选修4-4 椭圆的参数方程

1、系系标标坐坐第一讲第一讲 . , , ,. , , 何问题的坐标系何问题的坐标系 这就是研究几这就是研究几系系质及其他几何图形的关质及其他几何图形的关的性的性 通过方程研究它通过方程研究它建立它的方程建立它的方程适当的坐标系适当的坐标系 选择选择根据几何对象的特征根据几何对象的特征现了数与形的结合现了数与形的结合 从而实从而实系系、曲线与方程建立了联、曲线与方程建立了联有序实数对有序实数对 平面上的点与坐标平面上的点与坐标通过直角坐标系通过直角坐标系我们知道我们知道 . , ., . , 方便方便标系和球坐标系会更加标系和球坐标系会更加 用极坐标系、柱坐用极坐标系、柱坐时时立某些几何图形的方程

2、立某些几何图形的方程 在建在建需要建立不同坐标系需要建立不同坐标系何图形何图形方法研究几方法研究几 数数为便于用代为便于用代不方便不方便建立几何图形的方程并建立几何图形的方程并 有时在直角坐标系下有时在直角坐标系下的复杂性的复杂性由于实现问题由于实现问题 .的过程的过程 决实际问题决实际问题系中解系中解标标下面我们先回顾直角坐下面我们先回顾直角坐 平面直角坐标系平面直角坐标系一一 平面直角坐标系平面直角坐标系1 信息中心信息中心 观观测测点点观观测测点点 观观测测点点 .),/ .( . , : 上上各各观观测测点点均均在在同同一一平平面面 假假定定声声音音传传播播速速度度为为试试确确定定巨巨

3、响响发发生生的的位位置置 离离都都是是已已知知各各测测点点到到中中心心的的距距们们晚晚 它它听听到到巨巨响响的的时时间间比比 正正东东观观测测点点一一声声巨巨响响 两两个个观观测测点点同同时时听听到到 北北西西、正正正正告告的的报报 正正北北方方向向三三个个观观测测点点 西西、到到位位于于正正东东、正正 某某信信息息中中心心接接思思考考 sm ms 340 10204 ; |,|, ,., , 上上线线 的垂直平分的垂直平分在线段在线段说明点说明点 因此因此发出的响声发出的响声 同时听到由点同时听到由点由于由于 将三个观测点记为将三个观测点记为如图如图 l BCP PCPBP CBCBA 11

4、 ., ,|,| |, , 的的交交点点与与双双曲曲线线就就是是直直线线点点所所以以上上曲曲线线 为为焦焦点点的的双双在在以以点点说说明明点点 因因此此晚晚 听听到到响响声声的的时时间间比比由由于于 lP BAPAB PBPAs CBA 1360 34044 ., , 的的位位置置具具体体确确定定点点标标系系 通通过过建建立立适适当当的的直直角角坐坐征征下下面面利利用用问问题题的的几几何何特特 P ?能能有有利利于于解解决决这这个个问问题题怎怎样样建建立立直直角角坐坐标标系系才才思思考考 AB C P l 信息中心信息中心 11 图图 AB C P x y O l 21 图图 . , , 的的

5、坐坐标标便便解解方方程程组组求求点点 以以的的方方程程简简单单和和双双曲曲线线 系系的的选选取取应应尽尽量量使使直直线线 直直角角坐坐标标因因此此线线的的交交点点 与与双双曲曲是是直直线线由由于于点点 P l lP . , , 立直角坐标系 建轴为直线原点 以信息中心为如图 xBAO 21 1 102000102001020 2 2 2 2 b y a x xy lCBA 的方程为双曲线的方程为 直线于是 . , 的坐标分别为点由已知CBA, . , , , , 1 3405680 3405680 1020 1020680 00 2 2 2 2 22 2222 yx acb ca ba 为 的

