第10章-刚体的平面运动

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 第第1010章章 刚体的平面运动刚体的平面运动 几个有意义的问题几个有意义的问题 刚体平面运动分解为平动和转动刚体平面运动分解为平动和转动 速度分析速度分析 瞬时速度中心及其应用瞬时速度中心及其应用 加速度分析加速度分析 运动学综合应用运动学综合应用 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 CHINA UNIVER

2、SITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 运动中刚体内任一点到某一运动中刚体内任一点到某一固定平面固定平面的距的距 离始终保持不变。离始终保持不变。 刚体的平面运动刚体的平面运动: : 10-1 10-1 刚体平面刚体平面运动的概述和运动分解运动的概述和运动分解 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 运动中刚体内任意一点到某一运动中刚体内任意一点到某一固定平面固定平面的距离始终

3、保持不变。的距离始终保持不变。 10-1 10-1 刚体平面刚体平面运动的概述和运动分解运动的概述和运动分解 -刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动 A1A2 平动平动A 刚刚 体体平面图形平面图形 S 任一点始终在某一平面内运动任一点始终在某一平面内运动 A2 A A1 S A B S CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 S x y O 平面图形上的任意线段平面图形上的任意线段 AB 刚体平面运动方程：刚体平面运动方程： )( )(

4、 2 1 tfy tfx A A A B yA xA )( 3 tf CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 绕基点的转动绕基点的转动 A S B S A B x y O S A B B A x y O A B 1 B A A 2 21 刚体平面运动刚体平面运动 跟随基点平动跟随基点平动 平面图形绕基点转动的角速度平面图形绕基点转动的角速度、角加速度、角加速度是即平面图形是即平面图形 的绝对角速度的绝对角速度、角加速度、角加速度。 基点基点 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第

5、十章 刚体的平面运动 10-210-2 求求平面图形内各点速度的基点法平面图形内各点速度的基点法 A x y O A v 平面图形的角速度平面图形的角速度 B 基点基点A A点速度点速度 A v 随基点随基点A平动平动 绕基点绕基点A转动转动 平面图形的运动分解为：平面图形的运动分解为： 随基点随基点A平动的速度平动的速度 随图形绕基点随图形绕基点A转动的速度转动的速度 B v A v AB v A v AB v ABA vv B v 平面图形上任意点的速度，等于基点平面图形上任意点的速度，等于基点 的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢 量和。量和。 1 1

6、 基点法基点法 R CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 A B 已知：已知： AB=l=200mm; vA=200mm/s 求：（求：（1）杆端）杆端 B 的速度的速度 （2）AB 杆角速度杆角速度 AB B v 30 解：取解：取 A 点为基点点为基点 研究研究B点的速度点的速度 30cot AB vv 2rad/s AB v AB AB s/mm40030sin/ AAB vv s /mm3200 o 30 A v AB v B v A v ABAB vvv CHINA UNIVERSITY OF MINING AND

7、 TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 y x A B 已知：已知： AB=l=200mm; vA=200mm/s 求：（求：（1）杆端）杆端 B 的速度的速度 （2）AB 杆角速度杆角速度 AB B v 解：解： 研究研究B点的速度点的速度 牵连运动：牵连运动：平动平动 Ae vv 绝对运动：绝对运动：直线运动（速度竖直方向直线运动（速度竖直方向） 相对运动：相对运动：圆周运动（半径：圆周运动（半径：AB） 30cot ea vv 2rad/s r r AB v AB s/mm40030sin/ er vv s/mm3200 e v a v r v A v rea vvv CHINA

8、 UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 A x y O A v B A v AB v B v R ? ABAB vvv 思考：思考： CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 A x y O A v B A v AB v B v R ABAB vvv 2 2 速度投影定理速度投影定理 将上式向将上式向 AB轴投影轴投影 : : coscos AB vv 速度投影定理：速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。的

9、投影相等。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 30 A B 解：由速度投影定理解：由速度投影定理 30cos60cos AB vv s/mm320030cot AB vv 已知：已知： AB=l=200mm，vA=200mm/s 求：（求：（1）杆端）杆端 B 的速度的速度 vB （2）AB 杆角速度杆角速度 AB B v A v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 已知：曲柄滑块机构中，曲柄已知：曲柄滑块机构中，曲柄 OAr， 以等角速度以等角速度

10、 O 绕绕O轴转动，连杆轴转动，连杆ABl。在图示情形下连。在图示情形下连 杆与曲柄垂直。杆与曲柄垂直。 求求: 1、滑块的速度、滑块的速度 vB； 2、连杆、连杆AB的角速度的角速度 AB 。 B A O O O CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 B A O O O AB 0 0 0 coscos rv v A B 0 0 tan l r l vAB AB 解：取解：取 A 点为基点点为基点,研究研究 B 点点 ABAB vvv 0 rvA 00 tantanrvv AAB AB v B v A v A v CHINA

