曲边梯形的面积与汽车行驶的路程

1、曲边梯形的面积与曲边梯形的面积与 汽车行驶的路汽车行驶的路程程 用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤 是什么？是什么？ 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限. . 复习回顾复习回顾 例、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形例、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形ABCDABCD 是矩形，是矩形，CDECDE是抛物线的一段是抛物线的一段. .在工程的设计中，要计算在工程的设计中，要计算 开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面积开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面积. . 试根据图中所给的数据计算这个截面的面积试根据图中所给的数

2、据计算这个截面的面积. . 解：如图建立平面直角坐标系，可解：如图建立平面直角坐标系，可 得抛物线的方程为得抛物线的方程为 x y 2 1 yx4( 4x4) 4 先求曲边三角形先求曲边三角形CEOCEO的面积的面积. . 第一步：分割第一步：分割 分点把区间分点把区间0,40,4分成分成n n个小区间，个小区间， 过各个分点作过各个分点作x x轴的垂线，把整个图轴的垂线，把整个图 形分成形分成n n个小曲边梯形，它们的面积个小曲边梯形，它们的面积 记为记为SS1 1, S, S2 2SSn n. . 012in 4424 i x0,x,xxx4. nnn ， 把区间把区间0,40,4n n等

3、分，各分点的坐标依次为等分，各分点的坐标依次为 第二步：近似代替第二步：近似代替. . 取每个小区间右端点对应的函数值取每个小区间右端点对应的函数值 为小矩形的高，宽为为小矩形的高，宽为 可得可得 SSi if(xf(xi i)x)xi i. . 第三步：求和第三步：求和. . 求出这求出这n n个小矩形的面积的和个小矩形的面积的和 2 1 4i ()4 4 n i 4 x, n n 2 2 i 1 8 n1 2n11 4i4 S()416 4 nn3 . n n ii 2 nn i 1 8 n1 2n1 Slimf(x )xlim 16 3n 1632 16. 33 2 ABCD 32112

4、 S2S8 22m. 33 矩形 第四步：取极限第四步：取极限 设设CEOCEO的面积为的面积为S S，则，则 1.1.若已知物体的运动路程若已知物体的运动路程s与时间与时间t的函数关系：的函数关系： sf( (t) )，如何求物体在某时刻，如何求物体在某时刻t t0 0的瞬时速度？的瞬时速度？ vf (t(t0 0) ) 新课引入新课引入 2.2.若已知物体的运动速度若已知物体的运动速度v v与时间与时间t t的函数关系：的函数关系： v vf f(t)(t)，那么，那么f f (t(t0 0) )的含义是什么？如何求的含义是什么？如何求 物体在某时段内经过的路程呢？物体在某时段内经过的路程

5、呢？ f f (t(t0 0) )表示加速度；汽车以速度表示加速度；汽车以速度v v作匀速直线运动，经作匀速直线运动，经 过时间过时间t t所行驶的路程为所行驶的路程为vt,vt,如果汽车作变速直线运动，那如果汽车作变速直线运动，那 么在相同时间内所行驶的路程不相等么在相同时间内所行驶的路程不相等 . . 探究：汽车行驶的路程探究：汽车行驶的路程 . , , , ,1 , 0. , , 的精确值 趋向于无穷大就得到最后让的近似值再求和得似值 区间上行驶路程的近从而求得汽车在每个小直线运动 匀速成可以认为汽车近似于作变化很小由于间上 在每个小区个小区间等分成即将区间的路程问题 化归为求匀速直线运

6、动程问题把求变速直线运动的路 的方法以不变代变我们采取与求曲边梯形面积类似 S nS tv n 已知汽车作变速直线运动，已知汽车作变速直线运动， 在时刻在时刻t(t(单位：单位：h)h)的速度的速度 为为 ( (单位：单位：km/h)km/h)，那么汽车在，那么汽车在0t10t1时段时段 内行驶的路程是多少？内行驶的路程是多少？ 2 ( )2f tt . 11 , 2 , 1, 1 nn i n i t ni n i n i i 其长度为个区间为记第 ,S,S,S: 1 , n 1n , n 2 , n 1 , n 1 , 0 n21 的路程分别记作 上行驶把汽车在时间段 .SS n 1i i

7、 则显然有 ,1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 0:, 11 , 01 n n nnn n n 个小区间将它分成点 个分上等间隔地插入在时间区间分割 于是以匀速代变速即在局部范围内作匀速行驶 处的速度认为它近似地以时刻 不妨上时间速度变化很小在时间段 处函数值近似地等于左端点 不妨认为它近似地等到于常数的值变化很小 函数上在区间很小时即很大当近似代替 , , 2 111 ,), 2 , 1(, 1 . 2 111 ,2 , 1 ,2 2 2 2 n i n i v n i ni n i n i n i n i v n i ttv n i n i tn ni nnn i nn i t n

8、i vSS ii , 2 , 1 2111 2 11 222 S nn nnn n n n nn i nnn nnn i t n i vSS n i n i n i in 2 2 1 1 1 1 3 1 2 6 1211 2121 1 2 11111 0 2111 3 3 2 22 3 22 1 2 11 求和 . 3 5 2 2 1 1 1 1 3 1 lim 11 limlim ,2 2 1 1 1 1 3 1 ,0, 4 1 nn n i v n SS S nn S tn n n i n n n n 从而有趋向于 时趋向于即趋向于无穷大当 取极限 ? 20, 1, 0 , 2 梯形的面积

9、有什么关系 所围成的曲边和曲线与由直线 你认为汽车行驶的路程过程结合求曲边梯形面积的 tvvtt S ot v 1 2tv 2 65.1图图 , 2tv 0v, 1t , 0t , 65.1S 2 n 梯形的面积 所围成的曲边和曲线 线由直限就是 其极和中所有小矩形的面积之 在数值上等于图由于 从而汽车行驶的路 .2tv 0v, 1t , 0tSlimS 2 n n 积所围成的曲边梯形的面和曲线 在数值上等于由直线程 . bta, ,tvv , 内内所所作作的的位位移移 求求出出它它在在法法替替、求求和和、取取极极限限的的方方 、近近似似代代那那么么我我们们也也可可采采用用分分割割为为 速速度

10、度函函数数动动如如果果物物体体做做变变速速直直线线运运一一般般地地 例、弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力例、弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)F(x) kx(kkx(k为常数，为常数，x x是伸长量是伸长量) )，求弹簧从平衡位置拉长，求弹簧从平衡位置拉长b b所所 作的功作的功. . 解：将物体用常力解：将物体用常力F F沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离x x，则所作的功为，则所作的功为 (1)(1)分割：在区间分割：在区间0,b0,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1n-1个点，将区个点，将区 间间0,b0,b等分成等分成n n个小区间：个小区间： n1 bbb 2b 0,b nnnn 把在各分段上所作的功分别记作：把在各分段上所作的功分别记作：WW1 1，WW2 2,，WWn n. . W WFx=Fx= 2 kx (2)(2)近似代替近似代替 i i1 bi 1 b b WFxk(i1,2,n). nnn 由条件知：由条件知： 记第记第i i个区间为个区间为 其长度为其长度为 i 1 b i b (i1,2,n) nn ， ， i 1 bi bb x nnn ， (3)(3)求和求和 2 n