6、方程双曲线所以 于是 由已知得 AB C P x y O l 21 图图 .,56805680 yxxy解得代入上述方程将 的坐标为所以点左半支响声应在双曲线由已知P, .|.,mPO1068056805680 从而 .,处距离方向北巨响在信息中心的西偏故m1068045 0 ? ? . , 哪种方法更方便哪种方法更方便 你认为你认为系系的位置有什么区别和联的位置有什么区别和联刻画点刻画点 这种方法与用直角坐标这种方法与用直角坐标的位置的位置刻画了点刻画了点 用角和距离用角和距离我们以信息中心为基点我们以信息中心为基点思考思考 P P .现现了了坐坐标标法法思思想想上上述述问问题题的的解解决决

7、充充分分体体 . , , 的的位位置置关关系系与与平平面面直直角角坐坐标标系系探探究究 建建立立适适当当的的上上的的中中线线分分别别为为边边 满满足足的的三三边边已已知知例例 CFBE ABACCFBE acbcbaABC 222 51 )(A OB C E F x y 31 图图 . , 的的位位置置关关系系与与探探究究 通通过过观观察察操操作作打打开开的的几几何何画画板板 CFBE ., , , 建立直角坐标系轴线为 所在的直边为原点点 的顶以如图解 x ABOA ABC31 ,., , yxC c FcB FBA 的坐标为设点为 的坐标分别点由已知 0 2 000 ., 22 yx E的

8、坐标为则点 )(A OB C E F x y 31 图图 ., cx y k xc y k CFBE CFBE 2 2 2 斜率分别为 所在直线的与线段 , ,|, 2 2 222 222222 5 55 ycxcyx BCABACacb 即可得由 .xccxy 222 2 整理得. 1 CFBE kk所以 .,互相垂直与因此CFBE ? , ? 些些什什么么立立直直角角坐坐标标系系时时应应注注意意为为建建 你你认认程程题题的的过过问问直直角角坐坐标标系系下下解解决决 不不同同的的比比较较问问题题吗吗决决直直角角坐坐标标系系解解 不不同同的的你你能能建建立立与与上上述述解解答答中中探探究究 缩

9、变换缩变换平面直角坐标系中的伸平面直角坐标系中的伸2 . , 些些问问题题 我我们们研研究究过过下下面面一一中中在在三三角角函函数数图图象象的的学学习习 ?sinsinxyxy21 得得到到曲曲线线怎怎样样由由正正弦弦曲曲线线 .sinsin , , sin , xyxy x yxP xy 2 2 1 41 就就变变成成曲曲线线正正弦弦曲曲线线 那那么么缩缩为为原原来来的的将将横横坐坐标标持持纵纵坐坐标标不不变变 保保取取一一点点 上上任任曲曲线线 在在正正弦弦如如图图 .,观看演变过程观看演变过程打开几何画板打开几何画板 41 图图 2 1 1 2 3 456 1 1- x y O PP s

10、inxy sin2xy ? , , 的实质是什么的实质是什么来的来的 缩为原缩为原将横坐标将横坐标不变不变 保持纵坐标保持纵坐标你认为你认为发发 系中的点的对应关系出系中的点的对应关系出 标标角坐角坐从平面直从平面直思考思考 2 1 x y , , , 换换变变缩缩是一个坐标压是一个坐标压 缩为原来的缩为原来的将横坐标将横坐标变变 不不保持纵坐标保持纵坐标实际上实际上 2 1 x y . , yy xx 2 1 1 .坐标压缩变换坐标压缩变换 个个一一的的中中系系标标坐坐角角直直 平面平面式叫做式叫做把把我们我们1 那那么么 得得到到点点的的缩缩为为原原来来 将将横横坐坐标标不不变变纵纵坐坐标

11、标 保保持持标标系系中中的的任任意意一一点点 , , , , , yxP x y 2 1 是平面直角坐是平面直角坐即设即设yxP, ?sinsinxyxy32 得得到到曲曲线线怎怎样样由由正正弦弦曲曲线线 .sinsin , ,sin, xyxy yx yxPxy 3 3 51 就就变变成成曲曲线线那那么么正正弦弦曲曲线线 倍倍伸伸长长为为原原来来的的将将纵纵坐坐标标不不变变保保持持横横坐坐标标 上上任任取取一一点点在在正正弦弦曲曲线线如如图图 .sin sin, 的的过过程程 变变换换为为曲曲线线观观察察由由曲曲线线利利用用几几何何画画板板 xy xy 3 2468102-4-6- 1- 2

