三角级数及三角函数系的正交性机动

1、三角级数及三角函数系的正交性机 动 第七节第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 傅里叶级数傅里叶级数 三角级数及三角函数系的正交性机 动 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 :)sin(tAy (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt 得函数项级数)sincos( 2 1 0 xnbxna a

2、nn k 为角频率, 为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 定理定理 1. 组成三角级数的函数系 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 证证: 1xnxdcos 1xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 0dsinsin xxnxk 同理可证 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交 , ,上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在

3、 0dsincos xxnxk )(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 上的积分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2, 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf n

4、n n 右端级数可逐项积分, 则有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 证证: 由定理条件, 1 0 dsindcosd 2 )( n nn xxnbxxnax a dxxf 0 a ,对在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 xxk a xxkxfdcos 2 dcos)( 0 1n xxnxkandcoscos xxnxkbndsincos xxkakdcos 2 k a xxkxfakdcos)( 1 ),2, 1(k (利用正交性) ),2, 1(dsin)( 1 kxx

5、kxfbk xxfad)( 1 0 类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 叶系数为系数的三角级数 称为 的傅傅里里叶系数叶系数 ; 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 由公式 确定的 nn ba , 以)(xf )(xf ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 的傅里里 的傅傅里里叶级数叶级数 . 称为函数 )(xf 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 定理定理3 (收敛定理

6、收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点 其中 nn ba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点 注意注意: 函数展成 傅里里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交

7、性机 动 例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 ), x x xf 0,1 0,1 )( 解解: 先求傅里里叶系数 xnxxfandcos)( 1 0 0 dcos1 1 dcos) 1( 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 将 f (x) 展成傅里里叶级数. o y x 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 xnxxfbndsin)( 1 0 0 dsin1 1 dsin) 1( 1 xnxxnx 0 cos1 n nx 0 cos1 n nx n n cos1 2 n n ) 1(1 2 , 4 n ,0

8、,5,3,1n当 ,6,4,2n当 xxfsin 4 )( x3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 ),2,0,(xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 0 2 11 2) 傅氏级数的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x o y x 1 1 说明说明: ), 2, 1, 0(kkx当 f (x) 的情况见右图. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 x o y 例例2. 上

9、的表达式为 ), x xx xf 0,0 0, )( 将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)( 1 0 0 dcos 1 xxnx xnxxfandcos)( 1 0 d 1 xx 0 2 2 1x 2 0 2 cossin1 n nx n nxx 2 cos1 n n 2332 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 ), 2, 1(n xnxxfbndsin)( 1 n n 1 ) 1( ),2,1(k 12 kn kn2, 0 0 dsin 1 xnxx )(xf 4 cos x 2 x

10、sinx2sin 2 1 3sin 3cos xx 2 3 2 3 1 x4sin 4 1 5sin 5cos xx 2 5 2 5 1 2 cos1 n n an , 2 ) 12( 2 k ),2,1,0,) 12(,(kkxx 说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于 22 )(0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 , )(xxf 周期延拓 )(xF 傅里里叶展开 ,)(在xf上的傅里里叶级数 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 ), , )(xxf , )2(kxf其它 机动 目录 上页 下页 返回

11、结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 例例3. 将函数 xx xx xf 0, 0, )( 级数 . o y x 则 xxFad)( 1 0 xxfd)( 1 0 d 2 xx 0 2 2 2 x xnxxFandcos)( 1 xnxxfdcos)( 1 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin2 n nx n nxx 解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶 2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 x3cos 3 1 2 n a)1cos( 2 2 n n 12 kn kn2,0 ),2,1(k , 2 ) 12

12、( 4 k xnxxFbndsin)( 1 xnxxfdsin)( 1 0 )(xf 2 4 xcos x5cos 5 1 2 )(x 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 222 2 ) 12( 1 5 1 3 1 1 8n 说明说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 4 2 , 4 21 3 1 2 24 2 设, 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知 8 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 又 21 21

13、3 6248 222 12248 222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为 周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 , ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 它的傅里里叶系数为 正弦级数,它的傅里里叶系数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角