11、 UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 B A O 0 O 0 0 0 coscos rv v A B 解：取由速度投影定理解：取由速度投影定理 0coscos A0 vvB 0 rvA B v A v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 已知：已知： OA= OO1 = r，BC=2r，OAB=45 求：连此瞬时求：连此瞬时C点的速度点的速度 vC 。 O1O O B C A 解：解：(1) 机构的运动分析机构的运动分析 ABC (2) 取取 A 为基点，研究为基

12、点，研究 B 点点 ABAB vvv 0 2 2 45cosrvvv AABB 0 rvA 0 2 1 AB vAB ABC AB v B v A v A v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1O O B C A (3) 再取再取 B 为基点，研究为基点，研究 C 点点 BCBC vvv 0 rBCv ABCBC 0 2 2 rvB 0 22 2 10 45cos2 r vvvvv BCBBCBC ABC B v BC v A v B v C v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECH

13、NOLOGY 第十章 刚体的平面运动 过过A点作点作 的垂直线的垂直线 AN，AN上各上各 点的速度由两部分组成：点的速度由两部分组成： 跟随基点跟随基点A平移的速度各点相同；平移的速度各点相同； 随图形绕随图形绕A点转动的速度自点转动的速度自A点起点起 线性分布。线性分布。 A N 因此因此 C 点的绝对速度点的绝对速度 vC0。 C 点称为瞬时速度中心，简称为点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心速度瞬心。 A v AC令令0ACvv AC C 3.3.速度瞬心法速度瞬心法 A v A v A v AC v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第

14、十章 刚体的平面运动 A N C A v A v AC v 速度瞬心的特点速度瞬心的特点: : 1 1、瞬时性瞬时性不同的瞬时，有不同不同的瞬时，有不同 的速度瞬心；的速度瞬心； 2 2、唯一性唯一性某一瞬时只有一个速某一瞬时只有一个速 度瞬心；度瞬心； 3 3、瞬时转动特性瞬时转动特性平面图形在平面图形在 某一瞬时的运动都可以视为绕这某一瞬时的运动都可以视为绕这 一瞬时的速度瞬心作瞬时转动一瞬时的速度瞬心作瞬时转动. . CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 S 几种特殊情形下几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定瞬时速度中

15、心位置的确定 A B 90o 90o C 已知平面图形上两点的速已知平面图形上两点的速 度矢量的方向，这两点的速度矢量的方向，这两点的速 度矢量方向互不平行。度矢量方向互不平行。 第一种情形第一种情形 O 已知平面图形沿一固定表面已知平面图形沿一固定表面 作无滑动的滚动，则图形与固作无滑动的滚动，则图形与固 定面的接触点就是其速度瞬心。定面的接触点就是其速度瞬心。 C 第二种情形第二种情形 A v B v v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 S A B 已知平面图形上两点的速已知平面图形上两点的速 度矢量的大小与方向，

16、而且度矢量的大小与方向，而且 二矢量互相平行，并且都垂二矢量互相平行，并且都垂 直于两点的连线。直于两点的连线。 90o 90o S A B 已知平面图形上两点的速度已知平面图形上两点的速度 矢量的大小与方向，而且二矢矢量的大小与方向，而且二矢 量互相平行、方向相反，但二量互相平行、方向相反，但二 者都垂直于两点的连线。者都垂直于两点的连线。 90o 90o C C 第三种情形第三种情形 A v B v A v B v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二已知平面图形上两点的

17、速度矢量的大小与方向，而且二 矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。 或两者大小相等且垂直于二点的连线。或两者大小相等且垂直于二点的连线。 S A B 90o 90o S A B 90o 90o 0 瞬时平动瞬时平动 该瞬时，图形上各点的速度分布如同图形作平动的情形该瞬时，图形上各点的速度分布如同图形作平动的情形 一样。一样。 但加速度不同。但加速度不同。 第四种情形第四种情形 A v B v A v B v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 30 A B

18、已知：已知： AB=l=200mm，vA=200mm/s 求：（求：（1）杆端）杆端 B 的速度的速度 vB （2）AB 杆角速度杆角速度 AB B v A v C 解：由其速度分布可知解：由其速度分布可知 其瞬心为其瞬心为C点点 s/mm3200BCv ABB 2rad/s AC vA AB AB CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 OD C B A 已知：半径为已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚的圆轮在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为动。轮心速度为v0 。 求：轮缘上求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。四点的速度。

