第七章梁弯曲时位移

1、第七章梁弯曲时位移 第七章第七章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 71 72 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 73 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 75 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 76 梁内的弯曲变形能梁内的弯曲变形能 第七章梁弯曲时位移 一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 用 w 表示。在图示坐标系中，向下的挠度为正， 反之为负。 k w（挠度） （转角） y x 二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。 第七章梁弯曲时位移 三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑

2、曲线，该 曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f（x） 四、转角与挠曲线的关系： )( d dw tanxf x 第七章梁弯曲时位移 一、挠曲线近似微分方程 MM M0 x w 0 w x M0 MM M 0 x w 0 w EI xM x )( )( 1 由曲率与挠度的关系： 而曲率可写作： 232 )1 ()( 1 w w x 由上两式可得： EI xM w w)( )1 ( 232 第七章梁弯曲时位移 在图示坐标系中， 在小变形情况下， )(xM 与 w 总是符号相反，故 EI xM w w)( )1 ( 232 w w w 232 )1 ( 所以，有： EI xM w )( （5-1）

3、 式（5-2）就是挠曲线近似微分方程。 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下 形式： )()(xMxwEI 第七章梁弯曲时位移 二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1、微分方程的积分 )()(xMxwEI 1 d)(CxxMwEI积分一次， 积分两次， 21 dd)(CxCxxxMEIw 2、位移边界条件 wA=0 A B wB=0 、支座约束条件： wA=0 A B A=0 第七章梁弯曲时位移 、变形连续条件： wC左= wC右， A B C P C左= C右 例 7-1：图示一弯曲刚度为EI 的悬臂梁，在自由 端受一集中力 F 作用，试求梁的挠曲线方程， 并求最大挠度及最大转角。 A B

4、 l F x y 第七章梁弯曲时位移 解解： 建立坐标系并写出弯矩方程。 )()(xlFxM 写出微分方程并积分。 FxFlxMwEI )( 1 2 2 1 CFxFlxwEI 21 32 6 1 2 1 CxCFxFlxEIw 应用位移边界条件求积分常数 0 0 x w ， 0 0 x 由 得 C1=0，C2=0 第七章梁弯曲时位移 写出转角方程及挠曲线方程。 2 2 11 FxFlx EI w 32 6 1 2 11 FxFlx EI w 求最大挠度和最大转角。在自由端处，有 EI Fl EI Fl EI Fl 22 222 max EI Fl EI Fl EI Fl w 362 333

5、max 第七章梁弯曲时位移 例 7-2：图示一弯曲刚度为EI 的简支梁，在D点 处受一集中力 F 作用，试求梁的挠曲线方程， 并求C点挠度及A截面转角。 a A B C P b l x y 解解： 建立坐标系并写出弯矩方程。 AC段弯矩方程为：x l Fb xFM A R1 )0(ax BC段弯矩方程为：)( 2 axFx l Fb M )(lxa 第七章梁弯曲时位移 写出微分方程并积分。 AC段: )0(ax x l b FMwEI 11 1 2 1 2 Cx l Fb wEI （a） 11 3 1 6 DxCx l Fb EIw BC段: )(lxa )( 2 axFx l Fb wEI

6、2 22 2 )( 22 Cax F x l Fb wEI 22 33 2 )( 66 DxCax F x l Fb EIw （b） （c） （d） 第七章梁弯曲时位移 应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件： 0 0 x w 0 lx w 位移连续条件： )()(),()( 2121 awawawaw 得： 0),( 6 21 22 21 DDbl l Fb CC 写出转角方程及挠曲线方程。 第七章梁弯曲时位移 AC段:)0(ax ： 222 1 )( 3 1 2 xbl EIl Fb )( 6 222 1 xbl EIl Fbx w BC段:)(lxa ： 2222 2 )( 2 )3(

7、 6 1 ax F xbl l Fb EI 3222 2 )( 6 )( 6 1 ax F xbl l Fbx EI y 第七章梁弯曲时位移 求指定截面的位移。 C点的挠度： )( 6 222 abl EIl Fab w axC A截面的转角： ) 6 22 bl EIl Fb A （ 第七章梁弯曲时位移 一、叠加原理一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的效应等于每个 载荷单独作用于结构而引起的效应的代数和。 二、用叠加法作内力图二、用叠加法作内力图 步骤：步骤： 分别求出各项荷载单独作用下梁的位移； 将其相应的位移叠加即可。 第七章梁弯曲时位移 例题例题7-4 7-4 一弯曲刚度为一

8、弯曲刚度为EIEI的简支梁受荷载如图所示。试的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。 Me q l A B C q A B A B Me 解：解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。 EI lM EI ql www CMCqC 16384 5 2 e 4 EI lM EI ql AMAqA 324 e 3 EI lM EI ql BMBqB 624 e 3 第七章梁弯曲时位移 例题例题7-4 7-4 一弯曲刚度为一弯曲刚度为EIEI的简支梁受荷载如图所示。试的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨

