材料力学-第4章 扭转

1、1 材料力学材料力学 2 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题扭转静不定问题 非圆截面轴扭转非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转薄壁杆扭转 内容提纲：内容提纲： 3 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 4 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 纯扭转变形纯扭转变形 5 MM 杆件的杆件的扭转变形扭转变形是指杆件在是指杆件在 两端外力偶矩作用

2、下发生的两端外力偶矩作用下发生的 变形变形 受力特点受力特点：两个等值反向的：两个等值反向的 外力偶分别作用在杆件两端外力偶分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内垂直于轴线的平面内 变形特点变形特点：杆件各横截面绕：杆件各横截面绕 杆的轴线发生相对转动杆的轴线发生相对转动 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 6 受力及变形特点：受力及变形特点： 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 7 基本概念：基本概念： 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 扭转：扭转： 横截面绕轴线作相对旋转的变形形式横截面绕轴线作相对旋转的变形形式 扭

3、转角：扭转角： 横截面间绕轴线的相对角位移横截面间绕轴线的相对角位移 作用面垂直于杆轴的外力偶，称为作用面垂直于杆轴的外力偶，称为扭力偶扭力偶， 其矩称为其矩称为扭力偶矩扭力偶矩。 轴：轴： 以扭转变形为主要变形的直杆以扭转变形为主要变形的直杆 8 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 9 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率功率和和转转 速速，而不直接给出外力偶矩的数值，而不直接给出外力偶矩的数值 设外力偶

4、矩为设外力偶矩为Me，传动轴的功率为，传动轴的功率为P，角速度为，角速度为w w，则，则 有（理论力学）有（理论力学） e P M w 10 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 在工程中，功率常用在工程中，功率常用千瓦千瓦 Pkw (kW) 或或马力马力 P 给出，角给出，角 速度用速度用转速转速 n(r/min (转转/分钟分钟) 给出，则外力偶矩的计算给出，则外力偶矩的计算 公式为公式为 /min /min 9549 7024 kW e r e r P M n P M n 马力 /smN5 .735)(1 /smN1000)(1 kw 马力 千瓦 P

5、 P 11 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 假想截面假想截面m-m将杆件分为将杆件分为 两部分，根据平衡关系，有两部分，根据平衡关系，有 T = M 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内 产生抵抗扭转变形的内力偶矩产生抵抗扭转变形的内力偶矩T，称为，称为扭矩扭矩 扭矩扭矩T的计算仍采用截面法的计算仍采用截面法 扭转时的内力扭转时的内力扭矩、扭矩图扭矩、扭矩图 12 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 扭矩符号的规定扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则，如果用四

6、指表示扭矩的转向，采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负正；反之，规定扭矩为负 13 m e M m 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 m e M e M2 e M m 讨论：讨论：如图受扭圆轴，如图受扭圆轴，m- -m截面上扭矩为多少？截面上扭矩为多少？ m e M2 e M m e TM e TM 截面法：截面法： 1.1.在所研究平面处假想截开在所研究平面处假想截开 2.2.根据平衡关系确定截面（弯）根据平衡关系确定截面（

7、弯） 扭扭矩矩 3.3.根据定义，确定（弯）根据定义，确定（弯）扭扭矩正矩正 负负 14 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 讨论：讨论：如图受扭圆轴，画出其扭矩图如图受扭圆轴，画出其扭矩图 2e TM 1e TM x T e M e M 15 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 16 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 等直圆轴扭转时横截面上的应力等直圆轴扭转时横截面上的应力 此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而必须从此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而

8、必须从几何几何、 物理物理和和平衡平衡三个方面进行综合分析。三个方面进行综合分析。 17 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 变变 形形 应变特征应变特征 应力分布应力分布 应力公式应力公式 18 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 几何变形特征几何变形特征 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不 改变，半径仍为直线改变，半径仍为直线 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度绕圆轴轴线转动一定的角度 圆轴扭转的平截面假定圆

9、轴扭转的平截面假定 即：即：圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 几何变形：几何变形： 横截面绕圆轴的轴线转动横截面绕圆轴的轴线转动 圆轴中段的横截面缩小圆轴中段的横截面缩小 圆轴的长度略有增长圆轴的长度略有增长 有轴向应变有轴向应变 z 有剪切应变有剪切应变 rz ？ 次要次要 次要次要 主要主要 19 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 变变 形形 应变特征应变特征 应力分布应力分布 应力公式应力公式 D D B B d A AB B C C D D D D B B

10、 BBRd GGG ABdx ( ) d GG dx R dx O OO O A AB B C CD D 20 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 R dx O OO O A A B B C CD D 扭转圆轴不同平面上的应力分布扭转圆轴不同平面上的应力分布 max 21 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 dx d GG max 22 max 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 剪力方向垂直于半径（剪力方向垂直于半径（由于剪切变由于剪切变 形发生在垂

