导数压轴题题型(学生版)

1、与数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知 f(x) ax ln x 2x2 1 ,a r .x(i )讨论f(x)的单调性；(ii )当a 1时，证明f(x)f x |对于任意的x 1,2成立.1 .高考命题回顾例 1.已知函数 f(x)ae2x+(a - 2) ex x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围2例2. (21)(本小题满分 12分)已知函数 fx x 2 e a x 1 有两个零点(i)求a的取值范围；(ii)设xi,x2是f x的两个零点，证明：/ x2 2.例3.(本小题满分12分)1已知函数 f (x) =x3

2、 ax ,g(x) in x4(i)当a为何值时，x轴为曲线y f (x)的切线；(n)用 minm,n 表示 m,n 中的最小值，设函数 h(x) min f (x), g(x) (x 0),讨论h (x)零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数。下0,函数/=inu十依)一用7x + 2(i)讨论/(冷在区间(0.+r)上的单调性(n)若/(xj存在两个极值点 事产，且，(演)+ 工) 0.求口的取值范围例 5 已知函数 f(x)= ex ln(x+ m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求 m ,并讨论f(x)的单调性;(2)当 m0.x 112例 6 已知函数 f(x)满足 f(

3、x) f(1)ef(0)x x2(1)求f(x)的解析式及单调区间；，、1 2.,，(2)若 f (x) - x ax b,求(a 1)b 的最大值。例7已知函数f(x) anx b ,曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 1 xx 2y 3 0。(i )求a、b的值；ln x k(n)如果当x 0,且x 1时，f(x) 士 、，求k的取值范围。x 1 x例 8 已知函数 f(x)= (x3+3x2+ax+b)e x.若a=b=3，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(8, a ),(2,单噂增加，在(“，2),(西碉减少，证明3-6.2 .在解题中常用的有关结论 x(1)

4、曲线y f (x)在x x0处的切线的斜率等于f (x),且切线方程为y f (x()(x x0) f%)。(2)若可导函数y f (x)在x x0处取得极值，则f (x0) 0。反之，不成立。(3)对于可导函数f(x)，不等式f (x) 0( 0的解集决定函数f (x)的递增(减)区间。(4)函数f(x)在区间i上递增(减)的充要条件是：x i f (x) 0 ( 0)恒成立(f(x) 不恒为0).函数f(x)(非常量函数)在区间i上不单调等价于 f(x)在区间i上有极值，则可等 价转化为方程f (x) 0在区间i上有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次函数且 i=r,则有0)。(6)

5、f(x)在区间i上无极值等价于 f(x)在区间在上是单调函数,进而彳#到f (x) 0或 f (x) 0在i上恒成立若x i , f (x)0恒成立，则f (x)min 0；若x i , f (x)0恒成立，则f ( x) max 0(8)若x。i,使得 f(x0) 0,则 f(x)max 0；若x0i ,使得 f(x0) 0,则f(x)min 0.(9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为 d,若 x d f(x) g(x) 恒成立，则有f(x)g(x)min 0.(10)若对x1il、x2i2 ,f(x1)gd)恒成立，则f (x)ming(x)max.若对x1i1,x2i2,使得 f(

6、xi)g%)，则 f 他溢g(x)min .若对xiii ,x2i 2,使得 f(xi)g(x2),则 f (x)max g(x)max.(11)已知f (x)在区间ii上的值域为a, g(x)在区间i2上值域为b,若对xiii, x2i2,使得 f (xi) = g(x2)成立，则 a b。(i2)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0有两个不等实根 为、x2,且极大值 大于0,极小值小于 0.(i3)证题中常用的不等式：xx i lnx x i (x 0) w|n(x+d x (x i)xxei xe i xin xx 1(x1)in x11(x0)22x 12x22x23.

7、题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用(构造函数，最值定位)(分类讨论，区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用)(二阶导转换)例1 (切线)设函数f(x) x2 a.(1)当a 1时，求函数g(x) xf(x)在区间01上的最小值；(2)当a 0时，曲线y f(x)在点p(x1，f(xi)(x1 *a)处的切线为l l与x轴交于 点 a(x2，0) 求证：x1 x2 ja .例2 (最值问题，两边分求)已知函数f (x) ln x ax1 (a r).x,1 当a 0 时，讨论f (x)的单倜性；22 1设g(x) x 2bx 4.当a 时，若对任意x (0,2),存在xz

8、 1,2，使 4f (x1) g(x2),求实数b取值范围.交点与根的分布例3 (切线交点)已知函数f xax3 bx2 3x a,b r在点1, f 1处的切线方程为 y 2 0 .求函数f x的解析式；若对于区间2,2上任意两个自变量的值 xi,x2都有f xif x2c,求实数c的最小值；若过点m 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.3 2f(x) ln(2 3x) -x2.例4 (综合应用)已知函数2求f(x)在0,1上的极值;1 1 一一一x 一,一,不等式值 lnx| ln f (x) 3x 0若对任意6 3成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程f(

9、x) 2x b在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数 b的取值 范围.不等式证明(x)例5 (变形构造法)已知函数ax 1 , a为正常数.b x2, y2(xo)9若f(x) 1nx (x),且a 2 ,求函数f(x)的单调增区间；在中当a 0时，函数y f(x)的图象上任意不同的两点ax1,y1 , 线段ab的中点为c(x0，yo),记直线ab的斜率为k，试证明：k fg(x2) g(xi)若 g(x)11nxi(x),且对任意的x1,x20,2 ,x1x2,都有x2x1求a的取值范围.2 .例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f x 1n(ax)(a 0) .(1)若f(x)