9、中点的挠度和支座处横截面的转角。按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。 Me q l A B C q A B A B Me 解：解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。 EI lM EI ql www CMCqC 16384 5 2 e 4 EI lM EI ql AMAqA 324 e 3 EI lM EI ql BMBqB 624 e 3 第七章梁弯曲时位移 例题7-5试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的简支梁的跨中点 的挠度和支座处横截面的转角。 2/q A B B 解：解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 EI ql EI lq wC 76

10、8 5 384 )2/(5 44 1 EI ql EI lq BA 4824 )2/( 33 11 q l A B C l/2 A 2/q 2/q 正对称荷载作用下： 第七章梁弯曲时位移 2/q A B 0 2 C w EI ql EI lq BA 38124 )2/)(2/( 33 22 q l A B C l/2 B A 2/q 2/q 反对称荷载作用下： 所以： EI ql www CCC 768 5 4 21 EI ql EI ql EI ql BBB 384 7 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql AAA 128 3 38448 333 21 第七章梁弯曲时

11、位移 例题例题7-67-6试按叠加原理试按叠加原理, ,求图示弯曲刚度为求图示弯曲刚度为EIEI的外伸梁截面的外伸梁截面B B的的 转角以及转角以及A A端和端和BCBC段中点段中点D D的挠度的挠度w wA A和和w wD D。 q 2a A BD a 2q C a A B 2q 2qa qa2 w2 q BD C qa2 2qa w1 第七章梁弯曲时位移 解：解：将梁沿B截面截开，如图所示， 看成一悬臂梁和简支梁。 EI qa EI aq EI ql wDq 24 5 384 )2(5 384 5 444 EI qa EI aq EI ql Bq 348 )2( 24 333 BD C q

12、a2 wDM BM q B D C wDq Bq EI qa EI lM B BM 3 2 3 3 EI qa EI aqa EI lM w B DM 416 )2( 16 4222 则：则： EI qa BMBqB 3 3 EI qa www DMDqD 24 4 第七章梁弯曲时位移 221 wawww BA EI qa EI qa a EI qa wA 12 7 43 443 第七章梁弯曲时位移 7 75 5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 max l w l w max 例题例题5-8 5-8 图示悬臂梁图示悬臂梁ABAB

13、，承受均布荷载，承受均布荷载 q q 的作用。已知：的作用。已知： l l=3m=3m，q q=3kN/m=3kN/m，梁采用，梁采用20a20a号工字钢，其弹性模量号工字钢，其弹性模量 E E=200GPa=200GPa，试校核梁的刚度。，试校核梁的刚度。 A B l q x y 第七章梁弯曲时位移 解解：查得工字钢的惯性矩为: 44 m100.237 I 梁的最大挠度为： m104 . 6 10237. 0102008 3103 8 3 49 434 max EI ql w 400 1 468 1 3 106.4 3 max l w 满足刚度要求。 二、提高梁刚度的措施二、提高梁刚度的措施

14、 第七章梁弯曲时位移 7 76 6 简单超静定梁的求解简单超静定梁的求解 1. 静定梁：支座反力和内力仅用静力平衡条件 就可全部确定的梁。 一、概念 2. 超静定梁：支座反力和内力仅靠静力平衡条 件不能全部确定的梁。 二、超静定梁的求解变形比较法变形比较法。 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方 程相结合，求全部未知力。 3. 超静定次数：多余约束的数目。 第七章梁弯曲时位移 2、举例 A B l q 解：、建立基本静定系 确定超静定次数，用反力代替多余 约束所得到的结构基本静定系。 A B q FB A B q wBq A B RB wBF 、几何方程变形协调方程 0 BFBqB w

15、ww 第七章梁弯曲时位移 A B l q A B q FB A B q wBq A B RB wBF 、物理方程变形与 力的关系 EI ql wBq 8 4 EI lF w B BF 3 3 、补充方程 0 38 34 EI lF EI ql B 求得：qlFB 8 3 、求解其它问题（反力、 应力、变形等） 第七章梁弯曲时位移 例题例题7-7 7-7 一外伸梁承受如图所示的荷载，一外伸梁承受如图所示的荷载，A A端用一钢杆端用一钢杆ADAD与梁与梁 连接。在梁承受荷载前，杆连接。在梁承受荷载前，杆ADAD内没有内力。已知梁与拉杆用同内没有内力。已知梁与拉杆用同 样的钢材制成，材料的弹性模量为样的钢材制成，材料的弹性模量为E E，梁的横截面惯性矩为，梁的横截面惯性矩为I I， 拉杆的横截面面积为拉杆的横截面面积为A A，其余尺寸见图。试求钢杆，其余尺寸见图。试求钢杆ADAD的拉力的拉力