线性代数考前资料课案

1、线性代数知识点总结线性代数考前知识点总结1、行歹u式1.2.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 代数余子式的性质：、aj和aj的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|a ；3.4.代数余子式和余子式的关系：mj =（）i %a（）i jmj设n行列式d :n（ n _1）将d上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 di ,则di =（-1-d ；n （n）将d顺时针或逆时针旋转90：1,所得行列式为d2,则d2=（-1尸d；将d主对角线翻转后（转置），所得行列式为 d3,则d =d；将d主副角

2、线翻转后，所得行列式为d4,则d4 = d ；5.行列式的重要公式：. ./彳.泞/,、主对角行列式：主对触素的等积；工 /n（ n _1）、副对角行列式：副对角元素的乘积 父（-1尸；、上、下三角行列式（|=7）:主对角元素的乘积；n （n -1）、1和1：副对角元素的乘积父（-1尸；、拉普拉斯展开式:3tyut经管学生会学习部6.7.1.、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；对于n阶行列式|a ,恒有：|九ea=j+f （1）01，其中sk为k阶主子式; k注证明a =0的方法：、ai；、反证法；、构造齐次方程组ax =。，证明其有非零解；、利用秩，证明r（a） n ；、证明0

3、是其特征值；2、矩阵a是n阶可逆矩阵：a二 （是非奇异矩阵）；u r(a) =n (是满秩矩阵)u a的行(列)向量组线性无关;u齐次方程组ax =0有非零解;uvbwrn, ax=b 总有唯一解;u人与e等价；u a可表示成若干个初等矩阵的乘积;u a的特征值全不为0；u at a是正定矩阵；u a的行(列)向量组是rn的一组基；u a是rn中某两组基的过渡矩阵；2 .对于n阶矩阵a : aa* =a*ahae无条件恒成立；3 . (a 于=(a *)-(a -) t =( at )-(a*)t =( at )*ttt_*_*_1_11(ab)= b a(ab)= b a(ab厂 二 b 一

4、 a 一4 .矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5 .关于分块矩阵的重要结论，其中均 a、b可逆：,a)aaa =若 乂asj,则：a = ai a l|l as| .a o y ja - o 9 bj lo b，；(主对角分块)o ao b坦o厂(a o a (副对角分块)a c :工-a 七b -( blb人二(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1 . 一个mxn矩阵a,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:f = er 0o m n .线性代数知识点总结等价类：所有与a等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其 形状最简单的矩阵；对

5、于同型矩阵a、b ,若r( a) =r( b) u alb .2 .行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非。元素必须为1；、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0；3 .初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)若(a, e )0( e , x),则a可逆，且x=a,、对矩阵(a，b)做初等行变化，当a变为e时，b就变成a-b,即：(a b)( e，ab);、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程ax=b,如果(a，明(e，x),则a可 逆，且x=a%;4 .初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘、左乘矩阵

6、a,九乘a的各行元素；右乘，九乘a的各列元、对调两行或两列，符号e (1，j),且e (1，j)=e(|，j),例如：3 1)；、倍乘某行或某列，符号e(i(k) ,且e( i(6 e1 (i (位如：(k =0)1.、倍加 某行或 某列，符号e(ij(k) ,且e (ij (k) =e (ij(t),如：5.矩阵秩的基本性质:(k =0)tyut经管学生会学习部0 mr(am n) min(m,n).线性代数知识点总结r(at) =r(a).若 alb,则(a)=r(b);若p、q可逆，则( a) =r( pa)=r( aq)=r( paq)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩) max(r(a),r

7、(b) r(a,b) r(a) +r(b).()r(a + b) r(a) +r(b).()r(ab) lmm!(n m)!cnm 二cn 田、组合的性质：、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵：cm m min 1nnn、cn =2nr z0rr -1rcn 二 ncn 1*7tyut经管学生会学习部r (a) =nr (a) = n -1r (a)：二 n -1 .、r (a) =nr( a) nr(a) -na中有n阶子式不为0, n力阶子式全部为0;a中有n阶子式全部为0；a中有n阶子式不为0；(两句话)*nr (a ) = 1、伴随矩阵的秩：0(ax = x , a = a a二 a

8、*x 二、伴随矩阵的特征值：,a =a8 .关于a矩阵秩的描述:9 .线性方程组：ax=b,其中a为mxn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组 人乂4有由个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组 人乂4为门元方程；10 .线性方程组ax的求解：对增广矩阵b进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11 .由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：a11 x 口12 x2 ii】a1n xnba 21 x1 a 22 x2 ii】a2nxn =3,iihhiiiiihhiiiiiniiiiiiiiio、 am1 x1 am 2

