变换下的象分别是什 么图形？为什么？ 答答：分别是

34、平行四边形和四边形 因为仿射变换保持平行性及共线性，但不保持长 度；而射影变换保持共线性，但既不保持平行性， 也不保持长度 考虑直线：1x1 2x2 3x3 0经直射作用的象： 将(3)代入直线方程左端，得 1x1 2x2 3x3 (1, 2, 3) x1 x2 x3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 故直线 在直射(2)下的象为直线 /： /1x/1 /2x/2 /3x/3 0 以上表明：直射作用于直线的象为直线，其相应 表达式为(5)，称为直射(2)的诱导变换诱导变换 其中 ( /1, /2, /3) 满足 (1, 2, 3) A1 x/1 x/2 x/3 /

35、 1 /( /1, /2, /3) x/1 x/2 x/3 (A1)T ， (5) 1 2 3 /1 /2 /3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 从直射作用于点的表达式 (2) 和作用于直线的表达 式 (5)可知，二者互为诱导变换 直射(2)的诱导变换也可写为： 3. 直射的基本定理直射的基本定理 引理引理 射影平面上的直射变换 T 是恒等变换 T 保持平面上每三点不共线的四点不动 证明证明：取此四不动点为坐标系的基点和单位点： o(1)，o(2)，o(3)，e AT 1 2 3 /1 /2 /3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )

36、则直射(2)使 (1, 0, 0)(1, 0, 0)，(0, 1, 0)(0, 1, 0)， (0, 0, 1)(0, 0, 1)，(1, 1, 1)(1, 1, 1) 分别代入 (2)，可得 aii 4，aij 0 ( i j, i, j 1, 2, 3) 故满足条件的变换为 显然，这是恒等变换 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 利用引理，可以证明 定理定理3 在射影平面上，设 b(i) ( i 1, 2, 3, 4)是每 三点不共线的四点，b*(i) ( i 1, 2, 3, 4)也

37、是每三点 不共线的四点，则存在唯一直射 T，将 b(i) 变成 b*(i) 证明证明：(唯一性唯一性) 设 T 和 T / 都是满足条件的变换， 则 T 1T /使 b(i) ( i 1, 2, 3, 4)均不动，故由引理知T 1T / I，从而 T / T (存在性存在性) 分别选取八点的坐标，使 (b(1) (b(2) (b(3) (b(4)， (b*(1) (b*(2) (b*(3) (b*(4) 若记 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 所以变换 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 B*B 1为满足条件的直射 则 (b*(1)T,(b*(2)T,(b*

38、(3)T ) B*B1(b(1)T,(b(2)T,(b(3)T )， 从而 (b*(i)T B*B 1(b(i)T ( i 1, 2, 3)， 进而 (b*(4)T B*B 1(b(4)T b1(1) b1(2) b1(3) b2(1) b2(2) b2(3) b3(1) b3(2) b3(3) B ，B* b1*(1) b1*(2) b1*(3) b2*(1) b2*(2) b2*(3) b3*(1) b3*(2) b3*(3) ， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 教材上关于定理的证明提供了求四对对应点确定的 直射变换的另一种求法： 2将第四对对应点坐标代入求

39、出 1，2，3 ，即 可得所求直射 1令 b1(1) b1(2) b1(3) b2(1) b2(2) b2(3) b3(1) b3(2) b3(3) B ，B* b1*(1) b1*(2) b1*(3) b2*(1) b2*(2) b2*(3) b3*(1) b3*(2) b3*(3) ， 设所求直射为 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 B*B 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ； 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例1 求将点(1, 1, 1)，(0, 1, 2)，(1, 0, 1)分别变成 (1, 1, 1)，(0, 1, 1)，(0, 1,

40、0)，且将直线 x1 x2 x3 0 变成直线 2x/1 x/2 0 的直射 解法一解法一：设所求直射为 其诱导变换为 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ， 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 1 1 即 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 (1) 1 21 1 123 2123 123 12 21 12 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 将直线(1, 1, 1)(2, 1, 0)直线代入得 解之得 1 : 2 : 3 : 4 3: 3: 2: 2 /1 /2 /3 1 123 12

