多元函数积分学复习

1、高等数学下册史习提要张祥芝4高等数学下册复习（2）多元函数积分学本章知识点：交换二重积分的积分次序（）利用极坐标计算二重积分（）先一后二或先二后一计算三重积分（）利用球坐标计算三重积分（）利用格林公式计算曲线积分（）利用高斯公式计算曲面积分（）第一类曲线、第一类曲面积分的计算（） 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（六） 1.二重积分的计算例1.计算0刊dxdy ,其中。为直线,，=工一4和抛物线）j=2x所围成的平面区域. d析1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积 分都能积分出来，且使计算尽量简单.2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是：山所给二次积分，

2、写出。的不等式表示，还原为积分区域。，最好画出。的图形，再 将d按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分.3）极坐标的选取一般根据积分区域和被积函数的情况来决定.如果被积函数的形式为/（i+ y2）及积分区域为圆域时经常用极坐标 有时用直角坐标函数积不出也可采用极坐=90标.解如果将。视为x型域，应先对y积分，则需将。分为两部分，所以将。视为丫一型域，先对x积分.，2八 x y + 4d: 2-2y 4于是jj xydxdy = j： d y 冲 d kd2，打y（y + 4/一岗dyj区+叼+ 2人2八 ）4）.21 43.例2.计算亨dx.yx4y可见。是由0 yl解因f少

3、dx不能用初等函数形式表达出来，故无法计算.通过交换积分次序来改变这 x种状况，所给的二次枳分是将。视为丫-型区域，即。：x = y,x = j7 及 x = 0, x = 1 围成 现将。看作x-型区域，c x2 yx d:i ,0%t=jo-r(x-x)dx于是，=jsinxdx-jxsinxdx = - cos x + acos x 一 j； cos xdx = 1 - sin 1.x2 + y2 4减去小圆例3.求jj(g + y2+y)dxdy ,其中。是由圆解将枳分区域。表为大圆。尸卜其丫).r + y2 =4和+ 丁 =1所围成的平面区域.=cv,y)|cv + l)2 + y2

4、 0 ,求由曲面z = ./ + f + cr与平面z = 2x+d2围成的区域的体积.析计算三重积分的步骤一般为：1 .画出积分区域图；2 .根据被积函数及积分区域的类型确定坐标系（宜角坐标、柱坐标、球坐标）.如果区域 是由上卜两个曲面，侧面是柱面闺成，一般用投影法（也叫先一后二法）计算;如果被积函数只 含有一个变量，且垂直相应坐标轴的截面面积易求的，可以选用截面法（也叫先二后一法）；如 果被积函数含仃两个变量的平方和且相应的投影区域是圆域或圆域的一部分可以选用柱坐 标;如果被积函数是三个变量的平方和,且积分区域是球面或锥面围成,可以选用球坐标.3 .确定积分变量的上下限.4 .计算各层积分

5、.解先求曲面与平面的交线在xoy面的投影，联立222z = x+ az = 2x+a2所以积分区域在坐标面xoy上的投影为. = (y)|(x-i)2 + r0).高等数学下册史习提要张祥芝练2.计算jjjzdxdydz，其中c是由=在一寸一),？与z = +是所围的区域. q练 3.计算 jjj(x2 +)j)dxdydz，其中 c是由 z = jx? +与2=ji-l-y?所 c围.3.第一类曲线与第一类曲面积分例1.计算j(x+ / +)3)ds,其中l是半圆周y =.析此题考察第一类曲线积分的计算方法,其计算步骤如下：1 .画出积分曲线；2 .写出积分曲线的参数方程及参数的变换范围；3

6、 .求出弧微分 ds =(of + (y微)y dt;4 .将曲线积分转化为参数的定积分.5 .在计算过程中注意被积函数是否有奇偶性,积分曲线是否有对称性，以便简化计尊.解方法一利用曲线的参数方程转化为定积分.(x= 2cosz,l j . /w0,r,所以y = 2sinr,(x + x2 + y2)ds = (2cost + 4).(-2sin/)2 + (2cost)2dt=2、(2cos/ + 4辿=8/r.方法二利用对称性/(x+x? +)j)ds = jxds + y2)ds= 0 + 4jds = 8;r .例2.求面密度为1的锥面z =+ y2 (ovzkl)对z轴的转动惯量.