19、 由由vO R 得到得到 R v0 解：解：假设这一瞬时的角速度为假设这一瞬时的角速度为 。 00 22vvvv DC , 0 2,0vvv BA 0 v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 已知：曲柄滑块机构中，曲柄已知：曲柄滑块机构中，曲柄 OAr， 以等角速度以等角速度 O 绕绕O轴转动，连杆轴转动，连杆ABl。在图示情形下连。在图示情形下连 杆与曲柄垂直。杆与曲柄垂直。 求求: 1、滑块的速度、滑块的速度 v

20、B； 2、连杆、连杆AB的角速度的角速度 AB 。 B A O O O CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 B A O O O B v A v 解：由其速度分布可知其瞬心为解：由其速度分布可知其瞬心为C点点 C AB 0 0 0 0 tan cot l r l r CA vA AB 4 tan 1 0 2 0 rCMv ABM 0 0 cos r BCv ABB M v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 已知：已知： OA= OO1 = r，BC=2

21、r，OAB=45 求：连此瞬时求：连此瞬时C点的速度点的速度 vC 。 O1O O B C A 解：解：(1) 机构的运动分析机构的运动分析 ABC (2) 取取 A 为基点，研究为基点，研究 B 点点 ABAB vvv 0 2 2 45cosrvvv AABB 0 rvA 0 2 1 AB vAB ABC AB v B v A v A v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1O 0 B C A ABC 解：由其速度分布可知解：由其速度分布可知 ABC 的瞬心为的瞬心为O1点点 22 00 1 r r AO vA AB

22、C 01 2 10 rCOv ABCC 01 2 2 rBOv ABCB 2 0 1 1 BO vB BO B v A v C v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1O O B C A (3) 再取再取 B 为基点，研究为基点，研究 C 点点 BCBC vvv 0 rBCv ABCBC 0 2 2 rvB 0 22 2 10 45cos2 r vvvvv BCBBCBC ABC B v BC v A v B v C v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的

23、平面运动 O O A B Cr a b R 已知：半径为已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。的圆轮在直线轨道上作纯滚动。 求：圆轮的角速度。求：圆轮的角速度。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O O A B Cr a b R E 解：对机构进行运动分析解：对机构进行运动分析 0 rvv BA AB 杆作瞬时平动杆作瞬时平动 由速度投影定理得由速度投影定理得 cossin CB vv tantan 0 rvv BC 圆轮瞬心在圆轮瞬心在E点点 tan 0 R r R vC C C B v A v C v CHINA

24、 UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 10-310-3 基点法求基点法求平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 S A B t AB a n AB a 平面图形上任意一点的加速度等于平面图形上任意一点的加速度等于 基点的加速度与该点随图形绕基点转基点的加速度与该点随图形绕基点转 动切向加速度和法向加速度的矢量和。动切向加速度和法向加速度的矢量和。 n AB t ABAB aaaa ABa t AB 2 ABa n AB A a A a CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚

25、体的平面运动 O R C 已知：半径为已知：半径为R的圆轮在的圆轮在 直线轨道上作纯滚动。直线轨道上作纯滚动。 求：圆轮瞬心点的加速度。求：圆轮瞬心点的加速度。 解：圆轮瞬心在解：圆轮瞬心在C点点 R vO R a R v tt OO )( d d d d O R C n CO a t OC a 取圆心取圆心O为基点为基点 n OC t OCOC aaaa O t OC O n OC aRa R v Ra 2 2 R v aa O n COC 2 O v O v O a O a O a CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动

26、R B 45 A C AB 已知：半径为已知：半径为R的圆轮在直线的圆轮在直线 轨道上作纯滚动。轨道上作纯滚动。AB=l 求：（求：（1）B端的速度和加速度端的速度和加速度 （2）AB杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。 解：由速度分布可知解：由速度分布可知 AB 杆瞬心在杆瞬心在C点点 l v l v CA v AAA AB 2 45sin AABB vCBv A a A v B v CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 R B 45 A AB A a (2) 取取A点为基点，进行加速度分析点为基点，进行加速度分析

27、 n AB t ABAB aaaa l v la A AB n AB 2 2 2 在在 Bx、 By 轴投影得轴投影得 45sin45sin 45cos45cos A t ABB n ABAB aaa aaa 2 2 2 2 , 22 AA t AB AAB v l aa v l aa 2 2 22 AA t AB AB v l a ll a A B A a n AB a t AB a B a y x CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O O A B Cr a b R 已知：半径为已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动

