高中数学2_3_1232向量数量积的运算律学案新人教B版必修4

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律1 .理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（难点）2 .体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3 .掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题 .（重点）基础初探教材整理1两个向量的夹角阅读教材pl07内容，完成下列问题. 1 .已知两个非零向量 a, b,作o4a, ob= b,则/ ao琳作向量a和向量b的夹角，记 作a, b，并规定 0w a, bw 兀，并且有 = .tt . 一 一,一一 一2 .当a, b=2时，我们说向重a和向

2、重b互相垂直，记作ab.在讨论垂直问题时， 规定零向量与任意向量垂直 .3 .当a, b = 0_时，a与b同向；当a, b=兀时，a与b反向；兀一 ，一.当a, b =或a与b中至少有一个为手向重时，a b. 如图2-3-1 ,在 abc中，ac ab勺夹角与ca ab勺夹角的关系为 .图 2-3-1 【解析】根据向量夹角定义可知向量 ab, aco1为/ bac而向量ca a班角为兀一/ bac故二者互补.【答案】 互补教材整理2向量在轴上的正射影阅读教材p108 “例1”以上内容，完成下列问题.已知向量a和轴l如图2-3-2.作oa= a,过点q a分别作轴l的垂线，垂足分别为 o,a,

3、则向量oa叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标，称做 a 在轴l上的数量或在轴l的方向上白数量.图 2-3-2oa= a在轴l上正射影的坐标记作 a ,向量a的方向与轴l的正向所成的角为 0 ,则由 三角函数中的余弦定义有 al = |a|cos 0 .一 . tt ,-一.一已知|a|=3,向量a与b的夹角为三，则a在b万向上的投影为()3d.21 c.2一一,兀 3 ,【解析】向量a在b方向上的投影为| a|cos 0 =3xcos故选d.3 2【答案】 d教材整理3数量积的定义及性质和运算律阅读教材p108 例1下p110内容，完成下列问题.1 .向量的数量积(内

4、积)的定义：| a| b|cos a, b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记彳a - b,即a b= | a| b|cos a, b .由定义知，两个向量 a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零 2 .平面向量数量积的性质：(1)如果 e是单位向量，贝u a - e= e - a= | a|cos a, e；(2) ab? a - b=0；(3) a - a= | a| 之即 | a| = 1a . a；a b(4)cosa, b =|0画(1 a| b| w0);(5)| a b| 三| a| b|.3 .平面向量数量积的运算律：(1)交换律：a b= b a；(2)分配律：(a+

5、 b) - c= a - c+ b , c;(3)数乘向量结合律：对任意实数入，有入(a b)=(入a) b = a (入b). 已知点 a, b, c满足 | ab = 3, |bc = 4, | ca = 5,则 ab- bo bc- c/v ca- ab勺值是()d.24a.25b.25c.-24【解析】因为 |ab2+| bc2=9+16 = 25= | ca2,所以/ abc= 90 ,所以原式=ab bo ca-(bo a = 0+ ca- ac= ac2= 25.【答案】a质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑：疑问3： 解

6、惑：疑问4: 解惑：小组合作型与向量数量积有关的概念例 以下四种说法中正确的是.(填序号)如果a b = 0,则a=0或b=0；如果向量a与b满足a - b0,则a与b所成的角为钝角；ab3如果ab-bc0,那么 abc为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则 a2=b2.(2)已知同 =3, |b| =5,且a b = 12,则a在b方向上的投影为 , b在a 方向上的投影为.(3)已知等腰4 abc勺底边bc长为4,则ba-bc=.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答【自主解答】(1)由数量积的定义知 a - b = |a|b| cos 0(0为向量a, b的夹

7、角).若a b = 0,则e =90或a= 0或b= 0,故错；若a b0,则0为钝角或0 =180 ,故错；由ab-bc= 0知b= 90 ,故 abc直角三角形，故正确；由 a2=|a| 2=1, b2= |b| 2= 1,故正确.(2)设a与b的夹角为0 ,则有a - b = |a| - |b| cos 0 = - 12,所以向量 a在向量 b方向上的投影为 |a| - cos 8 =ar/=口= 向量 b在向量|b|55a方向上的投影为 |b| - cos 9 = j =一，?=一 4.|a|3(3)如图，过点 a作adlbc 垂足为 d.因为ab= ac, ,1所以 bd= bc=

8、2,于是 | bacos / abc= | bd 11=2| bc =2*4= 2, f f 所以 ba- bc= | ba| bccos / abc4x2= 8.【答案】(1) (2)12 -4 (3)851,在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“ ”连接，而不能用“x”连接，更不能 省略不写.2,求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a - b=| a| b|cos 0 .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求 a b.再练一题1,给出下列判断：若 a2+b2=0,则a=b=0；已知a, b, c是三个非零向量，若 a +

9、b=0,则 | a c| = | b c| ；a, b 共线? a - b= | a| b| ；| a| b|2 a b；向量a, b满足：a - b0,则a与b的夹角为锐角；若 a, b的 夹角为8,则| b|cos 0表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是 .(填序号)【导学号：】 【解析】 由于a20, b20,所以，若a2+b2=0,则a=b = 0,故正确；若a + b = 0,则2=b,又a, b, c是三个非零向量， 所以a - c= - b - c,所以| a c| =| b , c| ,正确；a, b共线？ a b = i a| b| ,所以不正确；对于应有| a|

