三重积分--大学高数课件

1、三重积分的三重积分的概念概念 三重积分的计算三重积分的计算 3 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的 如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值 在每个在每个 i v ),( iii ),2 , 1(),(nivf iiii .),( 1 i n i iii vf 1. 三重积分的定义三重积分的定义 n vvv , 21 将闭区域将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 其中其中 i v 并作和并作和 作乘积作乘积 ),(zyxf设设有界函数有界函数. . 也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示第i个小闭区域个小闭区域, 上任

2、取一点上任取一点 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 记为记为 函数函数),(zyxf 趋于零时这和的极限总存在趋于零时这和的极限总存在, iii n i i vf ),(lim 1 0 则称此极限为则称此极限为 在闭区域在闭区域上的三重积分上的三重积分. vzyxfd),( 即即 vzyxfd),( 体积元素体积元素 ( , , )0( , , ) ( , , ). f x y zf x y z dv f x y z 当当时时，的的物物理理意意义义表表示示 以以为为体体面面密密度度的的非非均均匀匀立立体体的的质质量量 zyxvdddd 二、三重积分的计算二、三重积分的计算 1. 在直角坐标

3、系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分 直角坐标系下的体积元素为直角坐标系下的体积元素为 在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系下三重积分可表为 vzyxfd),( zyxzyxfddd),( 三重积分三重积分 ),(: 11 yxzzS Dyx ),( , 1 穿穿入入从从 z 投影法投影法 ),(: 22 yxzzS 如图如图, 闭区域闭区域 xOy在在 面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域D, , 过点过点作直线作直线, 穿穿出出从从 2 z x y z O D a b )( 1 xyy )( 2 xyy 1 S ),( 1 yxzz 2 S ),( 2 yxzz ),(yx 1

4、z 2 z ),( ),( 2 1 d),(),( yxz yxz zzyxfyxF d),( ),( ),( 2 1 yxz yxz zzyxf D yxF d),( D d 解解 1: 22 yxD 化三重积分化三重积分 zyxzyxfIddd),(为三次积分为三次积分,例例 22 2yxz 2 2xz 及及 所围成的闭区域所围成的闭区域. 2 22 2 2 xz yxz 由由 其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面 得交线投影区域得交线投影区域 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 d),(dd x yx x x zzyxfyxI x y z O 2 2xz 22 2yxz 2 2

5、2 2 2 ( , , )d xy x xy D If x y zz d ,dddcos 43 zyxzyxI V . 2 0, 10, 10),( zyxzyxV 解解 1 20 I 11 34 00 ddxx yy 34 2 0 cos xy D x yzdz d 例例 计算三重积分计算三重积分 其中其中V是长方体是长方体 x y z O 例例 求求 zx zy x yeyzxI 1 0 )1( 1 0 1 0 d)1(dd 2 1 1 1 解解 2 y e 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数, 应先应先x对积分对积分 1 0 d dy 2 1 1 4e 一定要交换积分次序一定要交换

6、积分次序. I 1 zyx 三重积分三重积分 x y z O 1 0 d)1(yy y zy zye 1 0 2)1( )1(d 2 21 1 0 11d d () ()() y y z y eyzz 21 (1) 0 (1)dx yz y z y z D y ed 截面法截面法 (红色部分红色部分) 截面法的一般步骤截面法的一般步骤 (1)向某轴向某轴把积分区域把积分区域 )(轴轴如如z投影投影, , 得投影区间得投影区间;, 21 cc (2), 21 ccz 对对 , 的的平平面面去去截截轴轴且且平平行行用用过过xOyz ; z D得得截截面面 (3)计算二重积分计算二重积分 z D y

7、xzyxfdd),( );(zFz的的函函数数其其结结果果为为 (4).d)( 2 1 c c zzF最后计算单积分最后计算单积分 x z oy 1 c 2 c z z D zyxzddd z D yxdd 1| ),(zyxyxDz z D yxdd 截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解 )1)(1( 2 1 zz 1 0 dzz 计算三重积分计算三重积分 ,dddzyxz 为为其中其中 例例 .1所围成的闭区域所围成的闭区域三个坐标面及平面三个坐标面及平面 zyx 原式原式= zzzd)1( 2 1 2 1 0 . 24 1 1 1 1 x y z O 1 zyx z D 0,r

8、,20 z 规定规定 x y z o r ),(zyxM ( , )P r , ,rz , ,r 直角坐标与柱面坐标的关系为直角坐标与柱面坐标的关系为 cos ,xr zz 就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标. 设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy 面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数 sin ,yr 2、在柱面坐标系下计算三重积分 为为常常数数r 为常数为常数z 为常数为常数 柱面坐标系中柱面坐标系中, 以以z轴为中心轴的圆柱面；轴为中心轴的圆柱面； 过过z轴的半平面轴的半平面. 与与xOy平面平行的平面平面平行的平面;

9、 三坐标面分别为三坐标面分别为 ),(zyxM ),( rP x y z O r x y z o 柱面坐标系中的体积元素为柱面坐标系中的体积元素为 zrrvdddd V 在柱面坐标系中在柱面坐标系中, , 如图如图, V 得小柱体得小柱体 即即 (红色部分红色部分). 若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域 rddr dz dr dr dz d zyxzyxfddd),( (f,cos r,sin r ) zzrrddd ),( ),( 2 1 d),sin,cos( rz rz zrzrrf )( )( 2 1 d r r r d 注注通常是先积通常是先积再积再积后积后积r、z.

