MPA联考数学-导数与微分

1、1 引例引例 导数的定义导数的定义 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系可导与连续的关系 求导举例求导举例 小结小结 思考题思考题 作业作业 第一节第一节 导数的概念导数的概念 (derivative) 第二章第二章 导数与微分导数与微分 2 例例1 1直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题 一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的 试确定试确定t0时的瞬时速度时的瞬时速度v(t0). ),()( 00 tsttss )( tv 这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度 在每个时刻的速度在每个时刻的速度. 导数的概念导数

2、的概念 解解 . t s 若运动是匀速的若运动是匀速的, 平均速度就等于质点平均速度就等于质点 一、一、引例引例 ).(tss 关系关系 质点走过的路程质点走过的路程 00 ,ttt从时刻 3 此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算 它越近似的它越近似的 定义为定义为 )( 0 tv , )()( lim 00 0 t tstts t 并称之为并称之为t0时的瞬时速度时的瞬时速度v(t0). 瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率. 导数的概念导数的概念 若运动是非匀速的若运动是非匀速的,)( tv 平均速度平均速度是这段是这段 时间内运动快慢

3、的平均值时间内运动快慢的平均值,t 越小越小, 表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢. 因此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度 注注 方法方法, t s 0 lim t 4 例例2 2 割线的极限位置割线的极限位置 对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢? 导数的概念导数的概念 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线若已知平面曲线),(xfy )(,( 000 xfxM 如何作过如何作过 的切线呢的切线呢. 初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义. 过该点的切线过该点的切线. 我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周

4、有唯一交点的直线即为圆周即为圆周 但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线. 如如 与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线. 切线位置切线位置. 曲线上点曲线上点 法国法国 数学家费马在数学家费马在1629年提出了如下的定义和求年提出了如下的定义和求 法法, P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题. 5 0 x 处切线的斜率处切线的斜率.),( 000 yxM 导数的概念导数的概念 已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 如果割线如果割线MN绕点绕点 M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置 MT, 极

5、限位置即极限位置即 , 0MN C在点在点M处的处的切线切线. 如图如图, . 0 NMT ),(xfy x T x y O )(xfy C N M 6 ),( 00 yxM设设 0 0 tan xx yy , )()( 0 0 xx xfxf N tan k 导数的概念导数的概念 0 0) ()( xx xfxf ).,(yxN割线割线MN的斜率为的斜率为 , 0 xx 切线切线MT的斜率为的斜率为 C沿曲线沿曲线 ,M 0 lim xx 0 xx T x y O )(xfy C N M 7 ),(xfy 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性关系上确有如下

6、的共性: 但在数量但在数量 1. 在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都是已知一个函数 求求y关于关于x在在x0处的变化率处的变化率. 2. 计算方法上计算方法上, (1) 当当y随随 x均匀变化时均匀变化时,用除法用除法. (2) 当变化是非均匀的时当变化是非均匀的时,需作平均变化率的需作平均变化率的 x y x 0 lim 在现实生活中在现实生活中,凡涉及变化率的问凡涉及变化率的问 题题,其精确描述和计算都离不开此式所其精确描述和计算都离不开此式所 规定的这一运算规定的这一运算. 导数的概念导数的概念 上述两例上述两例, 分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,

7、 x xfxxf x )()( lim 00 0 极限运算极限运算: 8 定义定义 的的某某个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数 0 )(xxfy x xfxxf x y )()( 00 的的称为称为)(xf 导数的概念导数的概念 , 00 时时变变到到当当自自变变量量从从xxx )()()( 00 xfxxfyxfy 的增量的增量 函数函数 之比之比变量的增量变量的增量 x 与自与自 平均变化率平均变化率. . 二、导数的定义二、导数的定义 ,有定义有定义 9 , 0 x如如 处可导处可导在在并说并说 0 )(xxf , 0 xx y )( 0 x f 中的任何一个表示中的任何一个表示, )

