广东高考热点题型聚焦(一)《三角函数》

1、6分解：(i)在 abc中，由余弦定理得:2, 22a b c 2bccos a广东高考热点题型聚焦(一)三角广东课标高考三年来风格特点“保持对三角内容的考查重在化归与转化等数学思想方法和函数属性的考查”(文理姐妹题,差别不是很大)从改变风格，体现创新，又顾及考生的适应性考虑需关注解三角形“形式化”的应用.参考题目：222,1.在 abc中，已知a、b、c分别是三内角 a、b、c所对应的边长,h b c a be(i)求角a的大小;. 222 b的大小.(n )若sin a sin b sin c，试判断 abc的形状并求角.222cos ab c a. 222,2bc ，又b c abc.2

2、. 22a b c.222 _ _2_ _2_2(n) sin a sin b sin c ,由正弦定理得 4r 4r 4r 8.分2.22即：a b c故 abc是以角c为直角的直角三角形 10分a 一, b - 又2得 sin a cosb sin b cosa sin2c2 分 . sin(a b) sin 2c , 3 分 a b c, sin(a b) sin c sin c sin 2c 2sin c cosc , 0 csinc 0 12分2 .已知： abc中角 a、 b、 c所对的边分别为 a、 b、 c且cos( a) cosb sin b sin( a) sin( 2c)

3、.(1)求角c的大小；解：(1)由 cos( a) cosb sin b sin( a) sin( 2c)uur uuu (2)若sin a,sin c,sin b成等差数列，且ca cb 18，求c边的长.一 cosc 一2(2)由 sin a,sin c,sin b成等差数列，得 2sinc sin a sin b ,由正弦定理得 2c a b.8分uur uuuca cb 18，即 abcosc 18,ab 36.10分由余弦弦定理 c2 a2 b2 2abcosc (a b)2 3ab,22_2c 4c 3 36,c36,c 6. 12 分.5，,且 abc的面积为2 .5a3 .在a

4、bc中，角a, b,c所对的边分别为a,b,c,满足sina2(i)求bc的值； (n)若b c 6,求a的值.解：(i) sin a , 0 a 25a 2 .5 -cos .aa 4 sin a 2sin cos-.22 5-1.cs abc bcsina 2 , 2asin 一2bc 5.6 分(n)2 a 3cosa 1 2sin 25bc 5, b c 6,a2 b2 c2 2bccosa (b c)2 2bc(1 cos a) 2012分4.在4abc内，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，a，b，c成等差数列，且 a 2c.（n）若sabc 为修，求b的值.49分8解：（i）因

5、为a,b,c成等差数列,所以2b又a 2c ,可得b所以cos a2bc(n)由(i)cosa因为s abc375所以abc得c24,4c2s abc2#1 . 一 bcsin a 25.如图，在四边形 abcd中,(i)求 sin abd 的值;(n )求 bcd的面积.(0,),所以1bcsina 2b 3.ab3,sin a2_j54ad,15bccd11分13分2,解：（i）已知a 60,由余弦定理得bd2 ab2ad2 2abad cosa解得 bd 7 ,由正弦定理,adbdsin abdsin a一ad .所以 sin abd sin a.bd(n)在 bcd 中，bd2 bc2

6、 cd22bc cd cosc ,-1所以 7 4 4 2 2 2cosc , cosc 一,11分因为c (0,),所以sinc所以，bcd 的面积 s ibc cd sinc 37. 12 分24从改变风格，体现创新，强调应用，支持课改考虑需关注三角的本源（测量学），也就是解三角形的实际应用，突出体现正弦定理和余弦定理在测量中的作用，同时考查学生对方位角、俯角、仰角等概念的识记和理解参考题目:1 .如图，某人在塔的正东方向上的c处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60。的方向前进了 40m以后，在点d处望见塔的底端b在东北方向上，已知沿途塔的仰角aeb ,的最大值为30 ,求塔的高.解：依题意知