10、02 04sin ,zr 04,r 解解 例例 d 22 ,xyv 计算计算 22 16xy 所围成所围成. 积分域用柱坐标表示为积分域用柱坐标表示为 512 . 3 d 2 0 d 4sin 0 r z d 4 2 0 rr r 原式原式 r d d drz 其中其中由柱面由柱面 4,0yzz 及及平平面面 : 4r y 4 xO 2 0 ,0az ,cos20 r 解解 2cosr 例例 ,d 22 vyxz计计算算 )0(02 22 yxyx 所围成所围成. 积分域用柱坐标表示为积分域用柱坐标表示为 . 9 8 2 a 2 0 d a zz 0 d cos2 0 2dr r zr原式原式

11、r zrddd 其中其中由半圆柱面由半圆柱面 0, 0, 0 azzy及及平平面面 : O x y 2 x y z O 02 22 xyx x y z O az 02 22 xyx x y z O az 02 22 xyx 补充三重积分补充三重积分 vzyxfd),( 0为为f 的的偶偶函函数数z 对称性质对称性质 ),(),(zyxfzyxf 则称则称f关于变量关于变量z的奇的奇 函数函数. vzyxfd),(则则 (1),坐标面对称坐标面对称xOy关于关于 的的奇奇函函数数z 为为f 2 1 若若域域 xOy在在为为其其中中 1坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域. ),(),(zyxfz

12、yxf (偶偶) 三重积分三重积分 (property) 或或 ,坐标面对称坐标面对称关于关于xOz 的奇函数的奇函数是是yf 而得结果为零而得结果为零. 例例, 2222 azyx vzyxd 22 vzy d 2 0 vzy d2 2 1 0 则则 为为设域设域 部部分分的的为为0 1 z , 1 坐标面对称坐标面对称关于关于xOz 的的奇奇函函数数是是yf ,坐坐标标面面对对称称关关于于xOy 的偶函数的偶函数是是zf 三重积分三重积分 , 0, 2222 1 zRzyx：设设空空间间区区域域 ;d4d)( 21 vxvxA;d4d)( 21 vyvyB ;d4d)( 21 vzvzC.

13、d4d)( 21 vxyzvxyzD C则则( )成立成立. 三重积分三重积分 2222 2 ,0,0,0,xyzRxyz： P z y x A ,0 记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的 .20 ( , , ) 规定规定 , 0, ),(zyxM OM再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为 轴轴与与zOM , 偏转角为偏转角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的 之之长长为为记记向向量量OM x y z O 设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点, 向向xOy平面投影平面投影, , 3、在球面坐标系下计算三重积分 为常数为常数 为常数为常数 球面坐标系中的三坐标面分别为

14、球面坐标系中的三坐标面分别为 原点为心的球面；原点为心的球面； 过过z轴的半平面轴的半平面 球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为 sinsin ,y sincos ,x cosz 为为常常数数 原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为 轴的圆锥面；轴的圆锥面； z y x A ),(zyxM x y z O y z x x y z O x y z O x y z O x y z O 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为 x y z o d d d d V d dsin d sin d dsin dddsind 2 v zyxzyxfddd),( )cos (f,sinsi

15、n ,cossin dddsin 2 如积分域如积分域为球域为球域(如图如图). : 则则 ,0 ,0R 20 x y z O 解解 4 , 4 0 2222 2azyx 由由 22 yxz 由由 : ,20a 采用采用 例例 由锥面和球面围成由锥面和球面围成, , 所围成的立体体积所围成的立体体积. . 222222 2xyzazxy 球面坐标球面坐标 V zyxddd1 a2 00 2 0 ddd 4 .)12( 3 4 3 a 4 0 3 d 3 )2( sin2 a sin 2 x y z O a2 20 求曲面求曲面 与与 .d)(vzx求求 解解 vzxd)( vxd vzd 积分

16、域积分域 被积函数是被积函数是 vxd 围成的空间区域围成的空间区域, , x的奇函数的奇函数. 面面对对称称，关关于于yOz 0 vzd ddcos 2 sin d 0 1 4 2 0 0 )( 2 0 )sin 2 1 ( 4 0 2 1 4 0 1 () 4 . 8 球球 x y z O 2222 1zxyzxy 设设是是曲曲面面与与 4、三重积分的换元法 设被积函数设被积函数( , , )f x y z在空间闭区域在空间闭区域上连续上连续, 若变换若变换( , ,),( , ,),( , ,)xx u vyy u vzz u v 满足如下条件满足如下条件: (1) O uv 将将空空间

17、间 - -中中的的闭闭区区域域上上的的点点一一对对一一 的变换为的变换为O-xyz中的闭区域中的闭区域上的点上的点; (2) ( , ,),( , ,),( , ,)xx u vyy u vzz u v 在上在上 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数, 且雅可比行列式且雅可比行列式 ( , , ) ( , ,) x y z J u v xxx uv yyy uv zzz uv 0 设被积函数设被积函数),(yxf 在区域在区域D上连续上连续, 若变换若变换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件: ( , , )f x y z dv f ( , ,),x u v ( , ,),y

18、 u v d du vd ( , ,)z u v | J 例例 解解 222 222 1, xyz Idv abc 计计算算 sincos sinsin cos xa yb zc 在这变换下在这变换下 所围成的闭区域所围成的闭区域. 222 222 1 xyz abc ( , , ) 01 , 0,02 其中其中为椭圆面为椭圆面 作广义球坐标变换作广义球坐标变换 222 222 1 xyz Idv abc 2 1 4 abc 2 sinabc 2 dd 21 2 000 sin1abcd 球坐标球坐标 ( , , ) ( , ,) x y z J u v 22 1sinabcd d d az cos