8、( 0 xf 导数的概念导数的概念 x y 存在存在, 如如 平均变化率的极限平均变化率的极限: )1( )()( lim 00 0 x xfxxf x 0 lim x .)( 0处 处的的导导数数在在xxf 或或, d d 0 xx x y 0 d )(d xx x xf x xfxxf x )()( lim 00 0 函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率 0 x (derivative) 或有导数或有导数. 可用下列记号可用下列记号 则称此极限值为则称此极限值为 10 处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为 有时也说在有时也说在x0处导数是正

9、处导数是正(负负)无无 注注 要注意要注意 导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式: , )()( lim)( 00 0 0 xfxf xf . )()( lim)( 00 0 0 xfxf xf 导数的概念导数的概念 当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f (x)在在x0 在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时, 正正(负负)无穷时无穷时, 穷大穷大,但这时导数不存在但这时导数不存在. )1( )()( lim)( 00 0 0 x xfxxf xf x x x x h h h h h h 11 )( 0 xf 关于导数的说明关于导数的说明

10、 或或 如果如果 x0= 0,可以写成可以写成 )0( f 导数的概念导数的概念 特别是特别是, x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 xx 0 , )()( lim 0 0 0 xx xfxf xx . )0()( lim 0 x fxf x 0 xx (1) 点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率,它反映了它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. (2) 如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间 I 内的每点处都可内的每点处都可 导导,就称函数就称函数 f (x)在开区间在开区间 I 内可导

11、内可导. 12 x xfxxf y x )()( lim 0 . )()( lim)( 0 h xfhxf xf h 注注 )( 0 xf 导数的概念导数的概念 , y 记作记作),(x f x y d d . d )(d x xf 或或 即即 或或 )(x f 0 xx (3) 对于任一对于任一都对应着都对应着 f (x)的一个确定的的一个确定的, Ix 导数值导数值.这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f (x)的的导函数导函数. 13 导数的概念导数的概念 例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限 . 5 )()3( lim,)()1( 0 x afxaf axxf x 求求可可导

12、导在在设设 解解 x afxaf x 5 )()3( lim)1( 0 )()3( lim 0 afxaf x x afxaf x 3 )()3( lim 5 3 0 x3 3 5 ).( 5 3 a f . 2 )()( lim, 2)()2( 0 h afhaf af h 求求已知已知 h xfhxf xf h )()( lim)( 00 0 0 解解 h afhaf h 2 )()( lim)2( 0 )()( lim 0 afhaf h )( 2 1 af 2 1 1 h 14 右导数右导数 4. 单侧导数单侧导数 左导数左导数 )( 0 xf )( 0 xf 导数的概念导数的概念 ;

13、 )()( lim 00 0 x xfxxf x . )()( lim 00 0 x xfxxf x )0( 0 x f )0( 0 x f 又分别可以解释为曲线又分别可以解释为曲线)(xfy )(,( 00 xfx在在 点的左切线的斜率与右切线的斜率点的左切线的斜率与右切线的斜率. 0 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx 0 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx 从几何上从几何上 (left derivative) (right derivative) 15 导数的概念导数的概念 处的可导性处的可导性. )(af 且且 )(bf 和和.,)(上可导上可导在闭区间

14、在闭区间就说就说baxf 处可导处可导在在 0 )(xxf ,)()( 00 都都存存在在和和右右导导数数左左导导数数xfxf 且相等且相等 此性质常用于判定分段函数在此性质常用于判定分段函数在 分段点分段点 如果如果 )(xf 在开区间在开区间),(ba内可导内可导, 都存在都存在, 16 求增量求增量)1( 算比值算比值)2( 求求极极限限)3( 例例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 0 lim h . 0 0)( C 三、求导举例三、求导举例( (几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数) ) 导数的概念

