有限体积法和激波捕捉格式-黎曼问题解析解

1、浅水流动的特性与数浅水流动的特性与数 值模拟值模拟 朱德军 旧水利馆 206, 62772255 2 黎曼问题 广义黎曼不变量 稀疏波 间断波 接触间断 内容回顾 3 第五章 激波捕捉格式求解浅 水方程组 有限体积法和Godunov格式 对流方程几种常见的数值格式 双曲方程组守恒格式 黎曼问题 黎曼问题解析解 黎曼问题近似解 Godunov格式的二阶修正 4 其中: (0) 0, ( ,0) (0) L R x x xtx 抖 U U UFUF U U U U 22 1 , 2 hu h huhugh hv huv 轾 轾 犏 犏 犏 犏 犏 =+ 犏 犏 犏 犏 犏 犏 臌 犏 臌 UFUF

2、 5.5 黎曼问题解析解 5 ，特征线形成扇形区，解光滑， 形成的波称为稀疏波； ，形成的波称为接触间断； ，形成的波称为间断波。 LR kk LR kk LR kk S ll ll ll 0 kk l炎=R R时， ，k空间为线性退化空间 0 kk l炎R R时， ，k空间为完全非线性空间 d0 k l d0 k l= ox t ox t ox t 6 对浅水方程，第一、三簇波既可能是稀疏波，也 可能是间断波；第二簇波是接触间断。 123 123 ddd k iii a= UUUUUU RRRRRR 所以d kk a=URUR 1. 稀疏波特征线dx/dt=i两侧，变量满足如下关系: ()

3、RLRL S-=-FFUUFFUU 2. 间断波两侧，变量满足如下R-H关系: 3. 接触间断同时满足稀疏波和间断波的条件 7 穿过第一簇特征线广义黎曼不变量： 123 123 111 ddd = UUUUUU RRRRRR ( )( ) dd d 1 huhv h ucv = - ()( ) ( ) dd2 dd uchhuucconst hvv hvconst -=+= = ox t 22 / LL ucugh ucxt +=+ -= 扇形区内部： 8 2, ucconstvconst-= 穿过第三簇特征线广义黎曼不变量： 123 123 333 ddd = UUUUUU RRRRRR (

4、 )( ) dd d 1 huhv h ucv = + ox t 22 / RR ucugh ucxt -=- += 扇形区内部： 9 22 1 , 2 hu h huhugh hv huv 轾 轾 犏 犏 犏 犏 犏 =+ 犏 犏 犏 犏 犏 犏 臌 犏 臌 U UF F 浅水方程间断两侧变量的关系： () ()() () * 2222 * * * * 1 2 s hhh uhu s h uhuh uhug hh s h vhvh u vhuv -=- -=-+- -=- 10 ()() 2222 * 1 2 s h uhuh uhug hh-=-+- () * s hhh uhu-=- (

5、)() * (1)hush us-=- ()() 22 22 * 11 (2) 22 husghh usgh-+=-+ () * * * s h vhvh u vhuv-=- ()() * (3)hus vh us v-=- 11 从(1)和(3)两式可以得到： * * , 或者uus vv = = ()() ()() * * (1) (3) hush us hus vh us v -=- -=- ()()()() * 0hus vvh us vv-=-= 12 () 22 22 * * 222 * * * 2 * 11 (2) 22 11 22 1 2 MM ghgh hh hh Mghgh

6、 h h Mgh h hh +=+ - =- =+ ()() 设 * hush usM-=-= ()() 22 22 * 11 (2) 22 husghh usgh-+=-+ 13 从上两式中消去未知量s，得到： ()() * * * = hush usM MM suu hh -=-= =- * * * hh uuM hh - =+ 只有 满足 的条件 * vv= LR kk Sll 14 () 2 * * * * * * 1 2 = Mgh h hh MM suu hh hh uuM hh =+ =- - =+ 整理得到： ()() ( )() () * * * * * * = 22 2 m

7、m gh hhghhh suu hh g hh u huhh hh + = + =- 15 设 * hha=+ * * 11 2 mhuh uugh hh aa a 轾 骣骣 犏鼢 珑 鼢 珑=+ 犏鼢 珑 鼢 鼢珑 犏 桫桫 臌 当趋于0时， ( ) * * * 1 m hh huh u ugh a a 轾 骣骣 鼢犏珑 鼢 珑=+ 鼢犏 珑 鼢 珑 鼢 + O珑犏 桫桫 臌 * * * 11 2 m q qqgh hhh aa a 轾 骣骣 犏鼢 珑 鼢 珑=+ 犏鼢 珑 鼢 鼢珑 犏 桫桫 臌 16 相空间，雨奥尼高(Hugoniot)轨迹和稀疏波积分曲线 * * * * 11 2 m

8、hh q qqgh hhh a aa a = + 轾 骣骣 犏 鼢珑 鼢 珑=+ 犏鼢 珑 鼢 鼢珑 犏 桫桫 臌 * * * * 22 22 ucuc qq ghgh hh = = 17 , hconstuconst= 穿过第二簇特征线广义黎曼不变量： 123 123 222 ddd = UUUUUU RRRRRR ( )( ) dd d 001 huhv h = ( ) d0, d0hhu= ox t 18 穿过第二簇特征线，利用R-H条件，有如下关系： () , / / , / L R hconst uconst vxtu v xt vxtu = = () ()() () * 2222