11、直于半径的平面内形发生在垂直于半径的平面内） 圆轴截面上的剪应力圆轴截面上的剪应力 与与 成正比成正比 剪应力在圆轴边缘达到最大剪应力在圆轴边缘达到最大 在离圆心等远的各点处，剪应力则在离圆心等远的各点处，剪应力则 均相同均相同 dx d G 23 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 静力平衡关系静力平衡关系 横截面上分布的剪应力的合横截面上分布的剪应力的合 力（主矢）等于零力（主矢）等于零 剪应力关于原心剪应力关于原心O的合力矩的合力矩 应该等于该截面上的扭矩应该等于该截面上的扭矩T T，即，即 TdA A dA T dA O 24 材料力学第

12、材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 TdA A dA T dA 代入：代入： dx d GG 得到：得到： 2 A d d x AGT d 记：记： 称为圆截面的称为圆截面的极惯性矩极惯性矩 2 P A IdA 则：圆轴扭转角的变化率则：圆轴扭转角的变化率 P dT dxGI 圆截面切应力圆截面切应力 P T I O 25 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 223 22dAdd 该圆环对圆心的微惯性矩为：该圆环对圆心的微惯性矩为： 考虑一半径为考虑一半径为，厚度为，厚度为 的圆环。的圆环。 d 4 /2 3

13、 0 2 32 d P d Id 积分可得整个圆截面的极惯性矩：积分可得整个圆截面的极惯性矩： 圆截面的圆截面的极惯性矩极惯性矩 2 P A IdA 2dA O 26 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式 P dT dxGI 圆轴扭转切应力圆轴扭转切应力 P T I 总结总结 实心圆轴实心圆轴 其中其中 4 32 P d I max P PP TRTT I IW R 最大切应力：最大切应力： 3 16 P d W 其中：其中：称为称为抗扭截面系数抗扭截面系数 27 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截

14、面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 空心圆轴的扭转计算空心圆轴的扭转计算 空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不 同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在 于极惯性矩的计算。于极惯性矩的计算。 28 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 空心圆轴的扭转计算空心圆轴的扭转计算 圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式 P dT dxGI 圆轴扭转切应力圆轴扭转切应力 P T I 44 /2 22 /2 2 3232 D P Ad Dd IdAd 截面最大切应力截面最大切应

15、力max 2 PP TDT IW 其中：其中：? P I 令：令： d a D 得：得： 4 4 (1) 32 P D Ia 43 44 2 (1)(1) / 23216 P P IDD Waa DD d D 29 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 自学自学 作业作业4-7 证明证明: 式式4-8在线弹性情况下，在线弹性情况下， 且且 时，最大计算误时，最大计算误 差不超过差不超过4.53%。 0 /10R 本节作业：本节作业： 4-1(c),(d) 4-7 薄壁圆轴的扭转切应力，薄壁圆轴的扭转切应力，Page 100 本节作业下周五本节作业下

16、周五(12月月31日交日交) 30 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 31 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 破坏类型破坏类型 试验发现：试验发现： 32 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 破坏机理破坏机理 塑性材料：塑性材料：受剪破坏受剪破坏 低炭钢：抗压低炭钢：抗压抗拉抗拉抗剪强度抗剪强度 铸铁：抗压铸铁：抗压抗剪抗剪抗拉强度抗拉强度 45o s sy s sx 33 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与

17、强度条件 从破坏类型可见，对于从破坏类型可见，对于脆性材料脆性材料（如铸（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按上仍按最大剪应力进行强度计算最大剪应力进行强度计算 34 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 35 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴

18、扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件 扭转许用切应力：扭转许用切应力： u n 扭转强度条件：扭转强度条件： max P T W max 36 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 例题例题1 1： 某传动轴，轴内最大扭矩某传动轴，轴内最大扭矩T = 1.5kNm ，若许用应，若许用应 力力 =50MPa，试按下列两方案确定轴的横截面尺寸，试按下列两方案确定轴的横截面尺寸， 并比较重量。并比较重量。 （1 1）实心圆截面轴）实心圆截面轴 ； （2 2）空心圆截面轴，内外径比值）空心圆截面轴，内外径比值d/D

19、 = 0.9。 T T 37 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 扭转强度条件：扭转强度条件： max P T W max 解：解： P T W 3 16 P D W 316 0.0535 T Dm T 对于实心圆轴：对于实心圆轴： 对于空心圆轴：对于空心圆轴： 3 4 (1) 16 P D Wa T 3 4 16 0.0763 1 T Dm a 外径：外径： 内径：内径：0.90.0687dDm 38 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 哪种截面节省材料？哪种截面节省材料？ 对于实心圆轴：对于实心