15、导数的概念 步 步 骤骤 );()(xfxxfy ; )()( x xfxxf x y .lim 0 x y y x 即即 CC h 导数的定义不仅给出了导数的概念导数的定义不仅给出了导数的概念, 也提供了计算方法也提供了计算方法.因而它也属于双重意因而它也属于双重意 义的定义义的定义. 0)( C 17 例例 ,sin)(xxf 设设函函数数 解解 h xhx x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim 0h h h x h .cos x .cos)(sinxx 4 )(sin x x. 2 2 导数的概念导数的概念 .)(sin)(sin 4 x

16、 xx 及及求求 4 cos x x 即即 同理可得同理可得.sin)(cosxx 自己练习自己练习 18 例例.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxy n 解解 h xhx x nn h n )( lim)( 0 ! 2 )1( lim 121 0 nnn h hhx nn nx 1 n nx 1 )( nn nxx 更一般地更一般地)(.)( 1 Rxx )( x如如 1 2 1 2 1 x x2 1 )( 1 x 11 )1( x 2 1 x 导数的概念导数的概念 即即 19 例例.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxf x 解解 h aa a xhx h x

17、0 lim)( h a a h h x 1 lim 0 .lnaa x aaa xx ln)( .)( xx ee 导数的概念导数的概念 即即 20 例例 .)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxy a 解解 h xhx y aa h log)(log lim 0 e x x aa log 1 )(log . 1 )(ln x x x x h x h a h 1 )1(log lim 0 h x a h x h x )1(loglim 1 0 .log 1 e x a 导数的概念导数的概念 即即 21 例例 .0|)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf 解解, |)

18、0()0( h h h fhf h fhf h )0()0( lim 0 , 1 h fhf h )0()0( lim 0 . 1 ),0()0( ff .0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy 导数的概念导数的概念 即即 h h h 0 lim h h h 0 lim xy x y O 22 1.几何意义几何意义 表表示示)( 0 x f 特别地特别地: 导数的概念导数的概念 )( ,tan)( 0 为倾角为倾角 x f )(xfy 曲线曲线 , )(,( 00 切线的斜率切线的斜率 处的处的在点在点xfxM 即即 四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义 0 x x

19、y O )(xfy C T M 000 (1)()0,( )(,() ; fxyf xxf x Ox 若则曲线在点 的切线平行于轴 23 ).)( 000 xxxfyy .0)()( )( 1 00 0 0 xfxx xf yy ,)()2( 0 x f若若 )(,()( 00 xfxxfy在在点点则则曲曲线线 .轴轴的切线垂直于的切线垂直于Ox :)(,()( 00 处的切线方程为处的切线方程为在点在点曲线曲线xfxxfy :)(,()( 00 的的法法线线方方程程为为在在点点曲曲线线xfxxfy 导数的概念导数的概念 24 例例 , )2 , 2 1 ( 1 斜率斜率 处的切线的处的切线的

20、在点在点求等边双曲线求等边双曲线 x y 解解得切线斜率为得切线斜率为 2 1 x yk 2 1 ) 1 ( x x 2 1 2 1 x x . 4 所求切线方程为所求切线方程为 法线方程为法线方程为 ), 2 1 (42 xy ), 2 1 ( 4 1 2 xy . 044 yx . 01582 yx 导数的概念导数的概念 .方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线 由导数的几何意义由导数的几何意义, 即即 即即 )( 000 xxxfyy )( )( 1 0 0 0 xx xf yy 25 2.物理意义物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.

21、 路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度; . d d lim)( 0 t s t s tv t 电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度; . d d lim)( 0 t q t q ti t 为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度. 导数的概念导数的概念 变速直线运动变速直线运动 交流电路交流电路 非均匀的物体非均匀的物体 质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数 26 该点必连续该点必连续. . 证证 ,)(可导可导在点在点设函数设函数xxf )(lim 0 xf x y x )(xf x y xxxfy )( 0 lim x 0

22、.)(连续连续在点在点函数函数xxf )0(0 x 导数的概念导数的概念 定理定理如果函数如果函数 则函数在则函数在 五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系 在点在点x处可导处可导, , )(xf 即即 函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系 所以所以, , lim 0 x 27 如如, , ,0处不可导处不可导但在但在 x 该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理不一定成立. 注注 导数的概念导数的概念 ,0)(处处连连续续在在 xxxf .)(0的的角角点点为为xfx 连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件, ,不是可导的充分条件不是可导的充分条件. . xy x y O 28 例