28、。的圆轮在直线轨道上作纯滚动。 求：圆轮的角加速度。求：圆轮的角加速度。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O O A B Cr a b R 解解：（：（1）取取A点为基点点为基点 研究研究B点的加速度点的加速度 t ABAB aaa 2 0 raA cot cot 2 0 r aa AB A a B a A a t AB a CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O O A B Cr a b R A a B a （2）取）取B点为基点点为基点 t B

29、C n BCBC aaaa 2 2 0 2 2 cosb r BCa CB n BC 在在 CB 轴投影得轴投影得: n BCBC aaasincos R aC C 3 2 0 2 2 0 costan tan b r raC C C a B a t BC a n BC a CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 A oO1 O B o 求：求：B 点的速度和加速度点的速度和加速度. 已知：已知：OA=r，AB=2r，O1B =2 r3 0 ， 0 = 2 0 3 AB A v B v 解解：对机构进行运动分析，对机构进行运动

30、分析， AB 杆的瞬心为杆的瞬心为O点点. 0 OA vA AB 0 3rOBv ABB CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 A oO1 O B o AB A v B v (2) 对机构进行加速度分析对机构进行加速度分析 取取A点为基点点为基点, 研究点研究点B. n AB t AB t A n A t B n B aaaaaa 2 00 2 0 3 , rra ra t A n A 2 0 2 2rABa AB n AB 2 0 1 2 2 3 r BO v a B n B 在在 BA 轴投影得轴投影得: n AB n

31、A t A n B t B aaaaa 60cos30cos30cos60cos 2 0 2 15 ra t B n A a t A a n B a t B a n AB a t AB a B CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 10-4 运动学综合运用运动学综合运用 对于工程中复杂的机构运动，首先要分清各物体对于工程中复杂的机构运动，首先要分清各物体 的运动形式，计算有关联接点的速度和加速度。的运动形式，计算有关联接点的速度和加速度。 对于有关运动量的计算有两种分析方法，对于有关运动量的计算有两种分析方法，全过全过 程分

32、析法程分析法和和瞬时分析法。瞬时分析法。 复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合 成运动问题，应注意分别分析、综合应用相关理论。成运动问题，应注意分别分析、综合应用相关理论。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 求：求：（1）O2C 的角速度、加角速度的角速度、加角速度 （2）OD 的角速度、加角速度的角速度、加角速度 O1 O O2 A B C D o O1B= OB=OA=AB=AC=BC=O2C CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOG

33、Y 第十章 刚体的平面运动 O1 O O2 A B C D o 解解:(1)对机构进行运动分析对机构进行运动分析 0 3 32 BE vB 0 3 3 2 a a vv AC 0 2 3 3 2 CO vC CO CO2 0 avB A v B v C v E CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1 O O2 A B C D o CO2 (2)取三角板的取三角板的A点为动点点为动点, OD 杆为动系杆为动系 0 2 1 30cosavv AAr 0 6 3 30sinavv AAe 0 6 3 OA vAe OD rea

34、AAA vvv rA v eA v OD A v B v C v E CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1 O O2 A B C D o CO2 E n C a t C a n BC a t BC a (3)取取B点为基点，研究点为基点，研究C点点 t BC n BCB t C n C aaaaa 2 0 aaB 2 0 2 3 1 2 aaa CO n C 2 0 2 3 4 aaa n BC 2 0 )31 (aa t C 在在 BC 轴投影得轴投影得: n BCB n C t C aaaa 30cos60cos3

35、0cos 2 0 2 )31 ( 2 CO a t C CO B a B a CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1 O O2 A B C D o CO2 E n C a t C a n BC a t BC a (3)取取B点为基点，研究点为基点，研究C点点 t BC n BCB t C n C aaaaa 2 0 aaB 2 0 2 3 1 2 aaa CO n C 2 0 2 3 4 aaa n BC B a B a 2 0 3 32 aa t BC 在在 CO2 轴投影得轴投影得 60cos30cos n BC t

36、 BC n C aaa 2 0 3 32 BC a t BC CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1 O O2 A B C D o B a （4）取）取B点为基点，研究点为基点，研究A点点 t BA n BABA aaaa 2 0 aaB 2 0 3 32 aaaa t BA 2 0 2 3 4 aaa n BA (5) 取取 A 为动点，为动点，OD 动系动系 Cree aaaaa tn A 2 0 2 e 12 1 aaa OD n 2 0r 6 3 90sin2ava AODC Cree aaaaaaa tnt BA n BAB n BA a t BA a n ae t a e OD B a C a r a CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 第十章 刚体的平面运动 O1 O O2 A B C D o B a Cree aaaaaaa tnt BA n BAB n BA a t BA a n ae t a e OD B a C a r a x C tt AB n ABB aaaaa e 60cos30cos60cos 在在 Ax 轴投影得轴投影得: 2 0e