41、 21 2123 21 1 123 12 1 2 3 4 1 2 3 4 21 23 4 1 2 3 ， x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 3 6 3 4 10 8 0 6 0 代入(1)得所求直射为 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 解法二解法二：由三对点的对应关系得 将直线(1, 1, 1)(2, 1, 0)代入得 1 : 2 : 3 3: 3: 2 代入(2)，解出 (1, 2, 3 ) 得 /1 /2 /3 3 4 0 6 10 6 3 8 0 ， 1 2 3 1 2 3 1(/1 /2 /3 ) 2 23 2( /2 /3 ) (2) 1 3 3

42、( /2 ) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 4. 直射变换的不动元直射变换的不动元 定理定理4 直射至少有一个不动点和一条不动直线 证明证明：由直射表达式知，不动点应满足方程组 x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 3 6 3 4 10 8 0 6 0 从而得所求直射为 (a11 )x1 a12x2 a13x3 0 a21x1 (a22 )x2 a23x3 0 a31x1 a32x2 (a33 )x3 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 此方程组有非零解 因 (0) |aij| 0，故这个关于 的三次方程至少有 一个非零实

43、根，由此实根可求得至少一个不动点 由对偶原理可知直射至少有一条不动直线 非恒等直射的不动元个数非恒等直射的不动元个数： 对于每一个特征根 ，代入方程组后， 若独立方程有两个，则对应唯一不动点； 若只有一个，则对应位于一条直线上的不动点 a13 a23 a33 a12 a22 a32 a11 a21 a31 () 0 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例2 求直射变换 x/1 x1 x2，x/2 x2，x/3 x3 的不动元素 解解：不动点方程组为 其特征方程为 (1 )x1 x2 0 (1 )x2 0 (1 )x3 0， 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ()

44、 0() 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 它有三重根 1，代入方程组，得独立方程 x2 0 因此，不动点为直线 x2 0上所有点，即有不动点列 x2 0 不动直线满足 其特征方程仍为()将 1代入方程组得 1 0 因此不动直线为以 (1, 0, 0) 为心的线束 (1 )1 0 1 (1 )2 0 (1 )3 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 例例3 若直射保持一直线上每一点不动，则其表 达式可写为 证明证明：以该直线为坐标三点形的边o(1)o(2)，则 对一切非全零的 x1、x2成立，故 a11 a22 ，a12 a21 a

45、31 a32 0 b 0 a1 0 b a2 0 0 1 T : x1 x2 x3 x/1 x/2 x/3 ，b 0 x1 x2 0 x1 x2 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 即变换矩阵为 因 A 为满秩矩阵，故可记 b /a33，a1 a13/a33， a2 a23/a33，从而可得该变换表达式 A 0 a13 0 a23 0 0 a33 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 1. 对射变换对射变换 在射影平面上，将点变成直线，直线变成点的 一一对应，若保持

46、结合性和交比不变，则称为 对射变换对射变换，简称对射对射 类似于直射，可得对射的两个表达式： 1) 作用于点的表达式为 它将点 x 变成直线 /； x1 x2 x3 /1 /2 /3 A，det A 0， (1) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 将(1)反解，得 它将直线 变成点 x/ 此式有两种解释： 1) (x)为原象，( / )为象，则(1)与(3)是同一变换； 2) ( / )为原象，(x)为象，则(3)是(1)的逆变换 2) 作用于直线的表达式为 1 2 3 x/1 x/2 x/3 (A1)T， (2) A1 (3) x1 x2 x3 /1 /2 /3

47、 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 习惯上，将对射变换(1)的逆变换记为： 注意注意：集合对射不构成变换群，但集合直射， 对射是变换群，称为广义射影群广义射影群，其所附属的几 何称为广义射影几何广义射影几何，射影群为其子群 A1 x/1 x/2 x/3 1 2 3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 2. 配极变换配极变换 满足 2 I 的对射变换 称为配极变换配极变换，简称 配极配极 注意注意：配极作成的集合不能构成变换群，因它 不含恒等变换 / x/x 非配极 / x 配极 配极下，点 x 的对应直线 / 称为点 x 的极线极线；

48、直线 的对应点 x/ 称为直线 的极点极点 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 定理定理1 在给定配极 下， 为 x 的极线 x 为 的极点 证明证明：若 (x) ，则 () 2(x) x 反之，若 () x，则 (x) 2() 利用对射和配极的定义有 定理定理2 若一点在一直线上运动而成点列，则其极 线过一定点转动而成为线束，且此线束的心为已 知直线的极点 x 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 定理定理3 对射(1)成为配极 A AT 证明证明：记表达的对射为 ，则 x / x/， 它们的坐标满足 x1 x2 x3 /1 /2 /3