23、例 .0 , 0, 0 0, 1 sin )( 处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在 讨讨论论函函数数 x x x x x xf 解解, 1 sin是是有有界界函函数数 x 0 1 sinlim 0 x x x .0)(处连续处连续在在 xxf ,0处处在在 x x y , 1 sin x ,0时时当当 x .0)(处不可导处不可导在在 xxf 0)(lim)0( 0 xff x 导数的概念导数的概念 .11之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在 x y x x 0 1 sin)0( x 0 29 ., , )( 0 0 2 xxbax xxx xf 当当 当当 设设 为了使为了

24、使 f(x) 在在x0处可导处可导, 导数的概念导数的概念 解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx )( 0 xf 故应有故应有. 2 00 xbax 又因又因 , 2 0 x, 0 bax . 2 0 x )( 0 xf 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx 0 2 0 2 0 lim xx xx xx 0 2x 应如何选取应如何选取a,b ? 30 导数的概念导数的概念 )( 0 xf 0 0) ()( lim 0 xx xfxf xx 0 2 0 )( lim 0 xx xbax xx 0 0 )

25、()( lim 0 xx baxbax xx 2 00 xbax 0 0 0 lim xx axax xx a 从而从而,当当 )( 0 xf 0 2x ,2 0 xa f(x) 在在x0处可导处可导., 2 0 xb ., , )( 0 0 2 xxbax xxx xf 当当 当当 设设 应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 31 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限; 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率; 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义

26、求导数由定义求导数. 判断可导性判断可导性 不连续不连续,一定不可导一定不可导. 连续连续 直接用定义直接用定义; 看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. 导数的概念导数的概念 六、小结六、小结 ;)()()( 000 axfxfaxf 32 思考题思考题(是非题是非题) 导数的概念导数的概念 ,)(. 1 0点 点可可导导在在若若xxf ,| )(|. 2 0点 点可可导导在在若若xxf ?| )(| 0点 点必必可可导导是是否否在在xxf ?)( 0点必可导 点必可导在在是否是否xxf 非非,)(xxf 如如处处在在0 x可导可导; 但但| )(|xf处处在在0 x不可导不可导

27、. 非非 ，如如 0, 1 0, 1 )( x x xf1| )(| xf 处可导；处可导；在在0 x 但但)(xf 处处在在0 x不可导不可导. 33 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则 小结小结 思考题思考题 作业作业 第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 第二章第二章 导数与微分导数与微分 反函数的求导法则反函数的求导法则 基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 34 定理定理1 ,)(),(处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxvxu )()()1(xvxu 并且并且 则它们的线性组合、积、商则它们的线性

28、组合、积、商在点在点 x处也可导处也可导, );()(xvxu )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu )( )( )3( xv xu )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu 函数的求导法则函数的求导法则 ).0)( xv .,R 一、函数的线性组合、积、商的求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则 35 证证 则由导数的定义有则由导数的定义有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xuhxu h )()( lim 0 h xvhxv h )()( lim 0 ).()(xvxu 函数的求导法则函数的求导法则 )()()1(xvxu );()

29、(xvxu .,R 0 lim h h ( )( )( ),f xu xv x设 ()( )u xhu x 0 ()() ( )( ) lim h u xhv xhu xv x h ()( )v xhv x 36 )( )( xv xu ).0)( )( )()()()( 2 xv xv xvxuxvxu , v u y 设设证证 .yvu 则则 )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu 由乘积的导数由乘积的导数: u 得得故故 v vyu y v v v u u )0( 2 v v vuvu v y ,v y y 特别特别 )( 1 xv )( )( 2 xv x v . 2