12、- 3- 3 2 1 Ox y 51 图图 sinxy 3sinxy P P ? , , 的实质是什么的实质是什么倍倍 伸长为原来的伸长为原来的将纵坐标将纵坐标 不变不变保持横坐标保持横坐标你认为你认为 发发出出系系关关应应对对点的点的的的中中 从平面直角坐标系从平面直角坐标系思考思考 3 y x 即即换换变变 的伸长的伸长是一个坐标是一个坐标倍倍的的 伸长为原来伸长为原来将纵坐标将纵坐标变变 不不保持横坐标保持横坐标实际上实际上 , , , 3 y x 那么那么得到点得到点 倍倍的的伸长为原来伸长为原来标标 将纵坐将纵坐不变不变持横坐标持横坐标 , , , , yxP y x 3 是是平平面

13、面直直角角坐坐标标设设yxP, 保保标系中的任意一点标系中的任意一点, . , yy xx 3 2 .个坐标伸长变换个坐标伸长变换一一 的的中中系系标标坐坐角角面直面直 平平式叫做式叫做把把我们我们2 ?sinsinxyxy231 得得到到曲曲线线怎怎样样由由正正弦弦曲曲线线 .sinsin , ;, ,: , xyxy xy 23 3 2 1 6121 得到曲线得到曲线线线 就可以由正弦曲就可以由正弦曲倍倍来的来的础上再将纵坐标变为原础上再将纵坐标变为原 在此基在此基缩为原来的缩为原来的将横坐标将横坐标不变不变持纵坐标持纵坐标 先保先保如图如图合成合成的的这是上述这是上述实际上实际上 换实验

14、换实验 板作伸缩变板作伸缩变 利用几何画利用几何画 61 图图 1 2 3- 3 2- 1- O x y 5 .的坐标伸缩变换的坐标伸缩变换中中系系坐标坐标 角角平面直平面直式叫做式叫做把把我们我们3 y 61 图图 1 2 3- 3 2- 1- O x 5 . , , , , , yy xx yxP yxP 3 2 1 那么那么 后变为点后变为点 变换变换述述过上过上 经经点点 意一意一任任中的中的 系系标标角坐角坐直直 设平面设平面一样一样 讨论讨论述述与上与上 3 中中坐坐标标伸伸缩缩变变换换的的定定义义 系系下下面面给给出出平平面面直直角角坐坐标标 . ,.sin sin , , .

15、, . 表表示示 伸伸缩缩变变换换来来用用坐坐标标 缩缩变变换换可可以以形形的的伸伸 平平面面图图因因此此 变变换换为为 正正弦弦曲曲线线作作用用下下 的的在在伸伸缩缩变变换换如如 例例平平面面图图形形的的伸伸缩缩 可可以以实实现现的的作作用用下下 在在它它们们换换标标伸伸缩缩变变 都都是是坐坐上上述述 x yxy 23 3 321 平平面面直直 .,简简称称伸伸缩缩变变换换换换 变变角角坐坐标标系系中中的的坐坐标标伸伸缩缩 为为称称点点 对对应应到到点点的的作作用用下下 在在变变换换 意意一一点点中中任任角角坐坐标标系系直直 是是平平面面设设点点定定义义 , , , ., , , , yxP yxP yy xx yxP 0 0 : . ; , . , 12 0321 3 2 2 22 yx yx yy xx 过过伸伸缩缩变变换换 经经应应的的图图形形对对所所 列列方方程程求求下下系系中中 标标在在直直角角坐坐例例 .后后的的图图形形 由伸缩变换解1 yy xx 3 2 , . , 0 032 yx yx 形的方程是 变换后的图经过伸缩 得到代入 . , 0 032 yx yx 线 变成直直线 经过伸缩变换后所以 得到 . , yy xx 3 1 2 1 . , 1 94