天津一中高三下学期四月考文科数学试题及答案

1、天津一中2013-2014学年高三年级四月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设集合则a等于（ ） a 1,2,5 bl, 2，4, 5 c1，4, 5d1，2，42设动点满足，则的最大值是（ ）a. 50 b. 60 c. 70 d. 1003. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）a3 b4 c5 d64. 下列命题中正确的是( )a.命题“，”的否定是“” b.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件c.若“，则”的否命题为真d.若实数，则满足的概率为. 5. 已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于( )abcd6. 某几何体的三视图如下

2、图所示，它的体积为( ) a. b. c. d. 7. 已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是（ ） ab cd 8. 已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）abc-4，0d二、填空题（每小题5分，共30分）9. 是虚数单位，复数的值是_10. 在锐角中，角、所对的边分别为、，若，且，则的面积为 _11. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则_12. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 _ 13. 如图，abc是o的内接正三角形，弦ef经过bc的中点d，且efab，若ab=2，则de的长是_14. 若实数的最大值是 _ 三、解答题：（

3、15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.16已知函数，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为.（i）求的值； （ii）求函数的单调增区间；（iii）若，求的值.1

4、7. 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作efpb交pb于点f （1）证明pa/平面edb；（2）证明pb平面efd；（3）求二面角cpbd的大小18已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.（）求数列的通项公式；（）若，设，求数列的前n项和.19已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 （）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点 若线段中点的横坐标为，求斜率的值； 若点，求证：为定值20设函数,.()讨论函数的单调性()如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数()如果对任意的

5、,都有成立,求实数的取值范围.四月考答案1设集合则a等于（ ） a 1,2,5 bl, 2，4, 5 c1，4, 5d1，2，4【答案】b【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选b.2设动点满足，则的最大值是（ ）a. 50 b. 60 c. 70 d. 100 【答案】d3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）a3 b4 c5 d6【答案】b4下列命题中正确的是( )a.命题“，”的否定是“” b.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件c.若“，则”的否命题为真d.若实数，则满足的概率为. 【答案】c5. 已知双曲线的两条

6、渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于( )abcd【答案】a【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为,半径，双曲线的渐近线为，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，所以，即，所以，选a.6某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) a. b. c. d. 【答案】c7已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 ab cd 【答案】b8已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）abc-4，0d【答案】b9是虚数单位，复数的值是_【答案】 10在锐角中，角、所对的边分别为、，若，且，则的面积为 【答案】11. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知

7、,则_【答案】 12如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【答案】13如图，abc是o的内接正三角形，弦ef经过bc的中点d，且efab，若ab=2，则de的长是_.【解析】由图知dedf=bdcd=1，同理egfg=1.又dg=ab=1，de(1+fg)=1，fg(1+de)=1，答案:14若实数的最大值是 【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.【解析】=，4，又=，=，=4，即4，即0，=，的最大值为.【答案】15某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1

8、组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第5组的人数为0.1100=10. 3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从

9、第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(2)记第3组的3名志愿者为a1,a2,a3,第4组的2名志愿者为b1,b2,第5组的1名志愿者为c1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(a1,a2), (a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c1),(b1,b2),(b1,c1),(b2,c1),共有15种. 8分其中第4组的2名志愿者b1,b2至少有一名志愿者被抽中的有:(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a

10、3,b2), (b1,b2), (b1,c1), (b2,c1),共有9种, 10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为13分16已知函数，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为.（i）求的值； （ii）求函数的单调增区间；（iii）若，求的值.【答案】17 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作efpb交pb于点f （1）证明pa/平面edb；（2）证明pb平面efd；（3）求二面角cpbd的大小 （1）证明：连结ac，ac交bd于o，连结eo 底面abcd是正方形，点o是ac的中点 在中，eo是中位线，pa / e

11、o 而平面edb且平面edb， 所以，pa / 平面edb（2）证明：pd底面abcd且底面abcd，pd=dc，可知是等腰直角三角形，而de是斜边pc的中线， 同样由pd底面abcd，得pdbc底面abcd是正方形，有dcbc，bc平面pdc而平面pdc， 由和推得平面pbc而平面pbc，又且，所以pb平面efd（3）解：由（2）知，故是二面角cpbd的平面角由（2）知，设正方形abcd的边长为a，则， 在中，在中，所以，二面角cpbd的大小为18已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.（）求数列的通项公式；（）若，设，求数列的前n项和.【答案】解（1）由题意知 1分当时，当时

12、，两式相减得3分整理得： 4分数列是以为首项，2为公比的等比数列.5分，6分 -得 9分 .11分13分19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点 若线段中点的横坐标为，求斜率的值；若点，求证：为定值【答案】解：（）因为满足， ，2分。解得，则椭圆方程为 4分（）（1）将代入中得6分 7分因为中点的横坐标为，所以，解得9分（2）由（1）知，所以 11分12分20设函数,.()讨论函数的单调性()如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数()如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.【解】(), ,函数在上单调递增 ,函数的单调递