计算机工程应用复习题

1、计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 在实际工程问题中，我们进行了大量的试验，从中得 到了一个关于某个现象出现规律的描述方程，或者说借鉴 了前人或其它人的研究成果，即 ，其中： 来描述某个现象的规律，并从这种规律中找出影响因素的 最大值或最小值。从数学上讲，求出某函数的最大或最小 值，就要对某个函数进行一次微分，即： 这时方程就变了： 要想求解出x，就得求解这个方程 。 123 ( )f xabxcxdx ( )yf x 2 ( )230fxbcxdx 2 230bcxdx n第一章代数方程的计算机方法第一章代数方程的计算机方法 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 其具体方法是：对于

2、一般方程 首先将其变形为： 称为迭代函数。 ( )0f x 1 () nn xx ( )xx 其迭代过程中的计算公式就可以用下式表达：其迭代过程中的计算公式就可以用下式表达： 反复进行迭代，直到：反复进行迭代，直到： 1 | nn xx 1 1、迭代法、迭代法 几何意义？几何意义？ 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 定理定理1 设设（x）在）在a,b上具有连续的一阶导数，且上具有连续的一阶导数，且 （1）对任意）对任意xa,b，总有，总有（x） a,b （2）存在）存在0L1，使对任意，使对任意xa,b成立成立 (x*)L 计算机工程应用复习题

3、计算机工程应用复习题 基本思想是：为了把根夹住，先找到两个异号的值在基本思想是：为了把根夹住，先找到两个异号的值在 两个异号的值之间选取方程两个异号的值之间选取方程f(x)=0f(x)=0根的一个估计值根的一个估计值x x0 0 ， 然后将然后将f(x)=0f(x)=0在在x x0 0处进行泰勒展开：处进行泰勒展开： f(xf(x 1 1)=f(x )=f(x 0 0)+f(x )+f(x 0 0)(x )(x 1 1-x -x 0 0)+1/2f”(x )+1/2f”(x 0 0)(x )(x 1 1- - x x0 0) )2 2+=0+=0 因为因为x x0 0是在是在f(xf(x0 0

4、) )的根值附近，所以，令：的根值附近，所以，令：h=h=x x1 1- -x x0 0是一是一 个很小值则个很小值则h h2 2更是一个极小值，所以将泰勒展开式的更是一个极小值，所以将泰勒展开式的 右边的第三项以后的项都有忽略（作为误差来处理）右边的第三项以后的项都有忽略（作为误差来处理） 2 2、牛顿法、牛顿法 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 0)()()( 00 0 xxxfxfxf 也即： 0)()( 00 0 xxxfxf 移项得： )( )( 0 0 0 xf xf xx 得到：得到： 1 () () n nn n f x xx fx 这里这里x xn+1 n+1是在 是

5、在x x= =x xn n 处曲线的切线处曲线的切线 与与x x轴的交点。轴的交点。 n这种方法的缺点是：这种方法的缺点是： n 1、在迭代过程中，一但曲线的斜、在迭代过程中，一但曲线的斜 率率f (x)=0，就无法迭代下去了。，就无法迭代下去了。 n 2、还可以证明当、还可以证明当f(x)趋于无穷大趋于无穷大 时，牛顿法也将失效。时，牛顿法也将失效。 会用牛顿法解方程会用牛顿法解方程 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 牛顿法的优点就是收敛速度快。但是其明显的缺点就是先牛顿法的优点就是收敛速度快。但是其明显的缺点就是先 要求出要求出f(x)的值来，如果求导不容易，这时牛顿法就变得不方的

6、值来，如果求导不容易，这时牛顿法就变得不方 便了。遇到就种情况时，我们就采用：便了。遇到就种情况时，我们就采用： （14） 来代替导数来代替导数f (xn)，这时相应的公式就变成了：，这时相应的公式就变成了： （15） 1 () () n nn n f x xx s x 1 1 ()() () nn n nn f xf x s x xx 3 3、弦割法弦割法 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题8 1 () () n nn n f x xx s x 1 1 ()() () nn n nn f xf x s x xx 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 求解的过程是：首先按求解的过程是