30、 v vuvu v u 即即 函数的求导法则函数的求导法则 37 推论推论,处均可导处均可导在点在点、若若xwvu wvu uvw ,wvu 则则 ,处也可导处也可导在同一点在同一点x 且且uvw v w w vuwuv 函数的求导法则函数的求导法则 u vw u 38 例例.sin2 23 的导数的导数求求xxxy 解解 2 3xy x4 例例.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 x xx 1 cossin2 .cos x .2sin 1 ln2cos2x x xx 函数的求导法则函数的求导法则 39

31、例例.tan的的导导数数求求xy 解解)(tan xy x 2 cos x xx 2 22 cos sincos x x 2 2 sec cos 1 .sec)(tan 2 xx )(cot x同理可得同理可得 x x cos sin 即即 .csc 2 x 2 v vuvu v u 函数的求导法则函数的求导法则 )(cossin xxxx cos)(sin 40 例例 .sec的的导导数数求求xy 解解) cos 1 ()(sec x xy x x 2 cos )(cos .tansecxx x x 2 cos sin xxxcotcsc)(csc 同理可得同理可得 )( 1 xv )( )

32、( 2 xv x v 即即xxxtansec)(sec 函数的求导法则函数的求导法则 41 . 1 1 的的导导数数求求 x x y 解解 法一法一 2 )1( )1)(1()1()1( x xxxx y 2 )1( 2 x 法二法二 1 1 x x y 1 2 1 x ) 1 2 ()1( x y 2 )1( 2 x 注注 在进行求导运算中在进行求导运算中, 且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单, 尽量先化简再求导尽量先化简再求导, 确性确性. 2 )1( 1 2 x 函数的求导法则函数的求导法则 )( 1 xv )( )( 2 xv x v 42 函数的

33、求导法则函数的求导法则 用求导法则与用定义求导数时用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致结果有时不一致, 这是为什么这是为什么? 如已知如已知).0(,sin)( 3 fxxxf 求求 无意义无意义, 解解.cossin 3 1 )( 31 32 xxx x xf )0( f 所以所以, )0( f 不存在不存在. 上述解法有问题吗上述解法有问题吗? 注意问题出在注意问题出在 )(0 xfx 处处不连续不连续.因此 因此)(x f 可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值. ,0时时当当 x )(xf ,0时时当当 x , 0用定义用定义! ,cossin

34、 3 1 3 32 xxx x 43 )( 1 )( 1 yf xf 或或 . d d 1 d d y x x y 第一章第九节定理第一章第九节定理2: 单调的连续函数必有单调的连续函数必有 单调的连续反函数单调的连续反函数. . 定理定理2内内单单调调、在在某某区区间间如如果果函函数数 y Iyfx)( ,0)( y f且且在在那末它的反函数那末它的反函数)( 1 xfy ,内内也也可可导导对对应应区区间间 x I 且且 可导可导 函数的求导法则函数的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 证证, x Ix 任任取取xx 以以增增量量给给 )()( 11 xfxxfy 连续连续,

35、 ), 0( x Ixxx , 0 . 1 y x x y , 0lim 0 y x )( 1 xfy 故故从而从而 有有 0 lim x0 lim y . )( 1 y f )( 1 xf 因因 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. . 1y x x y 44 . 1 1 2 x 例例 .arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解yxsin yycos)(sin 且且 内内有有在在)1 , 1( x I )(arcsin x ycos 1 y 2 sin1 1 . 1 1 2 x . 1 1 )(arccos 2 x x 同理可得同理可得 ; 1 1 )

36、(arctan 2 x x . 1 1 )cotarc( 2 x x , 0 )(sin 1 y )(arcsin x 函数的求导法则函数的求导法则 )( 1 )( 1 yf xf 单调、可导单调、可导, 直接函数直接函数 反函数反函数 , 2 2 y I 在内 45 注注 如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式: ,arcsin 2 arccosxx , 1 1 )(arccos 2 x x . 1 1 )cot( 2 x x arc ,arctan 2 cotarcxx 也可得公式也可得公式 也可得公式也可得公式 函数的求导法则函数的求导法则 46 例例.log的导数的导数求函数求函

