一阶微分方程习题课

1、一阶微分方程习题课 一阶微分方程一阶微分方程 习题课习题课 一阶微分方程习题课 基本概念基本概念 一阶方程一阶方程 类类 型型 1.1.直接积分法直接积分法 2.2.可分离变量可分离变量 3.3.齐次方程齐次方程 4.4.可化为齐次可化为齐次 方程方程 5.5.全微分方程全微分方程 6.6.线性方程线性方程 7.7.伯努利方程伯努利方程 可降阶方程可降阶方程 线性方程线性方程 解的结构解的结构 定理定理1;1;定理定理2 2 定理定理3;3;定理定理4 4 欧拉方程欧拉方程 二阶常系数线性二阶常系数线性 方程解的结构方程解的结构 特征方程的根特征方程的根 及其对应项及其对应项 f(x)f(x)

2、的形式及其的形式及其 特解形式特解形式 高阶方程高阶方程 待定系数法待定系数法 特征方程法特征方程法 一、主要内容一、主要内容 一阶微分方程习题课 1 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法、五种标准类型的一阶微分方程的解法 (1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 dxxfdyyg)()( 形形如如 解法解法 dxxfdyyg)()( 分离变量法分离变量法 (2) 齐次型方程齐次型方程)( x y f dx dy 形如形如 解法解法作变量代换作变量代换 x y u 一、主要内容一、主要内容 一阶微分方程习题课 可化为齐次的方程可化为齐次的方程 )( 111 cybxa cbyax f

3、dx dy 形如形如 解法解法 ， 令令 kYy hXx , 化为齐次方程化为齐次方程 （其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数） (3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 )()(xQyxP dx dy 形形如如 , 0)( xQ当当齐次齐次 , 0)( xQ当当 非齐次非齐次. 一阶微分方程习题课 解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为 . )( dxxP Cey （使用分离变量法）（使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( （常数变易法）（常数变易法） (4) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 n

4、 yxQyxP dx dy )()( 形如形如)1 , 0( n 时时，当当1 , 0 n 方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程. 一阶微分方程习题课 解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程 , 1 n yz 令令 . )1)( )()1()()1( 1 cdxenxQe zy dxxPndxxPn n (5) 全微分方程全微分方程 形如形如0),(),( dyyxQdxyxP 其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 一阶微分方程习题课 注意：注意： x Q y P 全全微微分

5、分方方程程 解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. y y x x dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0 ,),(),( 00 0 xdyxPdyyxQ x x y y 通解为通解为.),(cyxu 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法. 一阶微分方程习题课 可化为全微分方程可化为全微分方程 形如形如 0),(),( dyyxQdxyxP ).( x Q y P 非全微分方程非全微分方程 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程 0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成为为全全 微微分分方方程程.则则称称)

6、,(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子. 一阶微分方程习题课 公式法公式法: : )( 1 x Q y P Q 若若 )(xf ;)( )( dxxf ex 则则 )( 1 y P x Q P 若若)(yg .)( )( dyyg ey 则则 观察法观察法: : 熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子积分因子 2。 各类方程的内在联系各类方程的内在联系 一阶微分方程习题课 x Q y P QdyPdx 0 )()(yNxM dx dy )( 1 yN N M x y dx dy )( x y u yNxM 1 )( 111 cyb

7、xa cbyax f dx dy kyY hxX )()(xQyxP dx dy dxxP excy )( )( dxxP e )( n yxQyxPy)()( n yz 1 dxxPn n e y )()1(1 一阶微分方程习题课 三种三种基本类型基本类型 变量可分离变量可分离一阶线性一阶线性全微分方程全微分方程 其余类型的方程可借助于变量代换或积其余类型的方程可借助于变量代换或积 分因子化成基本类型分因子化成基本类型 三种基本类型代表三种三种基本类型代表三种典型解法典型解法 分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分法全微分法 变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方