10、x2对任意的x 0恒成立，求实数a的取值范围；/、 f(x)/1dg(x) xi,x2 (一 ,1),xi x2 1(2)当a1时，设函数x ，若e，求证x1x2 (x1 x2)4例7 (绝对值处理)已知函数f (x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取 得极大值.(i)求实数a的取值范围；(2a 3)2(ii)右万程f(x) 心恰好有两个不同的根，求 f(x)的解析式；9(iii)对于(ii)中的函数 f(x),对任意 、 r,求证：|f(2sin ) f(2sin ) | 81 .例8 (等价变形) 已知函数f (x) ax 1 ln x (a r).(i )讨论函数

11、f (x)在定义域内的极值点的个数；(n )若函数f(x)在x 1处取得极值，对x (0,),f(x) bx 2恒成立,求实数b的取值范围；(出)当0 x y e2且x e时，试比较与1一ny的大小.x 1 ln xr1 27f (x) lnx, g(x) - x mx (m 0) 例9 (前后问联系法证明不等式)已知22,直线11。与函数f (x), g(x)的图像都相切，且与函数f (x)的图像的切点的横坐标为(i)求直线l的方程及m的值;(ii)若h(x) f (x 1) g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最 大值。b af(a b) f(2a) ba(iii)

12、当0 b a时，求证：2a例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数f(x) 叱 1. x(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m 0,求f(x)在m,2m上的最大值；(3)试证明：对任意n n*,不等式ln(lq)e上都成立(其中e是自然对数的底数) n nli 1 仃(出)证明： j1j，i.a. /4 m + 1例11 (数学归纳法)已知函数f(x) ln(x 1) mx,当x 0时，函数f(x)取得极大值.(1)求实数m的值；(2)已知结论：若函数f(x) ln(x 1) mx在区间(a,b)内导数都存在，且a 1 , 则存在x0 (a,b),使得f(%) f(b) f(a).试用这个

13、结论证明：若b a(为心)，都有f (x) g(x);1 x1 x2，函数 g (x) (x1) -x2)(x x1) f (x1),则对任意x(3)已知正数1, 2,l , n ,满足12 l n 1 ,求证：当n 2 , n n时，对任意大于 1,且互不相等的实数x,x2,l ,xn ,都有 f( ixi2x2 l nxn)1f(x1)2f(x2) l nf(xn).恒成立、存在性问题求参数范围2.例12 (分离变量)已知函数f (x) x a1nx (a为实常数).若a 2 ,求证：函数f(x)在(1,+)上是增函数；(2)求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的 x值；(3)若存在x

14、1,e,使得f(x) (a 2)x成立，求实数a的取值范围例13 (先猜后证技巧)已知函数f (x)1 1n(x 1)x(i )求函数f (x)的定义域(n)确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论k(m )若x0时f (x) 恒成立，求正整数k的最大值.x 1例 14 (创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,f(x)=f(x) g(x).(i )若x=0是f(x)的极值点，求a的值；(ii)当 a=1 时，设 p(xi,f(xi), q(x2, g(x 2)(xi0,x20),且 pq/x 轴，求 p、q 两点间的最短 距离；(出)若x0时，函数y=f(x)

15、的图象恒在y=f( x)的图象上方，求实数a的取值范围.例15（图像分析，综合应用）已知函数g（x） ax2 2ax 1 b（a 0，b d,在区间2, 3上有最大值4,最小值1 ,设f(x)g(x)x（i）求a,b的值;（n）不等式 f（2x）k 2x1,1上恒成立，求实数k的范围;f(|2x 1|) k(-(出)方程|23)0有三个不同的实数解，求实数k的范围.导数与数列例16 (创新型问题) 设函数f (x) (x a)2(x b)ex, a、b r , x a是f(x)的一个 极大值点.若a 0,求b的取值范围；当a是给定的实常数，设 x, %, x3是f(x)的3个极值点，问是否存在

16、实数 b ,可找到人 r ,使得x,x2,x3,人的某种排列4,为203,凡(其中ini2,i3,i4=1,2,3,4 )依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的 人；若不存在，说明理由.导数与曲线新题型12例17 (形数转换)已知函数f (x) ln x , g(x) - ax bx(a 0).若a 2,函数h(x) f(x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围；(2)在的结论下，设函数(x)=e 2x+bex,x c 0,ln2, 求函数 (x)的最小值；(3)设函数f(x)的图象ci与函数g(x)的图象c2交于点p、q,过线段pq的中点r作x 轴的垂线分别交 g、c2于点m、n

17、，问是否存在点r使ci在m处的切线与c2在n 处的切线平行？若存在，求出r的横坐标；若不存在，请说明理由.x例18 (全综合应用)已知函数f(x) 1 ln-(0 x 2).是否存在点m(a,b),使得函数yf(x)的图像上任意一点 p关于点m对称的点q也在函数yf (x)的图像上 *存在，求出点m的坐标 若不存在，请说明理由；2n 1(2)定义sn12f(-) f一2n 1一*f ()，其中 n n，求 s2013；n(3)在(2)的条件下，令sn1 24，若不等式2an (an)m 1对n n且n 2恒成立，求实数m的取值范围.导数与三角函数综合2例19 (换元替代，消除三角)设函数f(x) x(x a) (x r)，其