37、数xy a , 0ln)( aaa yy 且且内内有有在在), 0( x I )( 1 )(log y a a x aa y ln 1 . ln 1 ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 y y Iax 特别地特别地 . 1 )(ln x x 函数的求导法则函数的求导法则 47 定理定理3 链导法则链导法则 )(ufy 而而 x y d d )(x g )(u f 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 函数的求导法则函数的求导法则 可导可导, ,且其导数为且其导数为 或或 u y x y d d d d . d d x u 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对

38、中间等于因变量对中间 变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. . ( ),ug xx如果函数在点 可导 ( ), ( )ug xyf g xx在点可导 则复合函数在点 48 证证,)(可导可导在点在点由由uufy )(lim 0 uf u y u )(uf u y 故故 uuufy )(则则 x y x u uf x0 lim)( 函数的求导法则函数的求导法则 x y d d 规定规定 0 0 lim x x u x u uf )( 0 lim x x u xx 00 limlim , 0,0 ux时时当当 xxgfy在在点点则则复复合合函函数数)( ,)(可

39、可导导在在点点如如果果函函数数xxgu 可导可导, ,且其导数为且其导数为可导可导, , 定理定理3 ( )( )yf uug x而在点 d ( )( ) d y f ug x x (lim0) 0u 0,u 0,u 0 lim x 0 lim0. u ( )f u( ).g x 49 推广推广 ),(ufy 设设 的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy 例例 .sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解,lnuy u y x y d d d d u 1 x x sin cos xcot x y d d ),(vu ),(xv .sin xu xcos 函数的求导法则函数的求导法则

40、d d y u d d u v d . d v x d d u x 50 例例.)1( 102 的的导导数数求求函函数数 xy 解解 92 )1(10 xy 92 )1(10 x.)1(20 92 xx 例例 .arcsin 22 2 22 的的导导数数求求函函数数 a xa xa x y 解解 ) 2 ( 22 xa x y 22 2 1 xa 22 2 1 xa )0( a x2 )arcsin 2 ( 2 a xa 2 2 1 1 2 a x a )1( 2 x 函数的求导法则函数的求导法则 )( 22 xa a x 22 1 2 2 x ax 2 22 2 x ax 2 22 2 a

41、ax 51 例例.)2( 2 1 ln 3 2 的的导导数数求求函函数数 x x x y 解解 ),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy x x y2 1 1 2 1 2 )2(3 1 1 2 xx x 例例. 1 sin 的导数的导数求函数求函数 x ey 解解) 1 (sin x x e 1 sin . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x )2(3 1 x x ey 1 sin x 1 cos) 1 ( x 函数的求导法则函数的求导法则 52 0 x , lnx ex )()( ln x ex 因为因为 所以所以 x e ln x )ln( x . 1 x x 1

42、函数的求导法则函数的求导法则 的情形证明幂函数的导数公式的情形证明幂函数的导数公式 1 ()xx 53 xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan cos)(sin 0)( 2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos )( 2 1 ax x aaa a xx ln 1 )(log ln)( x x ee xx 1 )(ln )( 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式 函数的求导法则函数的求导法则 2 1 1 )(arcsin x x 2 1 1 )

43、(arccos x x 2 1 1 )(arctan x x 2 1 1 )cotarc( x x 54 2. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则 函数的求导法则函数的求导法则 )(),(xvvxuu 设设 都可导都可导, 则则 3. 反函数的求导法则反函数的求导法则 )( 1 )( 1 yf xf 或或 . d d 1 d d y x x y 内内单单调调、在在某某区区间间如如果果函函数数 y Iyfx)( ,0)( y f且且在在对对应应区区间间则则它它的的反反函函数数)( 1 xfy 且且 可导可导 .,R (1) (),uvuv (2) ().u vu v