8、程的重要思想和重要方法 一阶微分方程习题课 微分方程解题思路微分方程解题思路 一阶方程一阶方程 高阶方程高阶方程 分离变量法分离变量法 全微分方程全微分方程 常数变易法常数变易法 特征方程法特征方程法 待定系数法待定系数法 非全微分方程非全微分方程 非变量可分离非变量可分离 幂级数解法幂级数解法 降降 阶阶 作作 变变 换换 作变换作变换 积分因子积分因子 3 3、一阶方程解题程序、一阶方程解题程序 一阶微分方程习题课 0 QdyPdx 分离变量分离变量 Y 解方程解方程 N x Q y P Y 解方程解方程 N 积分因子积分因子 Y N ),(yxfy 齐次型齐次型 一阶线性一阶线性 Ber

9、noulli 一阶微分方程习题课 二、典型例题二、典型例题 例例1 求一微分方程使其通解为求一微分方程使其通解为 3 21 cx cxc y 解解 由由 3 21 cx cxc y 213) (cxcycx 求导得求导得 13) (cycxy 再求导再求导 0)(2 3 ycxy y y cx 2 再求导再求导 2 2 )( 2)( 2 1 y yyy 2 )( 32yyy 一阶微分方程习题课 例例2 2 .)cossin()sincos(dy x y x x y yxdx x y y x y xy 求求通通解解 解解原方程可化为原方程可化为 ), cossin sincos ( x y x

10、y x y x y x y x y x y dx dy , x y u 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得 ), cossin sincos ( uuu uuu uuxu 分离变量分离变量 一阶微分方程习题课 , cos2 cossin x dx du uu uuu 两边积分两边积分 ,lnln)cosln( 2 Cxuu ,cos 2 x C uu ,cos 2 x C x y x y 所求通解为所求通解为.cosC x y xy 例例3 3 .32 3 4 3 yxyyx 求求通通解解 解解原式可化为原式可化为 ,3 2 3 4 2 yxy x y 伯努利方程伯努利方程 ,3

11、 2 2 3 1 3 4 xy x yy 即即 , 3 1 yz令令 一阶微分方程习题课 原式变为原式变为 ,3 2 3 2 xz x z , 3 2 2 xz x z 即即 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程 对应齐方通解为对应齐方通解为, 3 2 Cxz 利用常数变易法利用常数变易法 ,)( 3 2 xxCz 设设 代入非齐方程得代入非齐方程得 ,)( 2 3 2 xxxC , 7 3 )( 3 7 CxxC 原方程的通解为原方程的通解为 . 7 3 3 2 3 7 3 1 xCxy 一阶微分方程习题课 例例4 4 . 0 32 4 22 3 dy y xy dx y x 求求通通解解 解解

12、) 2 ( 3 y x yy P , 6 4 y x ) 3 ( 4 22 y xy xx Q , 6 4 y x )0( y , x Q y P 方程为全微分方程方程为全微分方程. 一阶微分方程习题课 (1) 利用原函数法求解利用原函数法求解: , 2 ),( 3 y x x u yxu 则则设设原原函函数数为为 ),(),( 3 2 y y x yxu ,求导求导两边对两边对 y ),( 331 4 2 4 2 2 y y x y x yy u , 1 )( 2 y y 解解得得 , 1 )( y y 故方程的通解为故方程的通解为. 1 23 2 C yy x 一阶微分方程习题课 (2)

13、利用分项组合法求解利用分项组合法求解: 原方程重新组合为原方程重新组合为 , 0 1 ) 32 ( 24 2 3 dy y dy y x dx y x , 0) 1 ()( 3 2 y d y x d即得即得 故方程的通解为故方程的通解为. 1 23 2 C yy x 一阶微分方程习题课 (3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解: , 32 4 22 ),( )1 ,0( 3 Cdy y xy dx y x yx , 3 1 2 1 4 22 0 3 Cdy y xy dx x yx 即即 . 1 13 2 1 2 C y x y x yy 故方程的通解为故方程的通解为. 1 23 2 C y

14、y x 一阶微分方程习题课 例例5 5 . 0)2()2( 2222 dyxyxdxyyx 求通解求通解 解解 , 22 y y P , 22 x x Q , x Q y P 非全微分方程非全微分方程. 利用积分因子法利用积分因子法: 原方程重新组合为原方程重新组合为 ),(2)( 22 xdyydxdydxyx 一阶微分方程习题课 22 2 yx xdyydx dydx , )(1 )( 2 2 x y x y d ,ln 1 1 lnC x y x y yx 故方程的通解为故方程的通解为 . yx yx Ce yx 一阶微分方程习题课 例例6 解方程解方程0)( 22 ydydxxyx 分

