带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1、 同 学 们 好 1、找圆心、找圆心 利用利用vR半径交点半径交点 利用弦的中垂线利用弦的中垂线 两条切线夹角的平分线过圆心两条切线夹角的平分线过圆心 一、带电粒子在磁场中匀速圆周运动分析方法一、带电粒子在磁场中匀速圆周运动分析方法 P M v v O -q P M v O -q v v O AB O t2 0 180 v v O AB O 3、定半径、定半径 4、确定运动时间、确定运动时间 Tt 2 qB m T 2 几何法求半径几何法求半径（解三角形、三角函数）解三角形、三角函数） 向心力公式求半径向心力公式求半径（R= mv/qB） t =s / v 求出求出 运动时间运动时间t v S

2、 vS S v v v S v v S vS 正 v 负 B v v O O R r v B v O O r 2 2 v B v O O r 2 2 B 1、处理临界极值问题基本方法： （1）刚好穿出磁场边界的条件是轨迹与边界相切）刚好穿出磁场边界的条件是轨迹与边界相切 （2）当速度）当速度v一定时，弧长一定时，弧长(或弦长或弦长)越长，圆周角越越长，圆周角越 大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 （3）当速率）当速率v变化时，圆周角越大，时间越长变化时，圆周角越大，时间越长 2、确定临界状态的两 基本方法： 缩放圆 S v v B P S v S

3、QPQQP o v B d ab c v B 2、确定临界状态的 两基本方法： 旋转圆 例题2 E F G J O1 H I G E F I H O1 F E G J H O2 O O 例如图所示，宽例如图所示，宽h=h=2 cm2 cm的有界的有界 匀强磁场的纵向范围足够大，磁感匀强磁场的纵向范围足够大，磁感 应强度的方向垂直纸面向内，现有应强度的方向垂直纸面向内，现有 一群正粒子从一群正粒子从O O点以相同的速率沿纸点以相同的速率沿纸 面不同方向进入磁场，若粒子在磁面不同方向进入磁场，若粒子在磁 场中做匀速圆周运动的轨道半径均场中做匀速圆周运动的轨道半径均 为为r r=5 cm=5 cm，

4、则（，则（ ） A A右边界：右边界：-4 cmy4 cm-4 cmy4 cmy4 cm和和y y-4 cm-4 cm有有 粒子射出粒子射出 C C左边界：左边界：y8 cmy8 cm有粒子射出有粒子射出 D D左边界：左边界：0y8 cm0y 0 0的区域内存在着垂直的区域内存在着垂直 于于xoyxoy平面的匀强磁场平面的匀强磁场B B，磁场的左边界为，磁场的左边界为x x = 0 = 0， 一个带电量为一个带电量为q q = +1.0 = +1.01010-17 -17 C C、质量为 、质量为m m = = 2.02.01010-25 -25 kg kg的粒子，沿着的粒子，沿着x x轴的

5、正方向从坐标轴的正方向从坐标 原点原点O O射入磁场，恰好经过磁场中的射入磁场，恰好经过磁场中的P P点，点，P P点的点的 坐标如图所示，已知粒子的动能为坐标如图所示，已知粒子的动能为E Ek k = = 1.01.01010-13 -13 J J（不计粒子重力）求： （不计粒子重力）求： （1 1）匀强磁场的磁感强度方向及其大小；）匀强磁场的磁感强度方向及其大小； （2 2）粒子在磁场中从）粒子在磁场中从O O点运动到点运动到y y轴的时间轴的时间 C D B v 例例3.3.如图所示，在如图所示，在B B=9.1=9.11010-4 -4T T的匀强磁场中， 的匀强磁场中，C C、D D

6、是是 垂直于磁场方向的同一平面上的两点，相距垂直于磁场方向的同一平面上的两点，相距d d=0.05m=0.05m。在。在 磁场中运动的电子经过磁场中运动的电子经过C C点时的速度方向与点时的速度方向与CDCD成成=3030 角，并与角，并与CDCD在同一平面内，问：在同一平面内，问：(1)(1)若电子后来又经过若电子后来又经过D D 点，则电子的速度大小是多少？点，则电子的速度大小是多少？ (2)(2)电子从电子从C C到到D D经历的时间是多少？经历的时间是多少？ ( (电子质量电子质量m me e=9.1=9.11010-31 -31kg kg， 电量电量e e=1.6=1.61010-1

