常微分方程练习题

1、习题一、单项选择题.31.微分万程y y 2cos y的阶数是2.3.a. 1b. 2c. 3d. 5克莱罗方程的一般形式是（a. y xy (y)c. y xy (x)卜列方程中为全微分方程的是（b. xd. xb.xyxyxdy(y)(y)ydxc. xdy ydx 02 ,2 , 八d. x dy y dx 04.用待定系数法求方程 y 2y2 x*.x e的特解y时，下列特解的设法正确的是（*,2,、 xa. y (ax bx c)e一*,2 .、 xb. yx(axbx c)e-*2 , 、 xc. y x (ax b)e*2 ,2,、 xd. y x (ax bx c)e5.lip

2、schitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.b.必要条件d.既不充分也不必要条件a.充分条件c.充要条件 二、填空题1.方程xtany的所有常数解是32x x2 .函数y 一 一 c满足的一阶方程是. 52x 2xx xx x 2x则此3 .设y xe e ,y2 xe e , y3 xe e e为某一常系数二阶非齐次万程的三个解, 方程为.4 .方程y ,1 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5.系统dx dt dy dtx的零解的是y稳定的.三、求下列一阶微分方程的通解.1. dy y 4x2y2 1 0 dx xc dy2/、2. y y (cos x sin x) dx

3、3. (x 2y)dx xdy 0.四、求下列高阶方程的通解11. y y cosx112.试用观祭法求万程(1 lnx)y -y y 0的通解.xxx y 5z五、求解微分方程组y 5x 3y的通解.z x 3zdx六、判定系统 dtdydt33x y的零解稳定性333x y七、证明题1.设f (x)在0,)上连续，且lim f (x) 0,求证：方程dy y f(x)的任意解yxdx有 lim y(x) 0.x2.假设m不是矩阵.dxta的特征值，试证非齐线，方程组 ax cemt,有一解形如: dt(t)y(x)均mtpe .其中c,p是常数向量习题二、单项选择题1 .微分方程 曳y2

4、x2的阶数是().dxa. 1 b. 2c. 3 d. 42 .克莱罗方程的一般形式是().a. y xy (y)b. x xy (y)c. y xy (x)d. x xy (y)3. lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的()条件.a.充分条件c.充要条件4 . n阶齐次线性常微分方程的任意na.可组成方程的一个基本解组c.朗斯基行列式不为 05 .用待定系数法求方程y 2y yb.必要条件d.既不充分也不必要条件1个解必定().b.线性相关d.线性无关x*xe的特解y时，下列特解的设法正确的是*，2,、 xa. y (ax bx c)e*,2 .、 xb. yx(axbx c)e

5、c. y2 ,. 、 xx (ax b)e*d. y22xx (ax bx c)e二、填空题.1 .当n时时，微分方程y p(x)y q(x)yn为伯努利方程.2 .在方程x p(t)x q(t)x 0中，当系数满足 条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3 .若y=yi(x) , y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示 为4 .方程yji y2满足解的存在唯一5 .设 x0 i , yi(x), ,yn(x)是区间 线性相关的 条件是向量组 yi(xo), 三、求下列一阶微分方程的通解 .x y1. xy y (x y) inxdy22. y y (c

6、os x sin x) dx3. (y e x ey )dx (1 ey)dy 四、求下列高阶方程的通解.21. y xy y 0912. y y cosxdx5y 4x五、求解微分方程组dt的通dy4y 5x dti上线性齐次微分方程的n个解，则y(x),yn(x)在区间i上,yn(xo)线性相关.dx六、判定系统 dtdydt3. 3x y的零解稳定性333x y七、证明题.1 .设f (x, y)及-连续,试证方程dy f (x, y)dx 0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积， y分因子.2 .设在方程 d4 p(x) q(x)y 0中，p(x)在区间i上连续且恒不为零， 试证它

7、的任意两个线 dxdx性无关解的朗斯基行列式是在区间i上严格单调函数.习题三一、单项选择题.1 .微分方程y x xsin y的阶数是().a. 1 b. 2c. 3 d. 52 .下列方程中为全微分方程的是().xdy ydxxdy ydx.0b. 220x yxy,c2 ,2,cc. xdy ydx 0d. x dy y dx 03 .微分方程y p(x)y q(x)yn,当n 1时为().a. 一阶线性齐次微分方程b. 一阶线性非齐次微分方程c.伯努利方程d.里卡蒂方程4 . lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的()条件.a.充分条件b.必要条件c.充要条件d.既不充分也不必

8、要条件2x*5.用待定系数法求方程y 2y y (x2 2x)ex的特解y时，下列特解的设法正确的是()*,2.、 x*,2.、 xa. y (ax bx c)eb. y x(ax bx c)e*2,.、x*2,2.、xc. y x (ax b)ed. y x (ax bx c)e、填空题.1 .函数x ci cost c2sint (其中gc2为任意常数)满足的一阶方程是 .2 .方程tan ydx cotxdy 0所有常数解是 .x 2 xx xx x 2x3 .设y xe e , y2 xe e必 xe e e为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则 此方程为.4 .方程y 小 y2满足解

9、的存在唯一性定理条件的区域是 .5 .与初值问题x 2x 7tx e t,x(1) 7,x (1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.221. (x2 1)y 2xy2 0c dy2/2. y y (cosx sin x) dx3. (x 4y)y 2x 3y 5四、求下列高阶方程的通解 . 2一-一1. t x2tx 2x 02. x x 2x 0xy 5z五、求解微分方程组y 5x 3y的通解.zx 3zdx六、判定系统 dtdydt3x33y的零解稳定性.3y七、证明题.1 .设 f(x)在0,)上连续，且lim f (x) 0,求证：方程dy y f(x)的任

10、意解y y(x)均 xdx有 lim y(x) 0.x2 .证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数. 习题四、单项选择题1.微分方程yxy2 .x的通解中含有任意常数的个数为(a. 1b. 2c. 3d. 42.当n 1时,微分方程y p(x)yn 一q(x)y最确切的名称为(a. 一阶线性齐次微分方程b.伯努利方程c. 一阶线性非齐次微分方程d.里卡蒂方程3 . lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的()条件.a.充分条件b.必要条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件4 .在整个数轴上线性无关的一组函数为(a. x, x 1, x 1b.

11、 0,2x, x ,x 2x 2c. e , e2 xd. e5.用待定系数法求方程 y 2yx2ex的特解时，下列特解的设法正确的是(*,2a. y (axxbx c)e*b. y,2,、 xx(ax bx c)e*2 /c. y x (axb)ex*d. yx2(ax2 bx c)ex二、填空题.1.方程 tan yd xcot xd y 0所有常数解是2.若 yy(x),y y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示3 .方程y ky2满足解的存在唯一性定理条件的区域是4 .已知cost和sint是二阶齐次线性方程 x a(t)x b(t)x 0的两个解，则a(t) .5 .如果常系数线性方程组xax的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t 时收敛三、求下列一阶微分方程的通解dy y . y1. tan 一dx x x9 dyyx22.dx2x 2y3