高中数学3-4第2课时简单线性规划同步导学案北师大版必修5

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.14第2课时简单线性规划知能目标解读1 .了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念.2 .掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤重点难点点拨重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法难点：线性目标函数最值(即最优解)求法 .学习方法指导一、简单线性规划的几个概念1 .目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数，则又称1目标函数为线性目标函数2 .约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件.如果

2、约束条件是关于变量的一次不等式(组)，又称线性约束条件.3 .线性规划问题：在线性约束条件下， 求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，也称为二元线性规划问题.4 .可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解( x,y)称为可行解.5 .可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域.6 .最优解：可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解，最优解一定在可行域里面，一般在边界处取得，最优解不一定只有一个，它可以有无数个.二、目标函数的最值问题在求目标函数z=ax+by+c的最值时，根据y的系数的正负，可分为以下两种情形求最值.1 .求目标函数z=ax+by+c,b0的最值.在线

3、性约束条件下，当b0时，求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域；(2)作出直线 10： ax+by=0;(3)确定1 的平移方向，若把1 向上平移，则对应的z值随之增大；若把1 向下平移，所 对应的z值随之减小，依可行域判定取彳#最优解的点.(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值.2 .求目标函数z=ax+by+c,b0的最值.在线性约束条件下，当b0时，求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域；(2)作出直线 1 : ax+by=0；(3)确定1。的平移方向：若把1。向上平移，所得相应z值随之减小

4、；若把1。向下平移，所 对应的z值随之增大，依可行域判定取彳#最优解的点.(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值.注息：确定最优解的方法：将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解； 利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的直线 1 1, 1 2，1 n的斜率分别为k1k2-kn,且目标函数的斜率为 k,则当kik4+1时，直线1i与1 i+1相交的点一般是最优解.知能自主梳理对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，称为.z=f（x,y）是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做 ,当f（x、y）是 x,y 的一次解析

5、式时， z=f（x、y）叫做.菽性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为;涡足线性约束条件的解（x, y）叫做；由所有可行解组成的集合叫做 ;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 .答案1线性约束条件目标函数 线性目标函数线性规划问题可行解 可行域最优解思路方法技巧命题方向 求线性目标函数的最值问题x x-4 y w -3例1 设z=2x+y,式中变量x, y满足条件j 3 x+5y 1分析1由于所给约束条件及目标函数均为关于x, y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.解析作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.把z=2x+y变形为y=-2 x+z

6、,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z,随z变化的一族平行 直线.由图可看出，当直线 z=2x+y经过可行域上的点 a时，截距z最大，经过点 b时，截距 z最小.x-4 y+3=0,得a点坐标为（5, 2）,3x+5y-25=0x=1解方程组,得b点坐标为（1,1）,-x-4 y+3=0所以 zmak2x 5+2=12, zmin=2x 1+1=3.说明1由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解z的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得x+yw 6,变式应用1（2011 大纲文，4）若变量x、y满足约束条件-3yw-2,则z=2x+3yl x 1,最小

7、值为（）a.17b.14c.5d.3答案1c解析本题主要考查了简单的线性规划问题，线性规划问题首先作出可行域,封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，线交点坐标代入目标函数，即可求出最小值，斜率之间的关系.广 x+yw 6,x-3yw-2,作出可行域如图 x 1.作出l0:2x+3y=0,在可行域内平移10, 点时z=2x+3y取最小值.-x-3 y=-2若为 求出直联立得 a(1,1)x=1. z=2x+3y 的最/、值为 2x1+3x1=5.命题方向例2 的取值范围.分析利用线性规划问题求取值范围已知二次函数 f (x)= ax2-c( aw0)满足-4

8、w f(1)-1,-1 wf(2) 5,试求 f (3)本题看似不是线性规划问题， 但经过思考、提取信息可以看成一个简单的线性规划问题求解-4.否则直接用不等式知识求解，容易出现由-1进而确定f(3)的范围而发生错误.解析1 f (x)=ax2-c(aw0),f (1)= a-c,又. -4wf (1) -1,-1 f(2) 5, f (2)=4 a-c-4rw a-c w -1& a-c & -1求出a,c的范围, 4a-c 5作出其可行域如图所示根据题意可得目标函数f (3)=9 a-c,作直线l：9a-c=0,当直线l向下平移时，所对应的 f(3)=9 a-c的函数值随之增大，当直线l经