7、9 -19C) C) 8.0 106m/s 6.5 10-9s O 例例4 4. .如图所示，一带正电粒子质量如图所示，一带正电粒子质量 为为m m，带电量为，带电量为q q，从隔板，从隔板abab上一个上一个 小孔小孔P P处与隔板成处与隔板成4545角垂直于磁感角垂直于磁感 线射入磁感应强度为线射入磁感应强度为B B的匀强磁场区，的匀强磁场区， 粒子初速度大小为粒子初速度大小为v v，则，则 (1)(1)粒子经过多长时间再次到达隔粒子经过多长时间再次到达隔 板？板？ (2)(2)到达点与到达点与P P点相距多远？点相距多远？( (不计不计 粒子的重力）粒子的重力） abP v 45 O 例

8、例 5.如图直线如图直线MN上方有磁感应强度为上方有磁感应强度为B的匀强磁场。的匀强磁场。 正、负电子同时从同一点正、负电子同时从同一点O以与以与MN成成30角的同样速角的同样速 度度v射入磁场（电子质量为射入磁场（电子质量为m，电荷为，电荷为e），它们从磁），它们从磁 场中射出时相距多远？在磁场中运动的时间差是多少？场中射出时相距多远？在磁场中运动的时间差是多少？ MN B O v Be mv s 2 答案为射出点相距答案为射出点相距 Bq m t 3 4 时间差为时间差为 关键是找圆心、求半径和用对称。关键是找圆心、求半径和用对称。 例例6 6如图所示，在第如图所示，在第象限象限 内有垂直

9、纸面向里的匀强磁内有垂直纸面向里的匀强磁 场，一对正、负电子分别以场，一对正、负电子分别以 相同速率沿与轴成相同速率沿与轴成3030角角 的方向从原点射入磁场，则的方向从原点射入磁场，则 正、负电子在磁场中运动的正、负电子在磁场中运动的 时间之比为时间之比为_；它们离；它们离 开磁场时的速度方向互成开磁场时的速度方向互成 _角角。 例例7 7如图，如图，MNMN是一荧光屏，当是一荧光屏，当 带电粒子打到荧光屏上时，荧光带电粒子打到荧光屏上时，荧光 屏能够发光。屏能够发光。MNMN的上方有磁感应的上方有磁感应 强度为强度为B B的匀强磁场，磁场方向的匀强磁场，磁场方向 垂直纸面向里。垂直纸面向里

10、。P P为屏上的一小为屏上的一小 孔，孔，PQPQ与与MNMN垂直。一群质量为垂直。一群质量为m m、 带电荷量带电荷量q q的粒子（不计重力），的粒子（不计重力）， 以相同的速率以相同的速率v v，从，从P P处沿垂直于处沿垂直于 磁场方向射入磁场区域，且分布磁场方向射入磁场区域，且分布 在与在与PQPQ夹角为夹角为的范围内，不计的范围内，不计 粒子间的相互作用。则在荧光屏粒子间的相互作用。则在荧光屏 上将出现一个条形亮线，其长度上将出现一个条形亮线，其长度 为？为？ B Q PMN x x SQ B P cos22 2 RRx MN B O 2R R2RM N O 2R R 2R M N

11、O 2R 2R2RM N O R 2R2R M N O D. A. B. C. 2R R 2R M N O S v v B P S v S QPQQP o v B d ab c v B 例例8 8如图所示，宽如图所示，宽h=h=2 cm2 cm的有界的有界 匀强磁场的纵向范围足够大，磁感匀强磁场的纵向范围足够大，磁感 应强度的方向垂直纸面向内，现有应强度的方向垂直纸面向内，现有 一群正粒子从一群正粒子从O O点以相同的速率沿纸点以相同的速率沿纸 面不同方向进入磁场，若粒子在磁面不同方向进入磁场，若粒子在磁 场中做匀速圆周运动的轨道半径均场中做匀速圆周运动的轨道半径均 为为r r=5 cm=5

