基本不等式课件(人教A版选修4-5)

1、基本不等式课件(人教A版选 修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 不等式的性质不等式的性质 (对称性或反身性对称性或反身性) 1、 abba abbcac， abacbc abcdacbd， (传递性传递性) (可加性可加性)移项法则移项法则 2、 (同向可相加同向可相加) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 2答案答案3答案答案 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 3、基本不等式、基本不等式 2222 如果a，bR，那么a +b 2ab，如果a，bR，那么a +b 2ab， 当且仅当a = b时等 当

2、且仅当a = b时等 定理1：定理1： 号成立。号成立。 几何解释几何解释 22 ba a b 基本不等式课件(人教A版选修4-5) （基本不等式）（基本不等式） a+ba+b 如果a，b0，那么ab， 如果a，b0，那么ab， 2 2 当且仅当a = b时等 当且仅当a = b时等 定理2：定理2： 号成立。号成立。 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 几何解释几何解释 O ab D ab A C B 可以用来求最值可以用来求最值( (积定和小积定和小，和定积大和定积大) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 注注：一一正正、二二定定、三三等等。 课堂练习：课堂练习： 基本不等式课件

3、(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) ),( 22 11 2 22 Rba baba ab ba 总结：总结： 当且仅当ba 时取等号 变形式：变形式： ab ba ab 2 ),( 22 22 2 Rba baba ab ),( 2 22 Rba ba ab 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 例例 1求证求证:(1)在所有周长相同的矩形中在所有周长相同的矩形中,正方正方 -形的面积最大形的面积最大; (2)在所有面

4、积相同的矩形中在所有面积相同的矩形中,正方正方 -形的周长最短形的周长最短. x y S 周长周长L=2x+2y 设矩形周长为设矩形周长为L,面积为面积为S,一边长为一边长为x,一边长为一边长为y, 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 例例2: 某某居民小区要建一做八边形的休闲场所居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体它的主体 造型平面图是由两个相同的矩形造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和和EFGH构成的构成的 面积为面积为200平方米的十字型地域平方米的十字型地域.计划在正方形计划在正方形MNPQ上上 建一座花坛建一座花坛,造价为每平方米造价为每平方米4200元元,在四个相同的矩形

5、在四个相同的矩形 上上(图中阴影部分图中阴影部分)铺花岗岩地坪铺花岗岩地坪,造价每平方米造价每平方米210元元,再再 在四个空角在四个空角(图中四个三角形图中四个三角形)上铺草坪上铺草坪,每平方米造价每平方米造价80 元元. (1)设总造价为设总造价为S元元,AD长长 x 为米为米,试建立试建立S关于关于x的函数的函数 关系式关系式; (2)当为何值时当为何值时S最小最小, 并求出这个最小值并求出这个最小值. Q D B C F A E HG P MN 解解: :设设AM=AM=y米米 2 2 200- 4200 4 x xyxy x 因因而而 22 4200210 480 2Sxxyy于于是

6、是 010 2x x 书 P7 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 新课：三个正数的算术新课：三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 类比基本不等式得类比基本不等式得 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 例例1 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值. () , 2 1 130 3 yxx 注注：一一正正、二二定定、三三等等。 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 问题问题 求证求证: :在表面积一定的长方体中在表面积一定的长方体中, ,以正以正 方体的体积最大方体的体积最大. . x y z vxyz 解：设长方体的三边长解：设长方体的三边长 度分别为度分别为x、y、z, ,则长则

7、长 方体的体积为方体的体积为 222Sxyxzyz而而 略略 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 例例2: 如图，把一块边长是如图，把一块边长是a 的正方形铁的正方形铁 片的各角切片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？小时？才能使盒子的容积最大？ a x 2 (2 ) 0) 2 vaxx a x 解解：依依 意 意有有 （ （ 题题 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 3 , ,()27x y zRxyz

8、xyz 已已知知， 例例3：3：求证求证: 基本不等式课件(人教A版选修4-5) OA |a x a 0 0 关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢? ? 表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离. . 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 证明证明:1:10 . 0 .当 当ab0 0时时, , |, |() | (|) | 2 22 22 2 2 2 abab abab aabb aa bb ab ab 2 20 0. . 当当ab00时时, , |, |() | | (|) | 2 22 22 22 2

9、 2 2 2 abab abab aabb aabb aa bb ab ab 综合综合1 10 0,2,20 0知定理成立知定理成立. . 基本不等式课件(人教A版选修4-5) a b ab ab 基本不等式课件(人教A版选修4-5) a b ab a b ab 由这个图，你还能发现什么结论？由这个图，你还能发现什么结论？ 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 答案继续答案继续 例例2 2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地 点施工点施工, ,这两个地点分别位于公路路碑的第这两