44、uv 2 (3)(0). uu vuv v vv , x I 内也可导 55 4. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 ,)()()(),(都都可可导导及及且且而而设设xgufxguufy 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注 函数的求导法则函数的求导法则 的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xgfy ).()()( d d d d d d xgufxy x u u y x y 或或 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题 可完全解决可完全解决. 56 例例.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解 y xxx2 1 ) 2 1 1( 2

45、 1 1( 2 1 xxx xxx . 8 124 2 2 xxxxxx xxxx )( xxx xxx 2 1 1()( 2 1 xx xx 函数的求导法则函数的求导法则 57 例例 .,可可导导其其中中函函数数的的导导数数求求g x g ey 1 解解 x g 1 x g e 1 2 1 11 xx ge x g x g e x x g 1 2 1 y x g e 1 x g 1 x 1 函数的求导法则函数的求导法则 58 例例).( 00 0 sin )( 2 xf x x x x xf 求求设设 解解,0时时 x ,0时时 x x x x x 0 sin lim 2 0 2 2 0 s

46、in lim x x x 2 2 sin2sin x x x x x x xf 2 sin )( 0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x 1 所以所以 01 0 sin2sin )( 2 2 x x x x x x xf 函数的求导法则函数的求导法则 59 例例 .)(sin的导数的导数求函数求函数 nnn xfy 解解 y )(sin 1nn xn n xcos ).(sin)(sin)(sin )(sincos 1 113 nnnnn nnnnn xxfx xfxxn )(sin 1nnn xnf )(sin nn xf )(sin n x 1 n nx 函数的求导法则函数的

47、求导法则 60 例例与两坐标轴的交点所与两坐标轴的交点所过曲线过曲线证明证明 2 4 : x x y , 0 x令令 证证 , 0 y令令 );2 , 0(Ay轴的交点为轴的交点为曲线与曲线与 ),0 , 4(Bx轴的交点为轴的交点为曲线与曲线与 . 2 y得得 . 4 x得得 2 4 x x y 函数的求导法则函数的求导法则 , 2 1 0 x y, 2 1 4 x y 由于斜率相等由于斜率相等,知二切线平行知二切线平行. (1) 求交点求交点 , )2( 2 2 x 2 2 1 x 分别为曲线在分别为曲线在A, B点点 的切线斜率的切线斜率. (2) 求导数求导数 作的曲线的切线彼此平行作

48、的曲线的切线彼此平行. 61 xe xeex x xx 22 sin)1( sin)1(cos 解解 2 1 sin 1 1 x e x 1 sin x e x y 函数的求导法则函数的求导法则 sin arctan. 1 x x y e 求函数的导数 62 解解 ),(ufy 设设 y xxf3cos)3(sin3 注注 xu3sin u y )(uf x3cos3 则则 x u .的导数的导数对对不表示不表示xf 函数的求导法则函数的求导法则 上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间 变量求导变量求导, ? sin3,.yfxf求的导数 其中函数可导 (sin3 )fx

49、(sin3 ) (sin3 )fxfx 63 .)(, )( 的的导导数数求求是是可可导导函函数数设设 xfx eefyf 解解 函数的求导法则函数的求导法则 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则. )( )( xfx eefy )( )( xfx eef )(xf e )()()( )( xfefeefe xxxxf )( )( xfx eef xx eef )()( )( xfe xf )( x ef 64 .的的导导数数求求函函数

50、数 xaa axa aaxy 答案答案 1 a aa xay a xa axaa 1 ln x axa aa 2 ln 函数的求导法则函数的求导法则 解解 ax afxf af ax )()( lim)( ax xax ax 0)()( lim )(limx ax )(a ( ),( )() ( ),xxaf xxax若在处连续 ( ).fa求 65 (注意成立条件注意成立条件); 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 函数的求导法则函数的求导法则 五、小结五、小结 )()(xvxu )( )( xv xu );()(xvxu . )( )( xv xu 不能遗漏不能遗漏); (对于复合函数对