15、析分析 本题看起来简单本题看起来简单 但具体求解时发现但具体求解时发现 不是变量可分离不是变量可分离也不是齐次型也不是齐次型 不是一阶线性不是一阶线性也不是全微分方程也不是全微分方程 怎么办？怎么办？必须对方程进行变形必须对方程进行变形 解一解一 分项组合分项组合 0)()( 22 ydyxdxdxyx 0)( 2 1 )( 2222 yxdyx 0 )( 2 22 22 yx yxd dx 一阶微分方程习题课 cyxxln)ln(2 22 通解为通解为 x ceyx 222 解二解二 变量代换变量代换)( 22 xxy dx dy y 令令uy 2 )( 22 2 xxu dx du 一阶非

16、齐次线一阶非齐次线 性微分方程性微分方程 相应齐方程相应齐方程 02 u dx du x ceu 2 令令 x excu 2 )( x exxxc 22 )( 2)( cexxc x 22 )( 22 xceu x 222 xcey x 一阶微分方程习题课 解三解三 由由2 Q y P x Q 存在关于存在关于 x 的积分因子的积分因子 x e2 0)( 2222 ydyedxxyxe xx 为全微分方程为全微分方程 xy dyyxQdxxPyxu 00 ),()0 ,(),( y x x x ydyedxxxe 0 2 0 22 )( x eyx 222 )( 2 1 通解为通解为 cyxu

17、 ),( 积分因子法积分因子法 一阶微分方程习题课 例例7 设曲线积分设曲线积分 L dyxxxfdxxyf)(2)( 2 在右半平面内与路径无关在右半平面内与路径无关其中其中 f (x) 可导可导 且且f(1)=1 求求f (x) 解解 由曲线积分与路径无关的条件知由曲线积分与路径无关的条件知 )(2)( 2 xxxf x xyf y )(2)(2)(2xfxxf xxf 即即1)( 2 1 )( xf x xf 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一阶微分方程习题课 ) 3 2 ( 1 )( 2 3 xc x xf 代入代入f(1)=1 得得 3 1 c 故故 2 1 3 1 3 2 )(

18、xxxf 例例8 解方程解方程0,1 0 2 x yy dx dy 并求此曲线并求此曲线 y = y (x) 和直线和直线 x = 0 ,x = 1 三者所围部分绕三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体轴旋转一周所成旋转体 的体积的体积 一阶微分方程习题课 解解 dx y dy 2 1 cxyy )1ln( 2 特解为特解为 )1ln( 2 yyx x ee y xx sinh 2 1 0 2dx yV dxee xx 2 4 1 0 22 )4( 8 22 ee 一阶微分方程习题课 高阶微分方程高阶微分方程 习题课习题课 一阶微分方程习题课 一、主要内容一、主要内容 高阶方程高阶方程 可降

19、阶方程可降阶方程 线性方程解的结构线性方程解的结构 二阶常系数线性二阶常系数线性 方程解的结构方程解的结构 特征根法特征根法 特征方程的根特征方程的根 及其对应项及其对应项 待定系数法待定系数法 f(x)f(x)的形式及其的形式及其 特解形式特解形式 一阶微分方程习题课 微分方程解题思路微分方程解题思路 一阶方程一阶方程 高阶方程高阶方程 分离变量法分离变量法 全微分方程全微分方程 常数变易法常数变易法 特征方程法特征方程法 待定系数法待定系数法 非全微分方程非全微分方程 非变量可分离非变量可分离 幂级数解法幂级数解法 降降 阶阶 作作 变变 换换 作变换作变换 积分因子积分因子 一阶微分方程

20、习题课 1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 )()1( )( xfy n 型型 解法解法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 ),()2(yxfy 型型 特点特点 . y不不显显含含未未知知函函数数 解法解法),(xPy 令令 ,Py 代入原方程代入原方程, 得得 ).(,(xPxfP 一阶微分方程习题课 ),()3(yyfy 型型 特点特点.x不不显显含含自自变变量量 解法解法),(xPy 令令, dy dp Py 代入原方程代入原方程, 得得).,(Pyf dy dp P 2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构 （1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶

