定积分典型例题

1、定积分典型例题例i求iim cn2 3市山3孑）.分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间0, 1 n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.1 1111解 将区间0, 1 n等分，则每个小区间长为.X二丄，然后把 冷二丄丄的一个因子-乘nnn nn入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即lim （汗 +72 切| + 帝）=限*匸+| +泸）= .nr nn ： 一 n n , n 0_时,tr 厂-；当 X； 0 时，t -：当x =1时，t = 0 ;故有f 24dx =-21 x1 d(x )

2、 x2 (x-丄)x1i d (x 一)dt2:d(t) 0；22P2t:2t21(二arcta n)22注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39 ；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形.1例41求由曲线y x , y =3x , y =2 , y =1所围成的 2图形的面积.分析若选x为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5- 1所示，此做法留给读者去完成.下面选取以y为积分变量.解 选取y为积分变量，其变化范围为y 1,2,则面积元素为11dA=|2y -&y|dy = (2y -石 y)dy .3 3于是

3、所求面积为A15a = s (2y-3y)dy = ? 例42 抛物线y2 =2x把圆x2 y2 =8分成两部分，求这两部分面积之比.2 2 2=-2 二解抛物线y =2x与圆x y =8的交点分别为(2,2)与 (2, -2),如图所示5 - 2所示，抛物线将圆分成两个部分 A , A2, 记它们的面积分别为 S , S,，则有5 = 323二 26 6二-4 9二 -23例43 求心形线 r -1 coi与圆r -3COSV所围公共 部分的面积.分析 心形线T =1 co 与圆J =3cosr的图形如图5 - 3所示由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即 可.解 求得心形线 =1 cos

4、t与圆=3cosv的交点为2 JT(厂)=(3, _)，由图形的对称性得心形线=1 co与23圆J =3cosr所围公共部分的面积为A=2& 14 1503?(1 cos)2d J?2(3cos v)2d 习=；二例44求曲线y=lnx在区间（2,6）内的一条切线，使得该切 线与直线x =2 , x =6和曲线y = In x所围成平面图形的面积最 小（如图5 4所示）.分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求岀面积的表达式.解 设所求切线与曲线 y =ln x相切于点（c,ln c），则切线方1程为y In c（x -c）.又切线与直线x=2 , x=6和曲线c图5 4y =1 nx所围成的

5、平面图形的面积为6 14A=一(x -c) In c In xdx= 4(1) 4In c 4 6In 6 2In 2 .、2 cc兰仝4dcc2 cc2(4 c),由于dA而当c 4时-0 .故当-4时,A取得dAdA令荷0,解得驻点.当 c4时-0 ,极小值.由于驻点唯一.故当c=4时，A取得最小值.此时切线方程为:yx1 I n 4 .图5 54,222例45 求圆域x亠（yb） - a （其中b a ）绕x轴旋转而 成的立体的体积.解 如图5 5所示，选取x为积分变量，得上半圆周的方程为y2 =b a2 -x2 ,下半圆周的方程为y1 二b _ . a2 _x2 .则体积元素为dV =

6、（二y； -二yj）dx = 4二b a2 -xdx .于是所求旋转体的体积为V =4：b：，a2 -x2 dx=8：b0 a2-x2dx=8：b二 a24一 2 2.=2心 a b注 可考虑选取y为积分变量，请读者自行完成.例46过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D .(1)求D的面积A ;图5 - 6计算，如图5 - 6所示.(1 )设切点横坐标为Xo，则曲线y =1 nx在点(xo,ln Xo)处的切线方程是1y =1 n Xo(x - xo).xo由该切线过原点知Inxo -1 =0，从而xo =e，所以该切线的方程是1y x 从而D的面积e1

7、二o(ey -ey)dy 二I1 .例47 有一立体以抛物线 y2=2x与直线x=2所围成的图形为刃底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5-7所示.求x x =2其体积.解 选x为积分变量且 xO,2.过x轴上坐标为x的点作垂直于x轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为2 2x , 得等边三角形的面积为A(x) = 3(2. 2x)2=2. 3x4于是所求体积为V = O A(x)dx = _O 2/3xdx= 4寸3Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！)dx3 - x11In 2 ln3 .24n。咕 sin xdx .分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法.解 由于 o2 ex sin xdx 二 o2sin x