9、* * * * * 1 2 s hhh uhu s h uhuh uhug hh s h vhvh u vhuv suu -=- -=-+- -=- = 变形后得到： 19 ox t ox t ox t ox t 对浅水方程，第一、三簇波既可 能是稀疏波，也可能是间断波； 第二簇波是接触间断。 20 * * 22 LL LL ucuc ucuc +=+ - 如果第一簇波为稀疏波： *L hh () * * * * () 2 L LL L LL g hh uuhh h h ucuc + =- - 如果第一簇波为间断波： *L hh 21 * * 22 RR RR ucuc ucuc -=- +

10、如果第三簇波为稀疏波： *R hh () * * * * () 2 R RR R RR g hh uuhh h h ucuc + =+- - 如果第三簇波为间断波： *R hh 22 ox t ox t ox t ox t * * L R hh hh * * L R hh hh * * L R hh hh * * L R hh hh 解的型式 可以暂时不考虑v 23 () () * * * * * 22, (1) , 2 LLL L LLL L ughghhh u g hh uhhhh h h +- = + - () () * * * * * 22, (2) , 2 RRR R RRR R u

11、ghghhh u g hh uhhhh h h -+ = + +- 根据第一簇特征线两侧关系： 根据第三簇特征线两侧关系： 24 ( )()() ,0, LLRRRL f hf h hf h huuuu=+ D=D=- () () () () () () 22, , , 2 22, , , 2 LL LL L LL L RR RR R RR R ghghhh f h h g hh hhhh hh ghghhh f h h g hh hhhh hh - = + - - = + - h*是下面关于h的方程的解 (2)-(1)=0， 25 () ()() () 2 , 0, 2 , 24 K KK

12、KK K K K K g hh h fh h g hhg hh hh hh hhhg hh + () () () () () 2 32 2 1 , 2 0, 2 , 22 4 K KK KKK KK K K K K g hh hh fh h hhhg hh ghhh hh hhhg hh hhh - = -+ - - + + 26 h f(h) o h=min(hL,hR)h=max(hL,hR) ( )()() ( )()() ,0, ,0 LLRR LLRR f hf h hf h h f hf h hf h h =+ =+ 27 ()() 2 RLLR crit uuughgh-0，必须

13、f(0)0，即： ( ) 002020 LRRL fghghuu=-+-+- 0，根据间断波R-H关系，得到： 与 h0矛盾，证明了间断波不能直接和河床相连 有干湿变化情况的解析解 38 ox t ox t * 0h= *R hh *L hh ox t 间断波不可能和河床直接相连 39 ox t * * * ,0 RR RR uucc ucuc ucuuc = +=+ -=+ ox t UL U0 22 / LL ucugh ucxt +=+ -= 40 ox t UL U0 两种出现干湿变化的情况 UL U0 ox t UR 41 ox t UL U0 22 / LL ucugh ucxt

14、+=+ -= 如果uL=0,则为干床上的溃坝问题 32/ L ghghxt=- 42 11 11 22 / LL ucugh ucxt +=+ -= UL U0 ox t UR 22 22 22 / RR ucugh ucxt +=- += 43 22 0, , 1 2 hu h hutx hugh 轾 轾 犏 抖 犏 犏+= 犏 犏 抖+ 犏 臌犏 臌 UFUF UFUF R U U L U U 例2：渠道长20 km，坝位于10 km处，瞬时全溃 uL=-25 m/s，uR=25 m/s， hL=hR=10 m, 计算溃坝100 s后 的水面线 44 2 LRRL crit ughghuu

15、 所以出现所以出现干涸干涸，第一簇波和第二簇波均为稀疏波第一簇波和第二簇波均为稀疏波 UL U0 ox t UR 45 22 / LL ucugh ucxt +=+ -= 左侧扇形区内部： 得到： 2 1 22 3 11 22 39 02 LL LLLL LL x uugh t xx cughhugh tgt x hugh t 骣 =+ 桫 骣骣 鼢珑 鼢=+-=+- 珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 =+ UL U0 ox t UR 46 22 / RR ucugh ucxt -=- += 右侧扇形区内部： 得到： 2 1 22 3 11 22 39 02 RR RRRR RR x uugh t xx

16、 cughhugh tg t x hugh t 骣 =-+ 桫 骣骣 鼢珑 鼢=-+=-+ 珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 =- UL U0 ox t UR 47 2 2 , / 1 2, /2 9 0, 2/2 1 2, 2/ 9 LLL LLLLLL LLRR RRRR hx tuc x ughucx tuc gt hucx tuc x ughucx t gt , / RR RRR uc hx tuc UL U0 ox t UR 48 相空间 雨奥尼高(Hugoniot)轨迹 稀疏波积分曲线 浅水方程黎曼问题、溃坝问题 解的结构 稀疏波-稀疏波、激波-激波、稀疏波-激波、 激波-稀疏波 有干湿变化的情况 无干湿变化的情况 小结 49 溃坝问题溃坝问题GodunovGodunov型格式模拟型格式模拟 假定一矩形河道长4km，宽10m，一堤坝位于2km处，坝上 游水深10m，下游水深5m。从t=0时刻起，堤坝突然溃决， 挡水能力完全消失，形成向上下游传播的溃坝波。河床水 平，曼宁系数n=0.0001。 空间步长ds=40m，上游边界条件为水位保持10m不变，下 游边界条件为水位保持5m不变。初始条件为：t=0s时，从 断面1到断面51水位