7、在 dbc 中 bcd 30o, dbc 180o 45o 135oocd=40则 d 15 ,cd bc由正弦定理得sin dbc sin d40 -6240 4 20(、. 6、2)_ cd sin d 40 sin15o.2.2bcosin dbc sin135 =2tan ab在 rtmbe 中，be.ab为定长 .当be的长最小时,取最大值30。，这时be cdsin bcd当be cd时，在rta bec中bebc be bc sin bcdab be tan30 o bc sin bcdtan30 o20( .62) 1 _3 10(3 . 3)22 33(m)10(3s)答：所

8、求塔高为m.2 .海岛b上有一座高10米的塔，塔顶的一个观测站 a,上午11时测得一游船位于岛北偏东15o方向上，且俯角为30o的c处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75方向上，且俯角45的d处(假设游船匀速行驶).(i )求该船行使的速度(单位：米 /分钟)；(n)又经过一段时间后，油船到达海岛b的正西方向e处，问此时游船距离海岛b多远.解：（i）在 rt abc 中， bac=60, ab = 10,则 bc = 10v3 米 在 rt abd 中， bad =45, ab = 10,则 bd = 10米在 rt bcd 中，bdc=75+15=90, 则cd = 4bd2+bc2 = 2

9、0 米cd所以速度v =1 = 20米/分钟（n）在 rt bcd 中，bcd =30, _ _又因为 dbe=15 ,所以 cbe=105 ,所以 ceb=45eb在bce中，由正弦定理可知sin 30bcsin 45 ,beb理事5.6 所以 sin 45米.3 .如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的c三点进行测量，已知ab 50m, bc 120m,于a处测得水深ad 80m ,于b处测得水深be 200m ,于c处测得水深cf 110m ,求/ def的余弦值。解：作dm ac交be于n,交cf于m .df.mpdm 2 、302 1702 10.198de dn2 en

10、2 . 502 1202 130ef .(be fc)2 bc2.902 1202 150在def中，由余弦定理,222_ 222 _cll de 2ef2df 21302150210229816cos def 2de ef2 130 150654 .已知海岸边a，,900 8 3600.3 1800 1800.3 1800两海事监测站相距60 n mile,为了测量海平面上两艘油轮c，d间距离，在a，b两处分别测得cbd 75o,abc 30odab 45o cad 60o ( a,b,c, d 在同一个水平面内).请计算出c,d两艘轮船间距离.解：方法一：在 abd中，由正弦定理得:ada

11、bsin abd sin adbad60sin(30o 75o)sin180o (45o 30o 75o)60sin 75osin30o606 .241230(、. 6、, 2)同理，在在abc中，由正弦定理得:acabsin abc sin acbac60sin 30osin180o (45o 30o 60o)60 230sin45o2230.2，计算出ad，ac后，再在 acd中，应用余弦定理计算出cd两点间的距离:cd .ac2 ad2 2ac ad cos60o , 900 2 900(% 6-2)2 2 900 . 2( ；6. 2) 17200 1800.330,8 2.3 c，d

12、两艘轮船相距30.8 2,3 nmile方法二：在 abc中，由正弦定理得:bcabsin bac sin acbbc60sin(60 o 45o)sin180o (45o 60o 30o)60sin 75osin 45o60.6 /430(、3 1)22同理，在在abd中，由正弦定理得：sin badsinabadbbd60sin 45o6060sin180o (45o 30o 75o)sin 30o21260 2.计算出bc, bdb，再在bcd中，应用余弦定理计算出 cd两点间的距离:cd . bc2 bd2 2bc bd cos75o-2- ,62900(73 1)2 3600 2 2

13、 30(73 1) 6072 6解：在 abc 中，/ dac=30 , /adc=60 / dac=30, 所以 cd=ac=0.1 又/bcd=180 -60 60 =60 , 故cb是 cad底边ad的中垂线，所以 bd=ba,(1)求，的值;ab在 abc 中，sin bcaacsin abcacsin60即 ab= sin15620 -下 0.33km因此，bd= 20故b, d的距离约为 0.33km.从延续风格又体现常考常新考虑三角函数需进一步关注其函数属性与特征, 图定式”，或继续向量“外衣”.参考题目：关注课标高考尚未出现的考点;形式上需关注“给1.已知函数f(x) asin