7、解 i. = 0(/ + y2)pds = jj(1+ y2)ds , v曲面 z: z = jx2 + y2 , do : x2 + y2 1, ds = j1+ z： + z： dxdy = v?dxdy1. = jj(x2 + y2) ds = vijj(x2 + y2) dxd y =工7.52练 1.计算 (2.1+3y2)ds,其中l:x2 +),2 =2(戈+)，).练2.计算(q+yz + xz)ds,其中l为球面方2+ y2+22 =i与平面x+)，+z = o 的交线.练 3.计算 j(.d + y)ds ,其中 s :刀2 +)，2 = 2,。 0.练4.计算jjjxyz

8、|ds,其中s：z = / + y2,oz4l4.第二类曲线积分与格林公式例 l 计兑 j(esiny-3y + x2)da + (ecosy7)dy ,其中 / 为由点 a(3,0)经椭圆x = 3cos/的上半弧到点8(-3,0)再沿直线回到a的路径. y = 2 sin/析1)这节的题目类型有:封闭曲线积分直接应用格林公式,积分与路径无关取新路径, 求积分表达式的原函数,两类曲线积分的转化等.2)遇到第二类曲线的积分的题目，首选格林公式.3)当积分曲线不是封闭曲线时,可添加辅助线使成为封闭的.4)若被积函数在曲线所围的区域里有奇点时，不可使用格林公式.这时,一般用曲线的 参数方程转化为定

9、积分计算.有些情况也可做辅助线将奇点包围,然后在多连通区域上使用 格林公式.5)注意检查积分曲线的封闭性，被积函数的解析性,二重积分的正负号，函数尸,。的次序以及其偏导数.解 p = exsiny-3y + x2, q = ex cosy-x,由格林公式原式=j(e sin y- 3y + x2 )dv + (e cos y - ,v)dy=jj(e v cos y-l)-(ev cos y- 3dvdv d=jj 2dvdv = 2上产32 = 6 7例2.计算/ = j(l-2q-/)dx-(x+y)2 d.y,其中l是从原点沿直线y = x到点(1,1) 的一段弧.若(1 一川y2)dx

10、(x+y)2dy是某个函数的全微分，求出一个这样的函数.解 l: y = x,x:0 - 1,/=|(i-zr-r)-(x+x)2dx=(l-lx2)dx=.因为=-2(x+ y),所以存在函数(凡y)使得(l-2x)-y2)d工一(戈+ y)2 d y是其全 dx 6微分.卜面用两种方法求u(x, y).方法一“(x, y)=(1 - 2。- y 2) d x - (x + y)2 d y寸d(x+y)2dy)13=x-x y-xy -y .方法二w(x, y) = j(l-2xy- y2) d x = x-x2 y-y2x+(p(y)=-2- 2xy+(p(y)=-(/+y)2为。(y)=

11、-,2a.v)=t /+ cj故 i/(x, y) = x-x2y- y2x-y3 + c.3练 1.计算 j(ev siny)dv + (ev cosy)dy ,其中/是上半圆周 / + y? = 2x (y 0)和x轴围成平面区域边界的正向.练2.计算曲线积分，(xsin2y - y)dx+，cos2y - l)dy其中l为圆/ + y? = r)上从点4尺0)经第一象限到点b(0, r).练3.计算当二等，其中/为正向曲线卜| +卜| = 1.练4.计算 j (3q+sin.y)dx+(x2 -ye)dy,其中 l为曲线y = .f -2t上从点 4(0,0)到点6(4,8)的曲线段.练

12、5.(x+y)dx_(x_y)dy l x2 + y2，其中l是从点4(7,一)沿曲线= cosx到点8(_4一；r)的曲线段.5.第二类曲面积分及高斯公式例1.计算j#+x)dydz-zdxdy ,其中工是抛物面z = 9(%2+)介于平面 2z = 0和z = 2之间部分的下侧.析1)遇到第二类曲面的枳分的题目，苜选高斯公式.2)当积分曲面不是封闭曲面时，可添加辅助面使成为封闭的.3)若被积函数在曲面所围的区域里有奇点时,不可使用高斯公式.这时,一般用投影 有些情况也可做辅助面将奇点包围然后在多连通区域上使用海斯公式.v4)做题步骤:一,画出积分区域图；二,检查积分曲面是否封闭，被积函数在

13、封闭曲面所 围区域上是否具有一阶连续偏导数.否则,做出相应的辅助面;三,使用高斯公式，将第二类曲 面积分转化成三重积分，看清楚p,q,r;四，检直是否忘了减掉辅助面的积分(如果有的话), 检查三重积分的正负号与曲面的外内测是否对应.5)注意试用高斯公式后积分区域的变化.解方法一利用高斯高斯，将曲面积分转化为三重积分.作辅助面“ z = 2,(x,y) d. :0x2 + y2 z :|y2 4z42,取前侧;%： v = -2z- y2 ,(y, z) e dz 2所以cos a =-, cos p = yjl + x2 + y2yl + x2 + y2dydz _ dzdx _ dxdycos a cos/7 cos/coset dydz =dxdy = tdxdy,cos/所以jja: +x)dydz-zdxdy r=jjkz? +x-dxdy y= -jj(fu2 + y2)2 +x)(-x)-1(x2 + r)dxdy %= -j1(tu2 + y2)2 +x)(-x)-1(x2 + y2)dxdy = jjx2+1(x2 +