14、级数及三角函数系的正交性机 动 例例4. 设 的表达式为 f (x)x , 将 f (x) 展成傅里里叶级数. 是周期为2 的周期函数,它在上), )(xf 解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx 是则)(xf 周期为 2 的奇函数, y xo 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 dsin 2 xnxx 因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 n1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: )(xf ,

15、(x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1 2 n nx n n sin ) 1( 1 ),1,0,) 12(kkx y x o 级数的部分和 n2n3n4 上在), 逼近 f (x) 的情况见右图. n5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 例例5. 将周期函数tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其 中E 为正常数 . 解解:)(tu 2 y xo 2 ; ),2,1(0nbn 0 a 0 dsin 2 ttE E4 ttntuan 0 dcos)( 2 tt ntE 0 dcossin 2 0 d) 1sin() 1sin(ttn

16、tn E 是周期为2 的 周期偶函数 , 因此 0 d)( 2 ttu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 t 2cos 3 1 0 d) 1sin() 1sin(ttntn E an kn2 12, 0 kn ),2,1(k 1 a0 )(tu )(t , ) 14( 4 2 k E 0 d2sintt E 2 1 t 4cos 15 1 t 6cos 35 1 E2 E4 xk k E k 2cos 14 14 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数 ,0),(xxf )

17、(xF 周期延拓 F (x) )(xF f (x) 在 0 , 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓偶延拓 xo y 正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成 x o y , 0(),(xxf 0, 0 x )0,(),(xxf ,0(),(xxf )0,(),(xxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 1 x y o 例例6. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 0 2 coss

18、incos2 n nx n nx n nxx nn n coscos1 2 12 kn kn2 ),2, 1(k , 12 22 k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 k 三角级数及三角函数系的正交性机 动 n b 12, 12 22 kn k kn k 2, 1 ),2, 1(k 2 1x xsin)2(x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 x y o 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 三角级数及三角函数系的正交性机 动 再求余弦级数

19、. x 1 y 将)(xf则有 o 0 a 0 d) 1( 2 xx n a 0 dcos) 1( 2 xnxx 0 2 2 2 x x 2 0 2 sincossin2 n nx n nx n nxx 1cos 2 2 n n 12, ) 12( 4 2 kn k kn2,0 ),2, 1(k 作偶周期延拓 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 1 2 1 x xcosx3cos 3 1 2 )0( x x5cos 5 1 2 说明说明: 令 x = 0 可得 8 5 1 3 1 1 2 22 8) 12( 1 2 1 2 n k 即 4 1 2 1 2

20、 ) 12( 14 k k xk) 12cos( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 y o x 三角级数及三角函数系的正交性机 动 内容小结内容小结 1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos( 2 )( 1 0 xnbxna a xf nn n )(间断点x 其中 xxnxfandcos)( 1 xxnxfbndsin)( 1 ),2, 1 ,0(n ),2, 1(n 注意注意: 若 0 x为间断点,则级数收敛于 2 )()( 00 xfxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函

21、数正弦级数 偶函数余弦级数 3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ? 答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 三角级数及三角函数系的正交性机 动 处收敛于 2. )(xf 0 x,1 x0,1 2 x 则它的傅里里叶级数在x 在4x处收敛于 . 提示提示: 2 )()(ff 2 )( f)( f 2 2 2 2 )4()4(ff 2 )0()0( ff 2 11 0 2 设周期函数在一个周期内的表达式为 机动

22、 目录 上页 下页 返回 结束 , x y o 1 1 三角级数及三角函数系的正交性机 动 0 x 3. 设,0,)( 2 xxxxf又设)(xS 求当 )()2,(xSx时的表达式 . 解解: 由题设可知应对 )(xf作奇延拓: )(xF xxx0, 2 0 x,0 0 x , 2 xx ,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在 )2()(xSxS)0,(2x 2 )2()2(xx 22 23xx 2 在是)(xf 2), 0(内以为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角级数及三角函数系的正交性机 动 4. 写出函数)(xf 0, 1x x0, 1 上在, 傅氏级数的和函数 . )(xS 0, 1x x