9、过可行域的顶点 b时，f (3)=9 a-c取得最大值.解方程组a a-c =-4t,得 b(3,7),-4a-c=5，f(3) max=9x 3-7=20.当直线l向上平移时，所对应的f(3) =9 a-c的函数值随之减小,-a-c=-1当直线l经过可行域的顶点 a时，f (3)=9 a-c取得最小值.解方程组j- 4a-c =-1得 a0,1), .,.f(3) min=9x0-1=-1, .f(3)的取值范围为-1,20 .变式应用 2 (2012 抚州市统考)已知 f (x)=4( a-3) x+b-2 a,x c 0,1 ,若 f (x) 2 恒 成立，求t=a+b的最大值.1 f(

10、0)= b-2a2解析1 函数f(x)类似一次函数，由此可得，t,l f(1)= b+2a-12 w2-b 0例 3已知 t x+y-4 0 ,求：2、x-y -5 w 0(1) z=x2+y2-10 y+25 的最小值；(2) z=2y 1的范围.x 1分析(1)其中z=x2+y2-10y+25=(x-0) 2+(y-5) 2的几何意义为平面区域内的点(x,y )_ 2y 1 y (到(0, 5)距离的平万；(2) z=一二2 2-的几何意义为平面区域内的点( x,y)x 1 x ( 1)与(-1,-)连线斜率的2倍.关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结2合知识求解.解析(1)

11、作出可行域，如图.a(1,3), b(3,1), c(7,9).(1) z=x2+(y-5) 2表示可行域内任一点(x,y)到点m (0, 5)的距离的平方，过 m作ac 的垂线，易知垂足在 ac上，故|0 5 2|332| mini = 11 =.,1 ( 1)222| mn2=9 ,所以 z=x2+y2-10y+25 的最小值为 9 .22,1、q(-1,-1，、)连线斜率的2倍.2y ()(2) z=2 - 2-表示可行域内点(x,y)与定点x (1)kqa=7 , kqb=3 ,故 z 的范围是,7 .484 2说明1.对形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数均可化为求可行域内

12、的点( x,y )与点(a,b)间的距离的平方最值问题.2.对形如z=ayb ( acw0)型的目标函数，可先变形为 cx daz= c/ by ( 一)一a-的形式，将(d)c问题转化为求可行域内的点(x,y)与(-d,- b)连线斜率的 亘倍的范围、最值等.注意斜率c ac不存在的情况.y0变式应用3已知实数x,y满足不等式组0 ，求9 =工1的取值范围.x 12 2x-y -2 0解析作出可行域如图所示.2i-1-!=&因为上二表示可行域中的点(x,y )与点(一1,1)连线的斜率.显然可行域内 a点与x 1点(-1,1)连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1,所以kmin=

13、kmax不存在，所以3 = 1的取值范围是-11).x 12名师辨误做答3x x+2ywi0例4设变量x,y满足条件j x+4y0, y0误解依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线9 23 .一一 .915x+4y=s过点 a w)时，s=5x+4y 取最大值，smax=.5 105因为x、y为整数，而离点 a最近的整点是 c(1,2),这时s=13，所要求的最大值为13.辨析显然整点b(2,1)满足约束条件，且此时 s=14，故上述解法不正确.对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点而要先对边界点作目标函数t=ax+by的图像，则最优解是在可行域内离直

14、线t=ax+by最近的整点.正解依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l : 5x+4y=0,平行移动直线l经过可行域内的整点 b(2,1)时，&ax= 14.课堂巩固训练一、选择题(x2y2a. 2,6b. 2,5c. 3,6d. 3,5答案1a(x 2y2x-2作直线l : x+2y=0,平行移动直线l,当直线l经过可行域内的点r2,0)时z取最小值2,当直线l经过可行域内的点a(2,2)时，z取最大值6,故选a.l x 1,2. （2011 天津文，2）设变量x,y满足约束条件x+y-4w0,则目标函数z=3x-y的最大值x-3 y+41,由 x+y-4 0,l x-3 y+4