21、齐次方程解的结构: : )1(0)()( yxQyxPy形形如如 一阶微分方程习题课 也也是是解解则则是是解解若若 221121 ,ycycyyy 是是通通解解则则是是两两无无关关解解若若 221121 ,ycycyyy （2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: : )2()()()(xfyxQyxPy 形如形如 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解 2121 )()()(yyyxfxfxf 则若 的的特特解解分分别别是是则则 的的特特解解是是若若 )(),(, )()(

22、)( 2121 2121 xfxfyy xjfxfxfy jyy 一阶微分方程习题课 3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法 )( 1 )1( 1 )( xfyPyPyPy nn nn 形形如如 n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程 0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程 )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程 解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法定其通解的方法称为特征方程法. 一阶微分方程习题课 0 qyypy 特征方程为特征方程为 0 2

23、 qprr 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式 实实根根 21 rr 实实根根 21 rr 复复根根 ir 2, 1 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 2 )( 21 )sincos( 21 xCxCey x 一阶微分方程习题课 推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n 0 1 )1( 1 )( yPyPyPy nn nn 特征方程为特征方程为0 1 1 1 nn nn PrPrPr 特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项 rk重重根根若若是是 rxk k exCxCC)( 1 110 j k 复复根根 重重共共轭轭若若是

24、是 xk k k k exxDxDD xxCxCC sin)( cos)( 1 110 1 110 一阶微分方程习题课 4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程 解法待定系数法解法待定系数法. 型型)()()1(xPexf m x , )(xQexy m xk 设设 是重根是重根 是单根是单根 不是根不是根 2 ,1 0 k 一阶微分方程习题课 型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexf nl x ,sin)(cos)( )2()1( xxRxxRexy mm xk 设设 次次多多

25、项项式式，是是其其中中mxRxR mm )(),( )2()1( nlm,max .1 ;0 是特征方程的单根时是特征方程的单根时 不是特征方程的根时不是特征方程的根时 j j k 二、典型例题二、典型例题 一阶微分方程习题课 例例1 1. 2 1 2 y y y 求通解求通解 解解 .x方方程程不不显显含含 , dy dP PyPy 令令代入方程，得代入方程，得 , 2 1 2 y P dy dP P ,1 1 2 yCP 解解得得， , 1 1 yCP , 1 1 yC dx dy 即即 故方程的通解为故方程的通解为.1 2 21 1 CxyC C 一阶微分方程习题课 例例2 2 . 1)

26、1()1(,2 yyexeyyy xx 求求特特解解 解解特征方程特征方程, 012 2 rr 特征根特征根, 1 21 rr 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)( 21 x exCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)( 2*x ebaxxy ,2)3()( 23*x ebxxbaaxy 则则 ,2)46()6()( 23*x ebxbaxbaaxy 一阶微分方程习题课 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( , * yyy , 2 1 , 6 1 ba 原方程的一个特解为原方程的一个特解为 , 26 23 *xx e x e x y 故原方程的通解为故原

27、方程的通解为. 26 )( 23 21 xxx e x e x exCCy , 1)1( y, 1) 3 1 ( 21 eCC , 6 )1()( 3 221 x e x xCCCy 一阶微分方程习题课 , 1)1( y , 1) 6 5 2( 21 eCC , 3 11 21 e CC , 6 51 2 21 e CC 由由 解得解得 , 1 2 1 , 6 12 2 1 e C e C 所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为 . 26 ) 1 2 1 ( 6 12 23 xxx e x e x ex ee y 一阶微分方程习题课 例例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解

28、为设二阶非齐次线性方程的三个特解为 xxyxxyxycos,sin, 321 求其通解求其通解 解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是由解的结构知非齐方程的任二解之差是 相应齐方程的解相应齐方程的解 故故xyysin 12 xyycos 13 是齐方程的两个解是齐方程的两个解 齐通解齐通解 xcxcYsincos 21 且线性无关且线性无关 非齐通解非齐通解 xxcxcy sincos 21 一阶微分方程习题课 例例4 设设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分使曲线积分 dyxfydxxfxfxe L x )()()(2 )(常数常数 与路径无

