复数的基本概念与基本运算

1、复数的基本概念与基本运算一、考试说明 中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念(实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复 数、模)； (2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形 式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4) 复数集中解实系数方程(包括一元二次方程、二项方程)。 二、考试要求 ( 1)使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解 复数的有关概念掌握复数的代数、几何、三角表示及其转 换； ( 2)掌握复数的运算法则， 能正确地进行复数的运算， 并理解复数运算的几何意义；( 3)掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项

2、方程的方法( 4)通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用 数学知识解题的能力(5)通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教 学，继续对学生进行辩证观点的教育 三、学习目标 (1) 联系实数的性质与运算等内容， 加强对复数概念的认识； ?(2) 理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cos 9 +isin 9 ),OZ(Z(a,b) , z=a+bi (3) 正确区分复数的有关概念； (4)掌握复 数几何意义 ,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角 数 实数集 集形式

3、的乘、除、乘方、开方及几何意义； 虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集3的性质；模及共轭 复数的性质； (6)掌握化归思想将复数问题实数化(三 角化、几何化) ；(7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1 知识体系表解1 1/16 页2复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位，规定 2i,1，形如 a+bi 的数称为复数，其中 a，b?R (2)复数的分类 (下 面的 a，b 均为实数 )(3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR, , ,(,)121112221122 条件是：.abab，且 1122

4、(4)复数的几何表示复数 z=a+bi( a，b?R)可用平面直 角坐标系内点Z(a，b)来表示.这时称此平面为复平面，x轴称为实轴， y 轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集 C 与 复平面上全体点集是一一对应的2 2/16 页 复数z=a+bi .在复平面内还可以用以原点0为起点，以点Z(a,b) abR,， 向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0 对应点 0，看成零向量 ) (7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实 数时就不能比较大小?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运算和开方 均通行无阻 3有关计算：?

5、*n4k ， rrkNrN,nN,ii,i 怎样计算？(先求n被4除所得的余数，),1313?, i、，,i是 1 的两个虚立方根，并且：122222113322 ,1,12122121,12 ,，,1 ,121221?复数集内的三角形不等式是：z,z,z,z,z, z,其中左边在复数 121212z、z 对应的向量共线且反向（同向）时取等号， 右边在复数z、z对应的向量共1212线且同向（反向）时取 等号。 nn? 棣莫佛定理是：,r（cos,， isin,）,r（cosn,， isinn,）（n,Z）?若非零复数 z ,r（cos , ， isin,） ，则 z 的 n 次方根有 n 个，

6、即： 2k ， 2k， ,nz,r（cos， isin）（k,0 ， 1 ， 2，？， n,1） knn 它们在复平面 内对应的点在分布上有什么特殊关系？nrn 3 3/16页”z,2，z,3（cos， isin）,z? 若，复数 z、 z 对应的点分别是 A、 B， 则？12121331,AOB（O为坐标原点）的面积是，2, 6, sin,33。 232? z=o乙z?复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：?轨迹为一条射线。argz,（为实常数）,?轨迹为一条射线。arg（zz,）,（z是复常数，是实常数），00 ?轨迹是一个圆。z,z,r（r是正的常数）,0 ?轨迹是一条直线。z,z,z,

7、z（z、z是复常数）,1212 ?轨迹有三种可能 乙z, z,z,2a（z、z是复常数，a是正 的常数）,1212情形：a）当时，轨迹为椭圆；b）当时，轨迹为 一条线段；2a,z,z2a,z,z1212c）当时，轨迹不存在。2a,z,z12 ?z,z,z,z,2a（a是正的常数）,轨迹有三种可能情形：a） 当122a,z,z时，轨迹为双曲线；b）当2a,z,z时，轨迹为两条 射线；c）当12122a,z,z时，轨迹不存在。 12 五、高考命 题规律分析 复数在过去几年里是代数的重要内容之一,涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着 新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考

8、生要 把握好复习的尺度。 从近几年的高考试题上看：复数部分 考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分 重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复 数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复 向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的 概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在 选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高 档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变 换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关 复数 n 次乘方、求 4 4/16 页辐角（主值）等问题，涉及到复 数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角

9、形式后再进行 变换。 复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考 查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解 及复向量运算等问题。 基于上述情况，我们在学习“复数” 一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复 数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭 复数 的三角形式和代数式， 提供了将 “复数问题实数化” 的手段。 复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（ 2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的 难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练 以突破此难点； (3) 重视以下知识盲点： ?不能正确理解 复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；?忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；?盲目地将实数范围内数与形的一些结