14、( x)(a0,0,| |一)的部分图象如图所示.2(i )求函数f(x)的解析式;(n)解:,4若 f(r ,025(i)由图象知 a求cos的值.f(x)的最小正周期t，故将点(一,1)代入f (x)的解析式得61,又i、 4f(a)5,即故函数f(x)的解析式为0一，贝u 363 所以 cos()-.f (x) sin(2x ) 6、4 、一sin( 旨)5，注意62 cos () cos( )cos sin( 6666一)sin 663匕4102.已知函数 f(x) asin( x ),(0,| |)部分图像如图所示。(2)设 g(x) f(x)f(x 7),求函数 g(x)的单调递增

15、区间。2解：(i)由图可知t 4(-), 台 2,又由f(-) 1得,sin( ) 1 ,又f(0)1,得 sin(n)由(i)知:f (x) sin(2x) cos2x 2g(x)(cos2x) cos(2x2k材k-2c . c 1.，cos2xsin2x sin4x2a (k z) 8z).3.已知函数 f (x) asin( x )(a 0,0.1 i-)的部分图象如图所示.(i )5)求函数f(x)的解析式;如何由函数y 2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程.解：(i)由图象知 a 2一5f(x)的最小正周期t 4 (-)，故将点(一,2)代入f(x)

16、的解析式得sin(631,又i故函数f(x)的解析式为f(x) 2sin(2x(n)变换过程如下：。. 图象向左平移 一个单位2sin x6.y2sin(x ) 6所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变另解:2sin(2xy 2sinx6)一_ ，一，一 1所有点的横坐标缩短为原来的1y 2sin2x图象向左平移一个单位12.k故函数g(x)的单调增区间为一2纵坐标不变2sin(2x6)解：(i)因为函数图像过点(0,1),(ii)由函数y 2sin(x )及其图像，得4.如图，函数 y=2sin(兀x。),xc r,偎中0w()w 2)的图象与y轴交于点(0, 1).(i )求4的值；(n)设

17、p是图象上的最高点，m、n是图象与x轴的交点,uuuu , uuur ，一，人、求pm与pn的夹角的余弦.所以2sin 1,即sin因为0m(所以uuuu pm1uuur(1,2), pn1(2, 2),从而cosuuuruurpm ,pnuuuu pm uuuruur pn -utur|pm | | pn |1517 5.已知函数f(x)sin( x )(0,0冗)任意两相邻零点的距离为,且其图像经115-,0),p(-, 2),n(-,0), 636过点(i )f(x)的解析式;(n )abc中，a,b,c分别是角a,b,c的对边,f a 1,a3,b2abc的面积.解：(i )依题意有2

18、所以 f(x) sin(x).将点-1 .、 1-m。,?代入得 sin(-) 3，而 0故 f (x) sin(xcosx;所以a 3根据余弦定理，得b2 c2bc23,即 b c3bc3,bc 2 .所以 s abc 1bcsin a2一 3 sin 32，-1m .(n )由 f a 3，得 cosarr6.设向量 m (cosx ,sinx) , x (0, ) , n (1, j3).(i)若1m ni收，求x的值；ir r r(2)设f (x) (m n) n ,求函数f (x)的值域.ir r.解：(1) qm n (cosx 1, sinx 啊,由 1m n . 5 得cos22由余弦定理得cosc a-b一-2ab x 2cos x 1 sin2 x 2、. 3 sinx 3 5整理得cosx.3sin x显然cosxtan x x (0,),ir(2) q m(cosx 1,sinx 、3),ir1- f (x) (mr rn) n = (cosx1, sinx 3)(1, .3) cosx1 . 3sin x 3=2(近sinx2-cos x) 24 = 2sin(x ) 46sin(x1 2sin