49、A， /1 /2 /3 x/1 x/2 x/3 (A1)T x1 x2 x3 ， x/1 x/2 x/3 (A1)TA 由此得 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 故(1)成为配极的充要条件为 (A1)TA E， 0 (*) 若(1)是配极，则由 (*) 取行列式得 1， 从而由 (*) 得 A AT 反之，若 A AT，则 (A1)TA E， 从而 是配极 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 因在配极下，象与原象是相互的，所以不必区分 x 与 x/， 与 /，故可将配极的表达式写为： 这里 Aij 是在 (aij) 中元素 aij 的代

50、数余子式 注意注意：配极的变换矩阵总是对称的 x1 x2 x3 1 2 3 ，det (aij) 0 a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 1 2 3 x1 x2 x3 ，det (Aij) 0 A11 A12 A13 A12 A22 A23 A13 A23 A33 (4) ： 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 3. 共轭元素与配极原则共轭元素与配极原则 对于给定的配极，若点 x 在点 y 的极线上，则称 点点 x 共轭于点共轭于点 y； 若直线 通过直线 的极点，则称直线直线 共轭于共轭于 直线直线 定理定理4/ 在配极(4)之

51、下， 直线 共轭于直线 的 充要条件是 定理定理4 在配极(4)之下， 点 x 共轭于点 y 的充要 条件是 (x1, x2, x3)(aij) 0(5) y1 y2 y3 (1, 2, 3)(Aij) 0(5)/ 1 2 3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 将前式代入后式，得(5) 由定理4和定理4/，有 配极原则配极原则 共轭关系是相互的，即甲元素共轭 于乙元素的充要条件是乙元素共轭于甲元素 证定理证定理4：因点 y 的极线 的坐标满足 y1 y2 y3 1 2 3 (aij)， 而点 x 在 上的充要条件为 (x1, x2, x3) 1 2 3 0， 高高

52、 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 推论推论 点 x 共轭于点 y 点 x 的极线共轭于点 y 的极线 重要的共轭关系： 若点 x 在自己的极线 上，则称 x 为自共轭点自共轭点； 若直线 过自己的极点 x，则称 为自共轭直线自共轭直线 推论推论 点 x 自共轭 点 x 的极线自共轭 定理定理5/ 在配极(4)之下， 直线 自共轭的充要条 件是 定理定理5 在配极(4)之下， 点 x 自共轭的充要条件 是 (x1,x2,x3)(aij) x1 x2 x3 0(6) (1, 2, 3)(Aij) 1 2 3 0(6)/ 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geome

53、try ) (1) 在 之下，求点 x(1, 0, 4) 的极线 和直线 (4, 1, 1) 的极点 y； (2) 验证 x 与 y 是配极 的共轭点， 与 是 的共轭直线； (3) 求 的自共轭点和自共轭直线的集合 例例1 已知配极 的表达式为 x1 x2 x3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 1 1 ， 解解：由于(aij) 1 2 3 2 1 1 3 1 1 ， 故 (Aij) 0 5 5 5 8 7 5 7 3 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) (1) 将点 x 的坐标代入 的表达式得其极线 的 坐标为( ) (13, 2, 7) ( y) = (

54、0, 7, 2) 故 x 与 y 是配极 的共轭点 由于 x 的极线是 ，而 y 的极线是 ，故 与 是 的共轭直线； 0 5 5 5 8 7 5 7 3 4 1 1 由 ，可得 的极点 y 的坐标为 (2) 由于 (1, 0, 4) 0 7 2 1 2 3 2 1 1 3 1 1 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) (3) 的自共轭点集合为 即 x12 x22 x32 4x1x2 2x2x3 6x1x3 0 其自共轭直线集合为 即 822 332 1012 1013 1423 0 x1 x2 x3 (x1, x2, x3) 1 2 3 2 1 1 3 1 1 0， (1, 2, 3) 0 5 5 5 8 7 5 7 3 1 2 3 0， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 证明证明：因自共轭直线 过自己的极点 x