20、圆轴： 对于空心圆轴：对于空心圆轴： 22 2 0.535 0.225 44 D Am 22 222 0.7630.6870.087 444 Dd Am 面积比：面积比： 0.087 38.7% 0.225 A A 空心圆轴可大大的节材料！空心圆轴可大大的节材料！ 39 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 例题例题2： 图示圆柱形密圈螺旋弹簧，图示圆柱形密圈螺旋弹簧， 沿弹簧轴线承受拉力沿弹簧轴线承受拉力F（密圈螺线（密圈螺线 弹簧是指螺旋升角弹簧是指螺旋升角a a 5）。设。设 弹簧圈平均半径弹簧圈平均半径R，弹簧丝平均直，弹簧丝平均直 径径d

21、。分析弹簧的应力，建立相应。分析弹簧的应力，建立相应 强度条件。强度条件。 RR a F 40 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 可见，弹簧丝的横截面上作用有可见，弹簧丝的横截面上作用有 剪力剪力F Fs s和扭矩和扭矩T T，其分别值为，其分别值为 d Fs T F R 解：解： 利用截面法，以通过弹簧轴线的利用截面法，以通过弹簧轴线的 某一平面将弹簧丝切断，选择上部为研某一平面将弹簧丝切断，选择上部为研 究对象。由于螺旋升角究对象。由于螺旋升角a a 很小，此切面很小，此切面 可视为弹簧丝的横截面。可视为弹簧丝的横截面。 41 材料力学第材

22、料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 假设与剪力假设与剪力Fs相应的剪应力相应的剪应力 沿截面分布均匀，则沿截面分布均匀，则 22 s 44 d F d F 3 p max 16 d FR W T d Fs T F R Fs T 42 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 由叠加原理可得截面上的最由叠加原理可得截面上的最 大剪应力大剪应力 max ) 4 1 ( 16 3 maxmax R d d RF 3 max 16 d RF Fs T max 43 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件

23、圆轴扭转变形与刚度条件 44 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 P T ddx GI l P T dx GI P T ddx GI 45 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 i i Pi Tl GI P Tl GI l 46 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 p d d T xGI P dT dxGI 47 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 P dT dxGI 48 材料力学第材料力学第4章章 扭转

24、扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 例题例题3 3： 图示圆轴图示圆轴AC，承受，承受大小大小为为MA，MB，MC的扭力偶的扭力偶 作用。已知圆轴作用。已知圆轴GIP，长度，长度2l，求轴的总扭转角求轴的总扭转角 （即（即 截面截面A与与C之之间的相对转角）。间的相对转角）。 AC A M C M B M ll CA B 49 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 A M C M B M ll A M A TM C M C CA AB B BCC BC PP TlM l GIGI BC段：段： C TM ABA AB PP TlM

25、l GIGI AB段：段： AC ACABBC P MMl GI AC段：段： 正负扭矩引起的圆轴正负扭矩引起的圆轴 扭转方向相反！扭转方向相反！ 解一：解一： 50 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 A M C M B M ll C CA AB B 1 B P Ml GI 2 2 c P M l GI 总扭转角：总扭转角： 12 2 AC BC P MMl GI 假想地固定假想地固定A A端，并用叠加法端，并用叠加法 解二：解二： B M C M C M AC P MMl GI 51 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条

26、件圆轴扭转变形与刚度条件 例题例题4 4： 图示圆锥形轴，两端承受扭力偶矩图示圆锥形轴，两端承受扭力偶矩M作用。设轴作用。设轴 长长l，左、右端直径分别为，左、右端直径分别为d和和D，计算轴的总扭转角。，计算轴的总扭转角。 M M l d D 52 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 解：解： M M l d D x dx dx Dd d xdx l P Mdx d GI 微段两截面的扭转角为：微段两截面的扭转角为： 4 ( ) 32 P Ixdx 其中：其中： 00 ( ) ll P M ddx GIx 总扭转角：总扭转角： 53 材料力学第材

27、料力学第4章章 扭转扭转 扭转静不定问题扭转静不定问题 54 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭转静不定问题扭转静不定问题 a b AB M C 例题例题5 5： 图示圆轴图示圆轴ACAC，中间某处承受扭力偶矩，中间某处承受扭力偶矩M M作用。求支作用。求支 反力偶矩。反力偶矩。 55 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭转静不定问题扭转静不定问题 a b AB M C 解一：解一： AB M CB M A M 未知数两个：未知数两个：, AB MM AB MMM（力的）平衡方程：（力的）平衡方程： 0 ABACBC 变形协调条件：变形协调条件： 0 AB PP M aM b GIGI , AB ba MMMM abab 静不定次数：一次静不定次数：一次 56 材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 扭转静不定问题扭转静不定问题 a b AB M C 解二：解二： AB M CB M A M