9、x2 |l -3nm xn bn .ai a2 111mj（向量方程，a为mn矩阵，m个方程，门个（全部按列分块，其中,4瓶2x2用l+anxn=p （线性表出）、有解的充要条件：r（a） =r（a，p）-n （n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1 . m个n维列向量所组成的向量组 a： - 口，%构成nxm矩阵a =但。2，川丘m） ；r p： b =m个n维行向量所组成的向量组b : ip：川,pt构成mmn矩阵含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2 .、向量组的线性相关、无关 u ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出仁ax =b是否有解；（线性方程组

10、）、向量组的相互线性表示uax=b是否有解；（矩阵方程）3 .矩阵4、与bi总行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 ax =0和bx = 0同解;（p101 例 14）4 . r（ at a）=r（a） （ p101 例 15）5 . n维向量线通相关的几何意义：、1a线性相关匚口=0;线性代数知识点总结、8 f线性相关u 8 p坐标成比例或共线（平行）；、&p7线性相关匕”p，共面；6 .线性相关与无关的两套定理：若3。, 11ms线性相关，则s3|0s,咏必线性相关；若s3,川心线性无关，则5,3,川,立必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组a的每个向量上添上n一个

11、分量，构成n维向量组b：若a线性无关，则b也线性无关；反之若b线性相关，则a也线性相关；（向量 组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7 .向量组a（个数为r）能由向量组b （个数为s）线性表示，且a线性无关，则父（二版p74定理7）；向量组a能由向量组b线性表示，则r（与父（b） ； （ p86定理3）向量组a能由向量组b线性表示二ax =b有解；= r （a） =r（a, b）（ r5 定理 2）向量组a能由向量组b等价um a）=r（b） =r（ a,b） （ p85定理2推论）8 .方阵a可逆u存在有限个初等矩阵pi,p2,ih,pi,使a = pip2川pl；

12、r、矩阵行等价：a bupa=b （左乘，p可逆）uax=0与bx=0同解 c、矩阵列等价：abuaq=b （右乘，q可逆）；、矩阵等价：a b= paq=b （p、q可逆）；9 .对于矩阵am湎与bl减：、若a与b行等价，则a与b的行秩相等；、若a与b行等价，则ax =0与bx=0同解，且a与b的任何对应的列向量组具 有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵a的行秩等于列秩；10 .若amss旃=cm而，则：、c的列向量组能由a的列向量组线性表示，b为系数矩阵；、c的行向量组能由b的行向量组线性表示，at为系数矩阵；（转置）11 .齐次方程组bx =。的解一定是abx =0

13、的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、abx =0 只有零解=bx =0只有零解；、bx =。有非零解二abx =。一定存在非零解；12 .设向量组以吊也bmlh可由向量组an柒:ai,a2,川,氏线性表示为:（凡。题19结论） （h,b2,lll, br ）=（a1, a2,l|l, as） k （ b=ak ）8tyut经管学生会学习部线性代数知识点总结其中k为sm且a线性无关，则b组线性无关= r（k） =r; （b与k的列向量组具 有相同线性相关性）（必要性:：（ b）=m ak）金出入k）土二k）=充分性：反证法）p87)注：当r=s时，k为方阵，可当作定理使用;13 .、

14、对矩阵am,存在qnm, aq=emr（a）q的列向量线性无关;、对矩阵am刈，存在pnm , pa = en u r（a） = n、p的行向量线性无关；14 .即必,3,q线性相关u存在一组不全为0的数k，匕川，工，使得他 +疑2项+工*=0成立；（定义） .x2 一31 ,口2,|, ots）:=01u 有非零解，即ax =。有非零解；u依外,川,os） s系数矩阵的秩小于未知数的个数；15 .设mmn的矩阵a的秩为r ,则n元齐次线性方程组ax =。的解集s的秩为：r（s） = n r .16 .若为ax=b的一个解，-2，川，为ax =。的一个基础解系，则；:2，1儿线性无关；（pii

15、i题33结论）5、相似矩阵和二次型i 二 j.(i, j=1,2,l| |n)i 二 j.1 .正交矩阵= ata=e或a-at （定义），性质：t jai aj -、a的列向量都是单位向量，且两两正交，即1、若a为正交矩阵，则a at也为正交阵，且入=士；、若a、b正交阵，则ab也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化;2 .施密特正交化：（a-%仙，a）n =a .0二a2 一火出 b, hb =ar _还必必 _._lbm上，n, n mm br,br /;3 .对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4 .、a与b等价 u a经过初等变换得到b； upaq=b, p、q 可逆；u r（a） =r（b） , a、b 同型;、a与b合同 uctac=b,其中可逆；uxtax与xtbx有相同的正、负惯性指数;、a与b相似 up ap=b;5 .相似一定合同、合同未必相似；若c为正交矩阵，则ctac=b= aub,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6