7、：首先按x的等距离间隔求出它的函数值的等距离间隔求出它的函数值 f(x),直到相邻的两个函数值直到相邻的两个函数值f(xn)和和f(xn+1)具有相反的符具有相反的符 号为止。号为止。 即：即： f(xn)f(xn+1)0 因为对于连续的函数而言，这种函数值的不同就指明因为对于连续的函数而言，这种函数值的不同就指明 了根值的存在。这时用下列式子求出了根值的存在。这时用下列式子求出xn和和xn+1的中间值的中间值 xmid 然后，再求出点然后，再求出点xmid的函数值的函数值f(xmid)，若，若f(xmid)与与f(xn)同同 号就以号就以f(xmid)代替代替f(xn)，否则就以，否则就以f

8、(xmid)代替代替f(xn+1)。 1 2 nn mid xx x 4 4 、二元搜索法、二元搜索法 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题10 n首先按首先按x的等距离间隔求出它的函数值的等距离间隔求出它的函数值f(x),直直 到相邻的两个函数值到相邻的两个函数值f(xn)和和f(xn+1)具有相反的具有相反的 符号为止。符号为止。 n即：即： f(xn)f(xn+1)k i=2n，j=1n+1 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 给个简单方程组会求解给个简单方程组会求解 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 n使用高斯消元法注意事项：使用高斯消元法注意事项： n主元素等于零，

9、这时主行就不能正规化。不过主元素等于零，这时主行就不能正规化。不过 由于改变方程式组中的方程式次序并不影响它由于改变方程式组中的方程式次序并不影响它 们的解。可以变更方程式的次序来绕过主元为们的解。可以变更方程式的次序来绕过主元为 零的情况。零的情况。 n根据经验，主元素的值愈大，总的计算精度就根据经验，主元素的值愈大，总的计算精度就 愈高。因此，有零主元或较小的主元的行，应愈高。因此，有零主元或较小的主元的行，应 当与有最大元素的行对换。当与有最大元素的行对换。 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 2 2 、高斯约当法高斯约当法 将方程化为对角形将方程化为对角形 当向上变换时，过程的通

10、式为：当向上变换时，过程的通式为： 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 高斯消元过程中的第高斯消元过程中的第k k步，步， 的意义是：的意义是： 第第k k个方程正规化的系数个方程正规化的系数 其后，方程的新系数为：其后，方程的新系数为： aij=aij- aikbkj 在高斯消元过程中，如果任何主元素等于零，在高斯消元过程中，如果任何主元素等于零， 这时主行就不能正规化。我们可以采取的措施这时主行就不能正规化。我们可以采取的措施 为：为： 由于改变方程式组中的方程式次序并不影响它由于改变方程式组中的方程式次序并不影响它 们的解。所以，我们就可以变更方程式的次序们的解。所以，我们就可以变

11、更方程式的次序 来绕过主元为零的情况。来绕过主元为零的情况。 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 n高斯消元过程中采用的格式化公式为：高斯消元过程中采用的格式化公式为： n回代过程中所用的格式化公式为：回代过程中所用的格式化公式为： ik, i=2.n, j=1.n+1, k=1.n。 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 高斯高斯- -约当法与高斯消元法的区别是：约当法与高斯消元法的区别是： n高斯高斯- -约当法用系统格式化的方法把线性约当法用系统格式化的方法把线性 方程施行对角化。高斯方程施行对角化。高斯- -消元法用系统格消元法用系统格 式化的方法把线性方程施行三角化。式化的

12、方法把线性方程施行三角化。 n从数学上来讲这种方法与前一种方法的从数学上来讲这种方法与前一种方法的 区别仅仅是把条件区别仅仅是把条件i i k k换成换成i ik k。 高斯高斯- -约当法与高斯消元法主要解满矩阵的线性方程组约当法与高斯消元法主要解满矩阵的线性方程组 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 n高斯约当过程中采用的格式化公式为：高斯约当过程中采用的格式化公式为： 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 3 3 、迭代法迭代法 雅可比法雅可比法 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 稀疏形的方程组指的是：稀疏形的方程组指的是： 非零元素个数非零元素个数远远少于矩阵元素个数

