1112三角形的高、中线、角平分线

1、新人教版-八年级（上）数学-第十一 章 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义,并 会作出这三种重要的线段。 2.了解三角形的高、中线、和角平分线的性质, 并能应用它解决一些问题。 3.感受数学知识的广泛用途和科学探究精神。 重点：三角形的高、中线和角平分线的定义。 难点：掌握各种线在三角形中分得的角和线段 之间的倍分关系。 学习目标： 你还记得你还记得 “过一点画已知直线的垂线过一点画已知直线的垂线” 吗吗? 画法 过三角形的一个顶点， 你能画出它到对边的垂 线段吗? B A C 回顾与思考 A 从三角形的一个顶点 BC 向它的对边所在直线作垂线

2、顶点和垂足 D 之间的线段 叫做三角形这边上的高， 简称三角形的高。 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个锐角ABC, 垂直的记号 和垂足的字母 请你画出BC边上的高. 标明标明 D 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形的高。 A A B BC C D D ADBC，则AD是ABC的BC边上的高 AD是ABC的BC边上的高,则ADBC,ADB=900 三角形的高的理解 锐角三角形的三条高 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样

3、的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. O (3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是 外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 A B C D E F 直角三角形的三条高 (1) 画出直角三角形的三条高, 直角边BC边上的高是 直角边AB边上的高是 它们有怎样的位置关系？ 斜边AC边上的高是 钝角三角形的三条高 A B C D E F 钝角三角形的三条高交于 一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交 于一点 它们所在的直线交于一点吗？ 小结:三角形的高 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相

4、交高所在的直线是否相交 高之间是否相交高之间是否相交 高在三角形内部的数量高在三角形内部的数量 钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形 31 相交不相交 相交相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条高所在直线交于一点 三条高所在直线的交 点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形 的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 下列各组图形中 哪一组图形中AD是ABC 的 高( ) B D 拓展与练习 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段, 叫做这个三角形这边

5、的中线. A BC D AD是是 ABC的中线的中线 BD=CD= 1 2BC 任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形 三条边的中线,你发现了什么? 三角形的三条中线相交于一三角形的三条中线相交于一 点点,交点在三角形的内部交点在三角形的内部. 三角形中线的理解三角形中线的理解 E F O 三角形的中线 也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形三角形的任意一条中线把这个三角形 分成了两个面积相等的三角形。分成了两个面积相等的三角形。 E A B C D 如右图 D是BC的中点 BD=DC 而ABD的面积= BDAE ADC的面积= DCAE 故ABD的面积= ADC的面积 2 1 2

6、 1 例1：如图,在ABC中,AD,AE分别是BC边上的中 线和高.试判断ABD和ADC的面积有何关系？ 中线的性质 三角形的中线是一条线段线段。 任何三角形有三条中线，并且都在三角 形的内部，交与一点。 三角形的任意一条中线把这个三角形分 成了两个面积相等的三角形。 三角形中线的特点 叫做三角形的角平分线。 A BC D AD是 ABC的角平分线 BAD = CAD = BAC 任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角 形三个角的角平分线,你发现了什么? 在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段, 三角形的三条角平分线相交于 一点,交点在三角形的内部

7、12 三角形的角平分线 BE是ABC的角平分线 _=_= _ 2 1 ACB=2_=2_ ABE CBEABC ACF CF是ABC的角平分线 BCF 思思 考考 三角形的角平分线是一条线段三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线。角的平分线是一条射线。 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ 角平分线的理解 例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角 平分线,相交于点O. (1)当ABC=60,ACB=80时,求BOC的度数 A A B B C C E E D D O O 例题讲解 解: BD、CE分别是ABC的角平分线 3060 2 1 2 1 ABCDBC

8、4080 2 1 2 1 ACBECB )(180ECBDBCBOC )4030(180 110 例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角 平分线,相交于点O. A A B B C C E E D D O O （2）当A=40时，求BOC的度数 例题讲解 解:BD、CE分别是ABC的角平分线 ABCDBC 2 1 ACBECB 2 1 )( 2 1 180ACBABCBOC )180( 2 1 180A A 2 1 90 110 例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角 平分线,相交于点O. A A B B C C E E D D O O （3）当A= x时

9、，求BOC的度数(用含x代数式表示） 例题讲解 解:BD、CE分别是ABC的角平分线 ABCDBC 2 1 ACBECB 2 1 )( 2 1 180ACBABCBOC )180( 2 1 180A A 2 1 90 x 2 1 90 名称名称基本图形基本图形画法画法性质性质 高高用边的垂线用边的垂线 三角板画顶三角板画顶 点到对段点到对段 三条高线相交于三条高线相交于 三角形内部、外三角形内部、外 部或边上一点部或边上一点 中线中线用直尺画两用直尺画两 点之间的线点之间的线 段段 三条中线相交于三条中线相交于 三角形内一点，三角形内一点， 且把三角形分成且把三角形分成 面积相等的两部面积相等的两部 分分 角平角平 分线分线 利用量角器利用量角器 画角的平分画角的平分 线的一部分线的一部分 三条角平分线相三条角平分线相 交于三角形内一交于三角形内一 点点 D A CB D A CB D A CB 高、中线与角平分线的比较 如图,在ABC中, 1=2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的. A BC D E 1 2 F G H AD是ABE的角平分线 ( ) BE是ABD边AD上的中线 ( ) BE是ABC边AC上的中线 ( ) CH是ACD边AD上的高 ( ) 三角形的高、中线