线性规划 (1)

1、线性规划 一、选择题（共5小题；共25分）1. 已知不等式组 x+y1,x-y-1,y0. 表示的平面区域为 M，若直线 y=kx-3k 与平面区域 M 有公共点，则 k 的取值范围是 A. 0,13B. -,13C. -13,0D. -,-13 2. 点 Ma,b 在由不等式组 x0,y0,x+y2 确定的平面区域内，则点 Na+b,a-b 所在平面区域的面积是 A. 1B. 2C. 4D. 8 3. 配制A，B 两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位：千克）药剂 A，B 至少各配一剂，且药剂A，B 每剂售价分别为 1 百元、 2 百元现有原料甲 20 千克，原料乙 25 千

2、克，那么可获得的最大销售额为 A. 6 百元B. 7 百元C. 8 百元D. 9 百元 4. 如果不等式 x2+mx+m20 对一切 xR 恒成立，那么实数 m 的取值范围是( )A. m2B. m2C. 0m2D. m2 5. 若不等式 2kx2+kx-380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为 A. -3,0B. -3,0C. -3,0D. -3,0 二、填空题（共3小题；共15分）6. 已知 x，y 满足约束条件 y0）仅在点 3,0 处取得最大值，试求 a 的取值范围 10. 已知函数 fx=ax2-c，且 -4f1-1，-1f25，求 f3 的取值范围 11. 已知函数 f

3、x=x2+2x+2a-a2 当 a=12 时，求不等式 fx0 的解集； 若对于任意 x1,+，fx0 恒成立，求实数 a 的取值范围 12. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域

4、. 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润?并求出此最大利润答案第一部分1. C【解析】如图，画出可行域，直线 y=kx-3k 过定点 3,0，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为 k=0，最小值为 k=0-13-0=-132. C【解析】因为点 Ma,b 在由不等式组 x0,y0,x+y2 确定的平面区域内，所以 a0,b0,a+b2. 设 Nx,y，则 x=a+b,y=a-b, 可得 a=x+y2,b-x-y2, 所以 x+y0,x-y0,x2. 如图阴影所示即为点 N 所在的平面区域3. C【解析】设配制药剂 A x 剂，药剂 B y 剂，则有不等式组 2x+5y20,5

5、x+4y25,x1,y1,x,yN 成立，即求 =x+2y 在上述线性约束条件下的最大值，借助于线性规划图可得4. C【解析】提示：=m2-4m20 ，得 0m2 5. D【解析】当 k=0 时，显然成立；当 k0 时，要满足题意，则有 k0,k2-42k-380, 解得 -3k0综上，满足不等式 2kx2+kx-380 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是 -3,0第二部分6. -22k-20【解析】首先，将可确定的约束条件在图中作出，已知条件 y3x,x4,x,yN* 表示的区域如图（1）中阴影部，（不包括坐标轴）内的整点，区域内能使 z=x+y 取得最大值 12 的整点为 4,8，

6、因此只要使得约束条件 x+2y+k0 和 y3x,x4,x,yN* 表示的区域内含有整点 4,8 即可注意到图（1）所示区域内还有 3 个整点 4,9，4,10，4,11 以及 x+2y+k0 表示的是直线 y=-12x-12k 左下方的区域，从而如图（2）所示，区域的最大上界只能到直线 CN:y=-12x+11（此时 k=-22）的左下方，因为到了这条直线，则包含点 4,9，从而最大值为 13，不符合条件同理，区域的最小上界必须要到直线 BM:y=-12x+10（此时 k=-20），因为不到这条直线，则不包含点 4,8，从而最大值小于 12，也不符合条件所以满足条件的 k 的取值范围为 -2

7、2k-207. 1,32【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域，三个端点的坐标分别为 1,0，1,32，2,1要使得 1ax+y4 恒成立，需要满足 1a4,12a+14,1a+324. 解得 a1,328. -4,2第三部分9. 由题意作出可行域，如图所示：解出 A3,0 、 B1,1 、 C0,1，要使 z=ax+y 在点 3,0 处取得最大值，必须有 -a12所以 a 的取值范围是 12,+10. 解法一：由已知得 -4a-c-1,-14a-c5. 即 a-c-1,a-c-4,4a-c5,4a-c-1, 目标函数 z=9a-c，可行域如图作直线 l0:9a-c=0，平行移动直线 l0

8、至直线 l，从图形中可以发现，当直线 l 经过平面区域内的点 A0,1 时，直线在 c 轴的截距最大，此时 z=90-1=-1 最小；当直线经过平面区域内的点 B 时，直线在 c 轴的截距最小，此时 z 最大由 a-c=-4,4a-c=5 解得 B3,7，则 zmax=93-7=20，故 -1z20因为 f3=9a-c=z，所以 -1f320解法二：使用待定系数法把 f3 用 f1 和 f2 表示后再利用 f1 和 f2 的取值范围求得 f3 的取值范围令 f3=mf1+nf2，则 9a-c=ma-c+n4a-c，即 9a-c=m+4na-m+nc 则 m+4n=9,m+n=1m=-53,n=

9、83, 故 f3=-53f1+83f2因为 -4f1-1，-1f25，所以 53-53f1203，-8383f2403，所以 53-83-53f1+83f2203+403，所以 -1f32011. （1） 当 a=12 时，由 fx0 得x2+2x+340,即 4x2+8x+30，解得x-12.所以不等式 fx0 的解集为 x x-12（2） 由 x2+2x+2a-a20 对任意 x1,+ 恒成立，得 2a-a2-x2-2x 对任意 x1,+ 恒成立令 gx=-x2-2x=-x+12+1，x1,+当 x=1 时，gx 取最大值 -3所以 2a-a2-3，即 a2-2a-30，解得-1a3.即 a 的取值范围为 -1,312. （1） 由题意，得 x，y 满足的数学关系式为 4x+5y200,8x+5y360,3x+10y300,x0,y0. 该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图中的阴影部分所示（2） 设利润为 z 万元，则目标函数为 z=2x+3y考虑 z=2x+3y，将它变形为 y=-23x+13z，这是斜率为 -23，随 z 变化的一族平行直线 z3 为直线在 y 轴上的截距，当 z3 取最大值时，z 的值最大又因为 x，y 满足约束条件，所以由如图所示可知，