【数学】3.2《立体几何中的向量方法(一)课件(新人教B选修2-1)》[教学内容]

1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法（一）立体几何中的向量方法（一） 1优学课堂 设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b，平面，平面， 的法向量分别为的法向量分别为u,v,则则 线线平行：线线平行：lm a b a=kb; 线面平行：线面平行：l au au=0; 面面平行：面面平行： u v u=kv. 线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0; 面面垂直：面面垂直： u v uv=0. 线面垂直：线面垂直：l a u a=ku; 2优学课堂 二、讲授新课二、讲授新课 1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图

2、形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。 （化为向量问题）（化为向量问题） （进行向量运算）（进行向量运算） （回到图形问题）（回到图形问题）3 优学课堂 例例1：如图如图1：一个结晶体

3、的形状为四棱柱，其中，：一个结晶体的形状为四棱柱，其中， 以顶点以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹 角都是角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角，那么以这个顶点为端点的晶体的对角 线的长与棱长有什么关系？线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图图1 解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB， 1 1 60 11 DAABAA 化为向量问题化为向量问题 依据向量的加法法则，依据向量的加法法则， 11 AAADABAC 进行向量运算进行向量运算 2 1 2 1 )(AAADABAC 4优学课堂 )( 2 11

4、 2 1 22 AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以 6| 1 AC 回到图形问题回到图形问题 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。 1 AC 6 思考：思考： （1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长的长与棱长 有什么关系？有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 11 BBBCBABD 60 120 11 BCBABBABC，其其中中 分析分析: 5优学课堂 思考：思考： （2 2）如果一个四棱柱的各条棱）如果一个四棱柱的各条棱 长都相等，并且以某一顶点为端长都相等

5、，并且以某一顶点为端 点的各棱间的夹角都等于点的各棱间的夹角都等于 , , 那那 么有这个四棱柱的对角线的长可么有这个四棱柱的对角线的长可 以确定棱长吗以确定棱长吗? ? A1 B1 C1 D1 A B C D 分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设 11 AAADABAC 则由则由 )( 2 11 2 1 222 1 AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即 ax cos63 1 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 6优学课堂 （3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距）本题的晶体中相

6、对的两个平面之间的距 离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，离是多少？（提示：求两个平行平面的距离， 通常归结为求两点间的距离）通常归结为求两点间的距离） A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：分析：面面距离面面距离 回归图形回归图形 点面距离点面距离 向量的模向量的模 . 11 HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解：解： . 1 的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA 111 AAADABBADADAABA 且且由由 . 上上在在 ACH 7优学课堂 3 360cos211)( 2 2 ACBCABAC 1111 () cos60cos601. A

7、A ACAAABBCAA ABAA BC 3 1 | cos 1 1 1 ACAA ACAA ACA 3 6 sin 1 ACA 3 6 sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是 。 3 6 A1 B1 C1 D1 A B C D H 8优学课堂 练习练习: : 如图如图2 2，空间四边形，空间四边形OABCOABC各边以及各边以及ACAC，BOBO 的长都是的长都是1 1，点，点D D，E E分别是边分别是边OAOA，BCBC的中点，的中点， 连结连结DEDE，计算，计算DEDE的长。的长。 O A B C D E 图图2 9优学课堂 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底

8、面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水处，乙站在水 坝斜面上的点坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）（库底与水坝的交线） 的距离的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。 求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 l a bc d 解：解：如图，如图， . dABcCDbBDaAC ， 化为向量问题化为向量问题 根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算 2 2 2 )(DBCDACABd )(2 222 DBCDDBAC

9、CDACBDCDAB A B C D 图图3 10优学课堂 DBACbca 2 222 DBCAbca 2 222 于是，得于是，得2222 2dcbaDBCA CADB 因此因此 .cos2 2222 dcbaab 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的就是库底与水坝所成的 二面角。二面角。 所以所以 . 2 cos 2222 ab dcba 回到图形问题回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为. 2 2222 ab dcba 11优学课堂 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水处，乙

10、站在水 坝斜面上的点坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）（库底与水坝的交线） 的距离的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。 求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 l ab c d 思考：思考： （1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以可以 测出，而测出，而AB未知，其他条件不变，未知，其他条件不变， 可以计算出可以计算出AB的长吗？的长吗？ A B C D 图图3 2 2 )( DBCDACAB 由由 )(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAB 分

11、析：分析： cos2 222 abbca 可算出可算出 AB 的长。的长。 12优学课堂 （2）如果已知一个四棱柱的各棱）如果已知一个四棱柱的各棱 长和一条对角线的长，并且以同一顶点长和一条对角线的长，并且以同一顶点 为端点的各棱间的夹角都相等，那么可为端点的各棱间的夹角都相等，那么可 以确定各棱之间夹角的余弦值吗？以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：分析：如图，设以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线 长为长为 ，三条棱长分别为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。 A1 B1 C1 D1 A B C D A d， cba 2 1 2 1 2 )( CCACABCAd

12、则则 cos)(2 222 acbcabbca )(2 cos 2222 acbcab cbad 13优学课堂 （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ， 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那，那 么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？ a A1B1 C1 D1 A B C D 分析：分析： 二面角二面角 平面角平面角 向量的夹角向量的夹角回归图形 回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面 AB1 内过内过 A1 作作 A1EAB 于点于点 E， EF 在平面

13、在平面 AC 内作内作 CFAB 于于 F。 cos sin 1 aBFAEaCFEA ，则则 14优学课堂 CFEAFCEA cos coscos 11 ， | 1 1 CFEA CFEA 22 1 sin )()( a BFCBAEAA 22 22222 sin cos)cos(cos)cos(coscos a aaaa cos1 cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 15优学课堂 练习：练习： （1 1）如图）如图4 4，6060的二面角的二面角 的棱上有的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD 分别在这个二面角的两

14、个半平面分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC 6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长。的长。 B 图图4 A C D 16优学课堂 （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长中，底面是边长 为为2的正三角形，的正三角形，A1AB45，A1AC 60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 A B C A1 B1 C1 图图5 17优学课堂 小结：小结： 用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 面面距离面面距离 回归图形回归图形点面距离点面距离 向量的模向量的模 二面角二面角