1.3.3函数的最大(小)值与导数[上课课堂]

1、3.3.3函数的最大函数的最大 （小）值与导数（小）值与导数 高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 1课堂节课 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( x f)(xf 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导， f(x)为为增函数增函数 f(x)为为减函数减函数 2课堂节课 二、函数的极值定义二、函数的极值定义 设函数设函数f(x)在点在点x0附近有

2、定义，附近有定义， 如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值 极小值= f(x0)； ； o x y o x y 0 x 0 x 函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值. 使函数取得极值的使函数取得极值的 点点x0称为称为极值点极值点 3课堂节课 x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？ 135 ( ), ( ), ( )f xf xf x 观察图象，我们发现， 是 函数y=f(x)的极小值， 是

3、函数 y=f(x)的 极大值。 246 ( ), ( ), ( )f xf xf x 4课堂节课 求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域）确定函数的定义域 （2）求函数的导数）求函数的导数f(x) （3）求方程）求方程f(x)=0的根的根 （4）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的的根，顺次将函数的 定义域分成若干个开区间，并列成表格定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符的根左右的符 号，来判断号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 5课堂节课 在社会生活实践中，为了发挥最大

4、的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益， 常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最 大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们 与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？ 新新 课课 引引 入入 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函概念，极值只是某个点的函 数值与它数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小, ,并并 不意味不

5、意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 6课堂节课 知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数 M满足：满足： 1最大值最大值: : （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M 那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实，如果存在实 数数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （

6、2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M 那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 7课堂节课 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？ x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6 x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6 ),(bax bax, 在开区间内在开区间内 的连续函数的连续函数 不一定有最不一定有最 大值与最小大值与最小 值值. 在闭区间在闭区间 上的连续函上的连续函 数必有最大数必有最大 值与最小值值与最小值 因此：该函数没因此：该函数没 有最值。有最值。 f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)

7、 8课堂节课 x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6 如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？ 一般的如果在区间，一般的如果在区间，a,b上函数上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它的图象是一条连续不断的曲线，那么它 必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。 9课堂节课 观察右边一个定义在观察右边一个定义在 区间区间a,b上的函数上的函数 y=f(x)的图象：的图象： 发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极 大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值 是是_。 f(x1)、f(x3)f(x2)

8、 f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x x X X2 2o oa aX X3 3 b b x x1 1 y y y=f(x) 10课堂节课 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤： (1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内

9、极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课 注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一 2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. 11课堂节课 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论是在整体范围内讨论 问题问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念. (2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b

10、)内的内的 可导函数不一定有最值可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必是则此极值必是 函数的最值函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而而 函数的极值则可能不止一个函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值 (极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值). 12课堂节课 题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值 2 1233,3fxxx 解： 1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点； 2、计算；、计算； 3、比较确定最

11、值。、比较确定最值。 3 ( )6123 3f xxx例1:求函数在， 上的最大值与最小值. 0,22fxxx 令解得：或 (2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又， 3 ( )6 1233 10. f xxx 函数在，上的 最大值为22，最小值为 13课堂节课 例例2:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大上的最大 值与最小值值与最小值. 解解: .44 3 xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y 当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:y y , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2 y

12、-0 +0 -0 + y13 4 5 4 13 从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4. 题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值 14课堂节课 练习：练习：函数函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大上的最大 值为值为 ,最小值为最小值为 . 分析分析: (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0, (2) 区间区间4 , 4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76 得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f (3)=27, f (1)=5 76-5 当当x变化时，变化时，y 、 y的变化情况如

13、下表：的变化情况如下表： x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0 y20 27-5 76 比较以上各函数值，可知函数在比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大上的最大 值为值为 f (4) =76，最小值为，最小值为 f (1)=5 15课堂节课 练习：练习： 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： 3 1( )274,4f xxxx 、 3 1 2( )6 12,3 3 f xxxx 、 3 3( )32,3f xxxx、 axxxf 23 62. 4 2, 2x 54-54 22-10 2 -18 aa-40 1

14、6课堂节课 典型例题典型例题 32 2( )262 237 1a2( )2 2 f xxxa f x 例题 ：已知函数在， 上有最小值 求实数 的值；求在， 上的最大值。 反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值 大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 2 1( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或 ( 240,fa 又） 40373aa 由已知得解得 (2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 为 3. (0),fa(2)8

15、fa 17课堂节课 拓展提高拓展提高 1、我们知道，如果在闭区间【、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数】上函数y=f（x） 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值 和最小值；那么把和最小值；那么把闭区间【闭区间【a，b】换成开区间（】换成开区间（a,b） 是否一定有最值呢？是否一定有最值呢？ 如下图：如下图： 不一定不一定 2、函数、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。 3、 如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，）上只有一个极值点， 那么这个极值点必定是最

16、值点。那么这个极值点必定是最值点。 18课堂节课 有两个极值点时，函数有无最值情况不定。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。 19课堂节课 2 1 x40 2 fxx 3 讨论函数（ ）=4x在， 的最值情况。 动手试试动手试试 2 ( )1281(21)(61)fxxxxx 1 ( )( ) 6 f xf 最大值 没有最小值 20课堂节课 4、函数、函数y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值为（上的最大值为（ ) (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20 C C 21课堂节课 1. 求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值 故函数故函

17、数f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值，最大值 为为11，最小值为，最小值为2 解法二解法二: f (x)=2x- 4 令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得 得x=2 x1（1，2）2（2，5）5 y， ， 0 y -+ 3 112 选做题： 解法一解法一:将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函配方，利用二次函 数单调性处理数单调性处理 22课堂节课 2 2、 。 1 1 求求f(x)xsinxf(x)xsinx在在区区间间00，2 2 上上的的最最值值 2 2 最最小小值值是是0 0. . 是是 , ,函函数数f f( (x x) )的的

18、最最大大值值 xxfcos 2 1 )( 0)( x f 3 4 , 3 2 21 xx )(x f )(xf 3 2 3 4 2 3 4 2 3 2 3 4 3 2 2 3 3 2 3 3 2 解 令 解得 x 0 (0, ) ( , ) + -+ 0 0 ( , ) 0 23课堂节课 应用应用 ( 2009年天津（文）21T ) 处的切线的斜率； 设函数 其中 ,1 3 1 223 Rxxmxxxf . 0m （1）当 时，求曲线 在点 1m xfy 1, 1 f （2）求函数 的单调区间与极值。 xf 答:（1）斜率为1; .1 ,1 ,1,1 内是增函数减函数，在 内是，在 mm mmxf ; 3 1 3 2 23 mmxf 极小 3 1 3 2 23 mmxf 极大 (2) 24课堂节课 （0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分） 已知已知a a为实数，为实数， （）求导数）求导数 ； （）若）若 ，求，求 在在-2-2，