12、cm，则（，则（ ） A A右边界：右边界：-4 cmy4 cm-4 cmy4 cmy4 cm和和y y-4 cm-4 cm有有 粒子射出粒子射出 C C左边界：左边界：y8 cmy8 cm有粒子射出有粒子射出 D D左边界：左边界：0y8 cm0y8 cm有粒子射出有粒子射出 V O E F G J O1 H I G E F I H O1 E G F J H O2 例例9.如图中，圆形磁场区域有理如图中，圆形磁场区域有理 想边界，半径为想边界，半径为R，磁感应强度为，磁感应强度为 B一质子一质子(质量为质量为m，电量为，电量为e)沿沿 圆心方向射入磁场，离开磁场时的方圆心方向射入磁场，离开磁

13、场时的方 向与射入方向的夹角为向与射入方向的夹角为120，则质，则质 子通过磁场所用的时间为多少？子通过磁场所用的时间为多少？ 120 例例10.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术 实现的电子束经过电压为实现的电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形的加速电场后，进入一圆形 匀强磁场区，如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区匀强磁场区，如图所示磁场方向垂直于圆面磁场区 的中心为的中心为O，半径为，半径为r当不加磁场时，电子束将通过当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘点为了让电子束射到屏幕

14、边缘P， 需要加磁场，使电子偏转一已知角度需要加磁场，使电子偏转一已知角度，此时磁场的磁感，此时磁场的磁感 应强度应强度B应为多少？应为多少？ P M U 电子束 O 图9-12 例例1111真空中有一半径为真空中有一半径为r r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向 垂直于纸面向里垂直于纸面向里x x轴为过磁场边轴为过磁场边O O点的切线，如图点的切线，如图9-129-12所示所示 从从O O点在纸面内向各个方向发射速率均为点在纸面内向各个方向发射速率均为v v0 0的电子，设电子间相的电子，设电子间相 互作用忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为互作用忽略，且电子在磁场中

15、的偏转半径也为r r已知电子的电已知电子的电 量为量为e e，质量为，质量为m m （1 1）速度方向分别与）速度方向分别与OxOx方向的夹角成方向的夹角成6060和和9090的电子，在的电子，在 磁场中的运动时间分别为多少？磁场中的运动时间分别为多少？ （2 2）所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？）所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？ （3 3）设在）设在x x轴上距轴上距O O点点2 2r r处，有个处，有个N N点，请设计一种匀强磁场分点，请设计一种匀强磁场分 布，使由布，使由O O点向平面内各个方向发射的速率均为点向平面内各个方向发射的速率均为v v0 0的电子都能够

16、的电子都能够 汇聚至汇聚至N N点点 Or v mqvB 2 qB mv r qB mvr R 2 3 2 60sin2 v 60 v a b x y O 30 如图，如图，ABCD是边长为的正方形。质是边长为的正方形。质 量为、电荷量为的电子以大小为的初速量为、电荷量为的电子以大小为的初速 度沿纸面垂直于度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。边射入正方形区域。 在正方形内适当区域中有匀强磁场。电在正方形内适当区域中有匀强磁场。电 子从子从BC边上的任意点入射，都只能从边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。不计重力，求：点射出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方）此匀强

17、磁场区域中磁感应强度的方 向和大小；向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。）此匀强磁场区域的最小面积。 A B C D 12.12.如图如图1 1所示，图中虚线所示，图中虚线MNMN是一垂直是一垂直 纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧 的半空间存在一磁感应强度为的半空间存在一磁感应强度为B B的匀强的匀强 磁场，方向垂直纸面向外。磁场，方向垂直纸面向外。O O是是MNMN上的上的 一点，从一点，从O O点可以向磁场区域发射电量点可以向磁场区域发射电量 为为+ +q q、质量为、质量为m m、速率为、速率为v v的粒子，粒子的粒子，粒子 射入磁场时的速度可

