利用轴对称求最短距离问题

1、利用轴对称求最短距离问题基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有a, b两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短?使am与bm的和最小。设 a是a的对称点，本问题也就是要使 a m与bm的和最小。在连 接a b的线中，线段 a b最短。因此，线段 a b与直线a的交点c的位置即为所求。如图3,为了证明点c的位置即为所求，我们不妨在直线 a上另外任取一点 n,连接az bn a n。因为直线a是a, a 的对称轴，点 m,n在a上，所以 am= a m,an= a n。am+bm= a m+bm= a b在a bn中，. a b a n+bn

2、am+bmt an+bn即 am+bmt小。点评：经过复习学生恍然大悟、 面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道 中考题解决了。思路如下：: bc= 9 （定值），.pbc的周长最小，就是 pb+ pc最小.由 题意可知，点 c关于直线de的对称点是点 a,显然当p、a b三点共线时pb+ pa最小.此 时 dp= de pb+ pa= ab.由/ad已 /far / dfa= / acb= 90 ,得 dad abc. ef/ bc, 得 ae= be= - ab= 15 , ef= 9.，af： bc= ad： ab,即 6 : 9=ad： 15.，ad= 10. rtaadf

3、222中，ad= 10, af= 6,df= 8. . de= df+ fe= 8+ 9 = 25. .当 x=25 时， pbc 的周长222最小，y值略。数学新课程标准告诉我们： 教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律， 合理基本技能，更要获得组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。一、两条直线间的对称题目1如图，在旷野上，一个人骑马从 a出发，他欲将马引到河 al饮水后再到a2饮 水，然后返回 a地，问他

4、应该怎样走才能使总路程最短。点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点a作al的对称点a,作a2的对称点a”,连接a a交al、a2于b、c,连接bc. 所经过路线如图5: a-b-c-a,所走的总路程为 a a。第2题图二、三角形中的对称题目2 如图，在4abc中,ac=bc=2,/acb=90 ,d是bc边上的中点，e是ab边上的一 动点,则ec+ed勺最小值是点评：本题只要把点 c、d看成基本题中的a、b两镇，把线段ab看成燃气管道a,问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。三、四边形中的对称题目3 如图，正方形

5、abcd勺边长为8, m在dc上，且dm=2,n是ac上的动点，则dn+mn勺最小值为多少？点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点d关于直线ac的对称点正好是点b,最小值为 mb= 10。dmc第3题图第4题图四、圆中的对称题目4已知：如图，已知点 a是。上的一个六等分点，点 b是弧an的中点，点p是半径onlh的动点，若。的半径长为1,求ap+bp的最小值。点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点b的对称点b在圆上，ab交on于点 p,由/ aon= 60 , / b onh 30 , / aob = 90 ,半径长为 1 可得 ab = .2。b第5题图1hbcag第

6、5题图2五、立体图形中的对称题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的a处，它想吃到盒内表面对侧中点 b处的食物，已知盒高h= 10cm,底面圆的周长为 32cm, a距离下底面3cm.请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为cm点评：如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形efgh作出点b关于eh的对称点b,作ac! ght点c,连接a b。在rtaa bc中，ac= 16, b c= 12,求得a b =20,则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西， 以后学生再碰到类似问题时

7、学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性,发展了学生的应当点p运动到点p时，此时ap+bpw最小彳1为2变能力。对巩综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生 分析问题、解决问题的能力。题目6长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 a出发，沿长方体的表面爬 到对角顶点ci处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示，25 . 2937路线1即为所

8、求。长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最a1a14biac= v4+3 =v25；ac=v6+f 卷7;ac =v52+22 =v29长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。由学生引申总结以下14:1、已知：如图，a b两点在直线l的同侧，点 a与a关于直线l对称，连结 ab交l于p点，若ab=a, (1)求ap+pb (2)若点 m是直线l上异于p点的任意一点，求证：am mb ap pb.2、已知：a、b两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点m(1) 在l上求作一点m,使得am bm最小；. ba .l(2) 在l上求作一点 m,使得 am bm最大；(3) 在l上求

9、作一点 m,使得am+bmft小。3、如图，ad为/ bac的平分线，del ab于e, df, ac于f,那么点e、f是否关于ad对称？若对称，请说明理由。d4、已知：如图，点 pi,p2分别是p点关于/ abc的两边ba bc的对称点，连接 pr ,分别交ba bc边于e、d点，若p1p2=3(1)求4pde的周长；(2)若m是ba边上异于 e的一点，n是bc边上异于 d的一点，求证： pmn的周长 pde的周长。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。5.如图，菱形abcd43, ab=2 /bad=60 , e是ab的中点，p是对角线 ac上的一个动点， 则pe+pb的最小值是。分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为e