29、关与路径无关 解解 由曲线积分与路径无关的条件得由曲线积分与路径无关的条件得 )()(2)(xfxfexf x 即即 x exfxfxf )()(2)( 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程 齐通解齐通解 x exccy )( 21 一阶微分方程习题课 时时1 x exy 2* 2 1 x e x xccxf ) 2 ()( 2 21 时时1 x ey 2 * )1( 1 xx eexccxf 221 ) 1( 1 )()( 一阶微分方程习题课 例例5 5 ).2cos( 2 1 2xxyyy 求求解解方方程程 解解特征方程特征方程, 04 2 r 特征根特

30、征根,2 2,1 ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为 .2sin2cos 21 xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为. * 2 * 1 * yyy ,)1( * 1 baxy 设设,)( * 1 ay 则则, 0)( * 1 y ，得得代代入入xyy 2 1 4 ，xbax 2 1 44 一阶微分方程习题课 由由 ，04 b ， 2 1 4 a 解得解得 ，0 b ， 8 1 a ; 8 1 * 1 xy ),2sin2cos()2( * 2 xdxcxy 设设 ,2sin)2(2cos)2()( * 2 xcxdxdxcy 则则 ,2sin)44(2cos)44()( * 2

31、 xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos 2 1 4 一阶微分方程习题课 ,2cos 2 1 2sin42cos4xxcxd 由由 ，04 c ， 2 1 4 d 即即 ， 8 1 d ，0 c ;2sin 8 1 * 2 xxy 故原方程的通解为故原方程的通解为 .2sin 8 1 8 1 2sin2cos 21 xxxxCxCy 一阶微分方程习题课 例例6 6 . )(),( 1 )()( 2 此此方方程程的的通通解解（） 的的表表达达式式；（） ，试试求求：的的齐齐次次方方程程有有一一特特解解为为 ，对对应应有有一一特特解解为为设设 xfxp x x xfyxpy 解解（）由题

32、设可得：（）由题设可得： ),() 1 )( 2 , 02)(2 23 xf x xp x xxp 解此方程组，得解此方程组，得 一阶微分方程习题课 . 3 )(, 1 )( 3 x xf x xp （）原方程为（）原方程为. 31 3 x y x y ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解 程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见 2 21 , 1xyy 是是原原方方程程的的一一个个特特解解，又又 x y 1 * 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为 . 1 2 21 x xCCy 一阶微分方程习题课 测测 验验 题题 一、一、 选择题选择题: : 1 1

33、、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通 解是解是( ).( ). (A) (A) )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ； (B) (B) dxexQey dxxPdxxP)()( )(； (C)(C) )( )()( CdxexQey dxxPdxxP ； (D) (D) dxxP cey )( . . 2 2、方程、方程 yyxyx 22 是是( ).( ). (A) (A)齐次方程；齐次方程； (B) (B)一阶线性方程；一阶线性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分离变量方程可分离变量方程 . . 一阶微

34、分方程习题课 3 3、2)1(,0 22 y x dx y dy 的特解是的特解是( ).( ). (A) (A)2 22 yx； (B) (B)93 3 yx； (C) (C)1 33 yx； (D) (D)1 33 33 yx . . 4 4、方程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (A) (A) 32 2 1 2 1 cosCxCxCxy ； (B) (B) 32 2 1 2 1 sinCxCxCxy ； (C)(C) 1 cosCxy ； (D) (D)xy2sin2 . . 一阶微分方程习题课 5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ). (A)(A)

35、1 cossinCxxy ； (B)(B) 321 cossinCxCxCy ； (C)(C) 1 cossinCxxy ； (D)(D) 1 sinCxy . . 6 6、若、若 1 y 和和 2 y 是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy的两个特解的两个特解, ,则则 2211 yCyCy ( (其中其中21,C C 为任意常数为任意常数)( )( ) (A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解； (B) (B)是该方程的解；是该方程的解； (C) (C)是该方程的特解；是该方程的特解； (D) (D)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. . 一阶微分方程习题课 7 7、求求方方程程0)( 2 yyy的的通通解解时时, ,可可令令( ( ) ). . ( (A A) )PyPy 则则,； ( (B B) ) dy dP PyPy 则则,； ( (C C) ) dx dP PyPy 则