18、在纸面内各个方向。射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。 已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中 给定的给定的P P点相遇，点相遇，P P到到O O的距离为的距离为L L，不计，不计 重力及粒子间的相互作用重力及粒子间的相互作用 （1 1）求所考察的粒子在磁场中的轨）求所考察的粒子在磁场中的轨 道半径；道半径； （2 2）求这两个粒子从）求这两个粒子从O O点射入磁场的点射入磁场的 时间间隔。时间间隔。 O P O2 A v B O1 v A B 例例6 6、如图，一匀强磁场磁感应强度为、如图，一匀强磁场磁感应强度为B B，方向向里，其，方向向里，其 边界是半径为边

19、界是半径为R R的圆。的圆。ABAB为圆的一直径。在为圆的一直径。在A A点有一粒子源点有一粒子源 向圆平面内的各个方向发射质量向圆平面内的各个方向发射质量m m、电量、电量q q的粒子，粒子的粒子，粒子 重力不计。（结果保留重力不计。（结果保留2 2位有效数字）位有效数字） （1 1）如果磁场的边界是弹性边界，粒子沿半径方向射）如果磁场的边界是弹性边界，粒子沿半径方向射 入磁场，粒子的速度大小满足什么条件，可使粒子在磁场入磁场，粒子的速度大小满足什么条件，可使粒子在磁场 中绕行一周回到出发点中绕行一周回到出发点, ,并求离子运动的时间。并求离子运动的时间。 （2 2）如果）如果R=3cmR=

20、3cm、B=0.2T,B=0.2T,在在A A点的粒子源向圆平面内的点的粒子源向圆平面内的 各个方向发射速度均为各个方向发射速度均为10106 6m/sm/s，比荷为，比荷为10108 8c/kgc/kg的粒子的粒子. .试试 画出在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹并求此粒子画出在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹并求此粒子 的运动的时间。的运动的时间。 (3)(3)在（在（2 2）中，如果粒子的初速度大）中，如果粒子的初速度大 小均为小均为3 310105 5米米/ /秒秒, ,求磁场中有粒子到求磁场中有粒子到 达的面积达的面积. . R r 解（解（1 1）速度）速度v v与轨迹半径与轨

21、迹半径r r垂直，所以垂直，所以 出射速度与出射速度与R R同一直线。同一直线。 设粒子经过了设粒子经过了n n个圆弧轨迹回到了个圆弧轨迹回到了A A点，所以在右点，所以在右 图中图中=/n r=Rtan=/n r=Rtan n=3、4 nm qBR v tan （2 2）轨迹的半径）轨迹的半径r=mv/qB=5cmr=mv/qB=5cm 要粒子的运动时间最长，轨迹如图要粒子的运动时间最长，轨迹如图 =74=740 0时间时间t=74T/360=6.4t=74T/360=6.41010-8 -8s s 24 100 . 9mS （3）粒子的轨迹半径）粒子的轨迹半径 r= mv/qB=1.5cm

22、 有粒子到达的区域为如有粒子到达的区域为如 图阴影部分图阴影部分 R eB mn eB mnn t ）（）（22 2 2 T 2 r A B o 2010年宁夏年宁夏25题（题（18分）分） 如图所示，在如图所示，在0 xa、0ya/2范围内有垂直于范围内有垂直于xy平面向外的匀强平面向外的匀强 磁场，磁感应强度大小为磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点，坐标原点O处有一个粒子源，在某时处有一个粒子源，在某时 刻发射大量质量为刻发射大量质量为m、电荷量为、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相的带正电粒子，它们的速度大小相 同，速度方向均在同，速度方向均在xy平面内，与平面内，与y轴正方向的夹

23、角分布在轴正方向的夹角分布在090范范 围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到到a之间，从发之间，从发 射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周 运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 （1）速度的大小；）速度的大小； （2）速度方向与）速度方向与y轴正方向夹角的正弦轴正方向夹角的正弦 2010年宁夏年宁夏25题（题（18分）分） 设粒子的发射速度为设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛，根据牛 顿第二定律和洛伦兹力得：顿第二定律和洛伦兹力得： ，解得：，解得： 当当a/2R0)的粒子以平行于的粒子以平行于x轴的速度从轴的速度从y轴轴 上的上的P点处射入电场，在点处射入电场，在x轴上的轴上的Q点处进入磁