二项式定理(通项公式)

1、二项式定理(通项公式)六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1整数指数幂的概念 2运算性质： ，3注意 可看作 = 可看作 =4、 (a0,m,nN*,且n1) 例题：例1求值：.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：1） (式中a0) 2) 3） 例3计算下列各式（式中字母都是正数） 例4计算下列各式： 例5化简：例6 已知x+x-1=3,求下列各式的值：二、二项式知识回顾1. 二项式定理,以上展开式共n+1项，其中叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）， 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 ，即二项式系数和等于；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即 式

2、中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即.（2）二项式系数增减性与最大值：当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间一项取得最大值.当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,an 的性质：f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn a0+a1+a2+a3+an=f(1) a0-a1+a2-a3+(-1)nan=f(-1) a0+a2+a4+a6= a1+a3+a5+a7= 三、经典例题1、“展开式例1求的展开式；解：原式= =

3、【练习1】求的展开式2.求展开式中的项例2.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n； （2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.解：（1）通项为因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10.（2）令=2，得所以所求的系数为.（3）根据通项公式，由题意令，则，故可以取，即r可以取2，5，8.所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为.【练习2】若展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含的一次幂的项；（2）展开式中所有的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2

4、）系数的绝对值最大的项（先看例9）.解：由题意知，所以，解得n=5.（1） (1)由二项式系数性质，的展开式中第6项的二项式系数最大.（2） 设第项的系数的绝对值最大，得，即，解得.，故系数的绝对值最大的项是第4项，.练习3已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 例4的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。5、求可化为二项式的三项展开式

5、中指定幂的系数例5（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ；解：，该式展开后常数项只有一项，即 6、求中间项例6求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为 即：。 当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。7、 有理项例7 的展开式中有理项共有 项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；解：要使

6、项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得，系数最大的项为第3项和第4项。（3） 系数绝对值最大的项例10在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 例11若， 则的值为 ； 解： 令，有， 令，有 故原式=【练习1】若， 则 ；解：，令，有 令，有 故原式=【练习2】设， 则 ； 解： = =110利用二项式定理求近似值 例15求的近似值，使误差小于； 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。 解：= ， 且第3项以后的绝对值都小于， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 = 小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用