15、0,作出可行域如图：当直线z=3x-y过点a（2,2）点时z有最大值.z最大值=3x 2-2=4.0w x w q123.（2011 广东理，5）已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组 j y 04.设x、y满足约束条件j 5 x-y-10 0i y0答案111x x-y +2 0解析1不等式组j 5 x-y-10 w0表示的可行域如图阴影部分所示.，点大值x-y +2=0,得5x-y -10=0x 0y=5a的坐标为（3, 5）,作直线l : 2x+y=0,平行移动直线l至过点a时，z=2x+y取最 11.5.某实验室需购买某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋

16、35少要花费答案 500解析1设第一种原料由题意知，线性目标函数元.x袋，第二种原料y袋，花费为z=140x+120y,线性约束条件x0y 0j 35x+24y106其可行域如图，可得z的最优整数解为（1,3）,此时 zmin=500.课后强化作业千克，价格为140元；另一种是每袋 24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最、选择题l x 01.不等式组y x+3y 4 ,所表示的平面区域的面积等于（a.32答案1解析1、3x+yw4b. 23c.3d.34c不等式组表示的平面区域如图所示,x+3y=4,得点a的坐标为（1,1）.x+y=4又b c两点坐标分别为（0,4）、（0,-）,3

17、 及abc=1 x （4- 4） x 1 = 1.233y yx,2.设变量x, y满足约束条件：jx+2y-2.a.-2b.-4c.-6d.-8答案1 d解析作可行域（如图），x1令z=0得x-3y=0,将其平移，当过点（-2,2）时，z取最小值, zmin=-2-3 x 2=-8.x+2y-503.（2011浙江理，5）设实数x、y满足不等式组y 2x+y-70,若x、y为整数，则3x+4yj x0, y 0的最小值为（）a.14b.16c.17答案1 b解析本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如图，作出不等式组表示的平面区域，作直线l。： 3x+4y=0平移l 0与平面区域有交点，由

18、于x, y为整数，结合图形可知当x=4, y=1时，3x+4y取最小值为16,选b.l * 1d.194.若变量x、y满足约束条件y yx ,则z=2x+y的最大值为（）l 3x+2y 4x-y -1x-2y 0满足不等式/ 2 x-y -3 0b.-1c.1d.2作出可行域.j-ffly+llsfiia广40x-my+1=0，得a(1 3m,12m12m平移2x-y -3=0y=-x,当其经过点a时，x+y取最大值，即 1 3m +12m1 2m=9.解得m=1.7.若不等式组x04 人x+3y4所表布的平面区域被直线 y=kx+分为面积相等的两部分，则33x+yw 4的值是(a.73答案1

19、解析1a不等式组表示的平面区域如图所示c.d. 34由于直线y=kx+4过定点(0, 4).因此只有直线过 ab中点时，直线y=kx+f能平分平 333面区域.因为a (1,1), b(0,4),所以ab中点m l -).22当 y=kx+4 过点(1, 5)时，=+,3222 2 3k=.38.设g是平面上以a(2, 1)、r-1 , -4)、c(-2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)点(x,y )在g上变动，f (x,y ) =4x-3y的最大值为a,最小值为b,则a+b的值为()a.-1b.-9c.13d.-6答案1d解析设 4x-3y=c,贝u 3y=4x-c,，y=3x- c

20、 ,33-c表示直线l :4 x-3 y=c在y轴上的截距,3,5- 4 kab , jfn kl =,33l 过 q-2,2)时,- -=2 - x ( -2 )33cmin=b=-14,- c有最大值;314一 ,3a(-h-4)l过b(-1,-4)时，-c有最小值; 3- c=-4- 4 x ( -1 )=-, 3331- cmax=a=8,a+b=-6.、填空题0 wxw49.已知x、y满足条彳0y3l x+2y8,贝u z=2x+5y的最大值为答案119解析1可行域如图当直线y=-2x+z经过直线y=3与x+2y=8交点（2, 3）时，z取最大值zmax=19.5532x+y 011.不等式组y x+y+20,所确定的平面区域记为d.若点（x,y）是区域d上的点，则2x+yl 2x-y -2 1x-y+iwo,则x2+y2的最小值为 .2x-y -2 5.三、解答题x-y +2 0x1，求乂的最大值和最小值.xx+y-7 0解析1由约束条件作出可行域(如图所示)，a点坐标为(1