13、远远少于矩阵元素个数 若若A A为严格对角占优矩阵，则应该满足：为严格对角占优矩阵，则应该满足： n雅可比法解线性公式为：雅可比法解线性公式为： 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 塞代尔法解线性方程组的应用条件：塞代尔法解线性方程组的应用条件： 要求方程组的系数矩阵为严格对角占要求方程组的系数矩阵为严格对角占 优优。 塞代尔法解线性方程组的迭代方程为：塞代尔法解线性方程组的迭代方程为： n雅可比法解线性公式为：雅可比法解线性公式为： 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 n非线性方程组非线性方程组 若利用牛顿迭代法求解，可转化成如下线性方程组求若利用牛顿迭代法求解，可转化成如下线性

14、方程组求 nnn nnn n n f f f x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 对于截断的泰勒级数对于截断的泰勒级数, ,从考察截断泰勒从考察截断泰勒 级数所引起的误差开始，当级数在包含级数所引起的误差开始，当级数在包含 ( (x-ax-a) )n n项以后被截断时项以后被截断时, ,表达表达f f( (x x) )的上的上 式对式对f f( (x x) )的误差不大于的误差不大于 1 (1) max () ( )| (1)! n n xa

15、fx n (x)=(a)+(a)(xa)+(a)/2!(xa)+ (a)/3!(xa) +(a)/n!(xa)n 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 解解:因为因为ex=e(0)+xe(0)+x2/2!e(0)+x3/3!e(0)+x4/4!e(0)+ 所以所以ex=1+x+x2/2!+x3/3!+x4/4!+ 若若x=0.5,则则 e0.5=1+0.5+0.52/2!+0.53/3!+0.54/4!+ 若截至于若截至于e(0.5)3则则: e0.5=1+0.5+0.52/2! =1.625 用泰勒法将用泰勒法将ex在在x=0附近展开附近展开,求求e0.5及及e(0.5)3 |d3(ex

16、)/dx3|max(0.53/3!)=|ex|max(0.0208333) 这里的这里的max表示在表示在 区间上的最大值。区间上的最大值。 |ex|max=e0.5=1.6487213 所以，误差不大于所以，误差不大于 e(x)3=(1.6487213)*(0.0208333)=0.0343831 00.5x 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 以二阶向后差分为例，说明以下递推公式成立以二阶向后差分为例，说明以下递推公式成立: n j = (n -1 j ) n j = (x 1 j ) j= ( j )= ( j - j 1) = j - j 1 = j - j 1- j 1+ j

17、2= j -2 j 1+ j 2 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 计算机工程应用复习题计算机工程应用复习题 n求解微分方程是一个复杂的过程，须事先附加一些条件，这求解微分方程是一个复杂的过程，须事先附加一些条件，这 就是对自变量的某些值规定出函数和（或）其导数的值就是对自变量的某些值规定出函数和（或）其导数的值 。 n若在自变量为零的点上给出这些条件，这个问题就叫做若在自变量为零的点上给出这些条件，这个问题就叫做 “ ”。相应的条件叫做。相应的条件叫做“ ”。 初值问题初值问题 初始条件初始条件 n 若在自变量不为零的值上做这种限定，这个问题便叫做若在自变量不为零的值上做这种限定，这

18、个问题便叫做 “ ”，相应的限定条件叫做，相应的限定条件叫做“ ”。 边值问题边值问题 边界条件边界条件 欧拉法求解初值问题的思路是：欧拉法求解初值问题的思路是： 根据泰勒级数，按初值条件展开：根据泰勒级数，按初值条件展开： y(xy(x0 0+h)=y(x+h)=y(x0 0)+hy)+hy(x(x0 0)+h)+hy(xy(x0 0)/2+)/2+ 若若h h相当小，相当小，h h及及h h的更高次幂就更小，略去的更高次幂就更小，略去h h的高次项：的高次项： y(xy(x0 0+h)=y(x+h)=y(x0 0)+hy)+hy(x(x0 0) ) 据初始条件可从微分方程中得到据初始条件可从微分方程中得到y y (x(x0 0) )的值，于是在距离初始点的值，于是在距离初始点x x0 0只只 有一步有一步h h处得到了处得到了y(x)y(x)的近似