10、个地点分别位于公路路碑的第1010公里公里 和第和第2020公里处公里处. .现要在公路沿线建两个施工队的共现要在公路沿线建两个施工队的共 同临时生活区同临时生活区, ,每个施工队每天在生活区和施工地每个施工队每天在生活区和施工地 点之间往返一次点之间往返一次, ,要使两个施工队每天往返的路程要使两个施工队每天往返的路程 之和最小之和最小, ,生活区应该建于何处生活区应该建于何处? ? 1010 x 2020 解：如果生活区建于公路路碑的第解：如果生活区建于公路路碑的第 x km km处，两处，两 施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为S(S(x)km)km 那么那么 S(S(x

11、)=2(|)=2(|x-10|+|-10|+|x-20|)-20|) 基本不等式课件(人教A版选修4-5) -230(10) ( )10(1020) 230(20) xx S xx xx 2020 4040 6060 101020203030 0 0 10,S x所所以以（ ）的的最最小小值值是是 答答: : 生活区建于两路碑生活区建于两路碑 间的任意位置都满足条间的任意位置都满足条 件件. . 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 方法一方法一: 利用绝对值的几何意义观察；利用绝对值的几何意义观察； 方法二方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论需

12、要分类讨论; 方法三方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号; 方法四方法四: 利用函数图象观察利用函数图象观察. 这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路. 主要方法有主要方法有: : 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 0-1 不等式不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于1的点的集合的点的集合. 1 所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|- -1x1 探索：不等式探索：不等式|x|1的解集的解集. 方法一：利用绝对值的几何意义观察方法一：利用绝对值的几何意义观察 当当x0时，原不等式可

13、化为时，原不等式可化为x1 当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1，即，即x1 0 x1 1x0 综合得，原不等式的解集为综合得，原不等式的解集为x|1x1 方法二方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论需要分类讨论 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。 对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x21 即即 x210 即即 (x+1)(x1)0即即1x1 所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|- -1x1 方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法三：两边同时平方去掉绝对值符号. 从

14、函数观点看，不等式从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数的解集表示函数y=|x|的的 图象位于函数图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的的图象下方的部分对应的x的取值范围的取值范围. o x y 1 1 1 y=1 所以，不等式所以，不等式|x|1的的 解集为解集为x|- -1x1 方法四：方法四：利用函数图象观察利用函数图象观察 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 一般地，可得解集规律一般地，可得解集规律: 形如形如|x|a (a0)的含绝对值的不等式的含绝对值的不等式 的解集的解集: 不等式不等式|x|a的解集为的解集为x|- -axa的解集为的解集为x|xa 0- -aa 0-

15、-aa 基本不等式课件(人教A版选修4-5) (1)|32 |7x (4)1 |34|6x 2 (2)|3 | 4xx (3)|32| 1 x 试解下列不等式：试解下列不等式： 课堂练习一：课堂练习一： 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 小小 结结 一一 )()(xgxf)()(xgxf或或不等式不等式形如形如 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 1答案答案2答案答案 课堂练习课堂练习 ： 2.2.试解不等式试解不等式| |x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5 解绝对值不等式关键是去绝对值符号解绝对值不等式关键是去绝对值符号, , 你有什么方法解决这个问题你有什么方法解决这个问题?

16、? 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 还有没有其他方法还有没有其他方法? ? 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 2.2.试解不等式试解不等式| |x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5 方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数形结方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想合的思想 -2-2 1 12 2 -3-3 解解:|:|x-1|+|-1|+|x+2|=5+2|=5的解为的解为x=-3=-3或或x=2=2 所以原所以原不等式不等式的解为的解为 23x xx 或或 方法小结方法小结 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 2.2.解不等式解不等式| |x-1|+|-1|+|x

17、+2|5+2|5 解：解： 当 当x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于 x2 2 x-211 -(-(x-1)+(-1)+(x+2) +2) 5 5 x-21-21 x-3-3 x 综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为 23x xx或或 3 3 当 当x-21)1) -(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 (-2+2)-5 (-2x1)1) -(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 (+2)-5 (x-2)1)1) -2 (-2-2 (-2x1)1) -2-2x-6 (-6 (x-2)-2) 令令f( (x)=|)=|x-1|+|-1|+|x+2|-5 ,+2|-5 ,则则 -3-3 1 1 2 2 -2-2 -2-2 x y 由图象知不等式的解集为由图象知不等式的解集为 23x xx或或 f( (x)=)= 方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现 了函数与方程的思想了函数与方程的思想 方法小结方法小结 基本不等式课件(人教A版选修4-5) 形如,xaxbc xa