51、于复合函数, 反函数的求导法则反函数的求导法则 层的复合结构层的复合结构, 注意一层注意一层 函数的积、商求导法则函数的积、商求导法则 注意注意 记住基本初等函数的导数公式记住基本初等函数的导数公式 66 思考题思考题(是非题是非题) .)(, 0处不可导 处不可导在在则则处不可导处不可导xxf )()(,)( 000 xuufyxxu 在在处处可可导导在在若若 非非 例如例如 2 )(xxu 处处可导处处可导, |)(uufy 0)0( 0 u在在处不可导处不可导,但复合函数 但复合函数 2 )(xxfy 处处可导处处可导. 函数的求导法则函数的求导法则 67 高阶导数的定义高阶导数的定义

52、莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式 小结小结 思考题思考题 作业作业 第三节第三节 高阶导数高阶导数 第二章第二章 导数与微分导数与微分 几个基本初等函数的几个基本初等函数的n阶导数阶导数 68 问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. ),(tss 设设)()(tstv 则瞬时速度为则瞬时速度为 是是加速度加速度a )(ta 定义定义)()(xfxf 的的导导数数如如果果函函数数 x xfxxf xf x )()( lim)( 0 高阶导数也是由实高阶导数也是由实 际需要而引入的际需要而引入的. 这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义)(t v )(t s

53、的变化率的变化率对时间对时间速度速度tv 一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义 高阶导数高阶导数 处处的的在在点点为为函函数数则则称称xxfxf)() )( 存在存在,二阶导数二阶导数. . )( 即即处可导处可导在点在点,x 记作记作),(x f 2 2 d d x y . d )(d 2 2 x xf 或或 , y 69 阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数1)( nxf . d )(d d d ,),( )()( n n n n nn x xf x y yxf或或 三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为 ;)(,称为零阶导数称为

54、零阶导数相应地相应地xf . d d ,),( 3 3 x y yxf 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为 . d d ,),( 4 4 )4()4( x y yxf 高阶导数高阶导数. .)(称为一阶导数称为一阶导数x f 高阶导数高阶导数 的的函数函数)(xf 三阶导数三阶导数, , 四阶导数四阶导数, , n阶导数阶导数, , 记作记作 一般地一般地, 70 例例 解解 2 1 1 x y ) 1 1 ( 2 x y 22 )1( 2 x x 22 )1( 2 x x y 32 2 )1( )13(2 x x ; 0 . 2 由高阶导数的定义由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数欲求函数

55、的高阶导数, 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去, 而不需要新的方法而不需要新的方法. 高阶导数高阶导数 .,arctan 00 xx yyxy求求设设 0 220 )1( 2 x x x x y 0 32 2 0 )1( )13(2 x x x x y 71 例例 .),( )(n yRxy求求设设 解解 1 xy )( 1 xy 2 )1( x 3 )2)(1( x)1( 2 xy )1()1()1( )( nxny nn ,n为自然数为自然数若若 )()( )( nnn xy , !n ) !( )1( ny n . 0 高阶导数高阶导数 二、几

56、个基本初等函数的二、几个基本初等函数的n阶导数阶导数 则则 72 高阶导数高阶导数 例例., )(nx yey求求设设 解解, x ey , x ey , x ey .)( )(xnx ee 例例.),1( )1ln( )(n yxxy求求设设 解解 x y 1 1 2 )1( 1 x y 3 )1( ! 2 x y 4 )4( )1( ! 3 x y )1! 0, 1( )1( )!1( )1( 1)( n x n y n nn 73 例例 .,sin )(n yxy求求设设 解解 xycos ) 2 sin( x ) 2 cos( xy) 22 sin( x) 2 2sin( x ) 2 2cos( xy) 2 3sin( x ) 2 sin( )( nxy n ) 2 cos()(cos )( nxx n 同理可得同理可得 即即) 2 sin()(sin )( nxx n 高阶导数高阶导数 74 求求n阶导数时阶导数时, 关键要寻找规律关键要寻找规律, 注注 另外在另外在 的规律性的规律性,写出写出n 阶导数阶导数. 高阶导数高阶导数 便可看出规律