10、b| a b；对于，应该是 a - a a= | a| 2a；a2+ b22| a| b| 2a - b,故正确；当a与b的夹角为0时，也有a - b0,因此错；| b|cos 0表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错 ,综上可知 正确【答案】数量积的基本运算, i7u 已知 |a| =4, |b| =5,当(1)a/b; (2)a，b； (3)a 与 b 的夹角为 135 时，分别求a与b的数量积.【精彩点拨】(1)当a/b时，a与b夹角可能为0或180 . (2)当a，b时，a与b夹角为90 .( 3)若a与b夹角及模已知时可利用 a - b = |a| - |b|cos

11、8(8为a, b夹角) 求值.【自主解答】设向量a与b的夹角为0 ,(1) a/ b时，有两种情况：若 a和 b 同向，则 0=0, a b =|a|b| =20；若 a 与 b 反向，则 0=180, a - b =- |a|b| =- 20.(2)当 ab 时，0 =90 , . a , b = 0.(3)当a与b夹角为135时，a b = |a|b| cos 135 = 10m.1,求平面向量数量积的步骤是：求 a与b的夹角0, 0 c 0 ,兀；分别求|a|和 |b| ;求数量积，即 a b = |a|b| cos 9 .2,非零向量a与b共线的条件是a-b=|a|b| .再练一题2,

12、已知正三角形 abc勺边长为1,求：77(1) ab- ac (2) ab- bq (3) bc- ac图 2-3-3【解】(1) abac勺夹角为60。， .ab- ac= | ab| accos 60 1 1=1 x 1 x 2=.2 2) ab bc勺夹角为 120 , .ab- bc= | ab| bccos 120 11= 1x1x 2 dbdac勺夹角为60 ,11 . bc- ac= | bc| aqcos 60 =1x1x 2=-.与向量模有关的问题f rue1已知向量 a与 b 的夹角为 120 ,且|a| =4, | b| =2,求：(1)| a+b| ； (2)|( a+

13、b) (a 2b)|,【精彩点拨】利用a a= a2或| a| =，孑求解.【自主解答】由已知 a - b=|a| b|cos e=4x2xcos 120 = 4, a2=|a|2=16,b2=| b| 2=4.(1) ,. |a+b|2=(a + b)2=a2+2a- b+b2=16 + 2x(- 4) + 4= 12, . . | a + b| =23.(2) . (a+b) ( a 2b) =a2 a b-2b2=16- ( 4) 2x4= 12,，|( a+ b) (a 2b)| =12.1 .此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系2 .利用a a=a2= |a|2或| a|可以

14、实现实数运算与向量运算的相互转化.再练一题3 .例3中，题干条件不变，求|a b| .【解】 因为|a| =4, |b| =2,且a与b的夹角0=120。，所以 | a b| =寸a b2 = aja- 2a - b + b2=2x4x2xcos 120 + 22 = 2 巾, 所以 |a -b| =2、.探究共研型平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，若 a，b,则a b等于多少？反之成立吗？【提示】axb? a - b= 0.探究2当a与b同向时，a-b等于什么？当a与b反向时，a-b等于什么？特别地， a - a等于什么？【提示】当a与b同向时，a - b= | a| b| ;

15、当a与b反向时，a b= | a| b| ; a a= a2= | a|2或| a| =,a a.探究3 | a b|与| a| b|的大小关系如何？为什么？对于向量a, b,如何求它们的夹角e ?【提示】| a b| w | a| b|,设a与b的夹角为0 ,贝u a b= | a| b|cos 0 .两边取绝对值得:文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持| a - b| =| a| b|cos9 | | a| b|.当且仅当|cos e | =1,即 cos 8=1, 9 = 0 或兀时，取,所以 |a - b| | a| b| ,a - bcos 9 =：-.|a|

16、 b|已知 |a| =3, |b| =2,向量 a, b 的夹角为 60 , c=3a+5b, d= na-3b,求当m为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算a b,当cd时，c - d =0列方程求解m【自主解答】由已知得ab=3x2xcos 60 = 3.由 cxd ,知 c , d = 0,即 c . d = (3a+5b) - (na-3b)=3ma2 + (5 m- 9) a - b - 15b2=27m 3(5 m- 9)-60= 42mn 87=0,c与d垂直.2929e荷即f6时，若ax b,则a , b = 0,反之也成立.1 .已知非零向量a, b, .a利用公式co

17、s e = rr-.可求夹角e ,求解时汪息向重夹角e|a|b|2 .设a与b夹角为0 , 的取值范围e e 0,兀.再练一题4.若非零向量a, b满足|a| =3|b| =|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 【解析】设a与b夹角为0,因为|a| =3|b| ,所以 |a| 2 = 9|b| ：又 |a| =|a +2b| ,所以 |a| 2= |a| 2+4|b| 2+4a - b= |a| 2 + 4|b| 2+4|a| |b| - cos 0 =13|b| 2+ 12|b| 2cos 0 ,即 9|b| 2=13|b| 2+ 12|b| 2cos 0 ,故有 cos 0 =-1.31.

18、在abc中,bc= 5, ag= 8, / c= 60 ,则 bc ca=()a.20b. -20文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.c.20 小d.-20 小一一 一一1【解析】bc- ca | bc| cacos 120 =5x8x - =-20.【答案】b2 .设ei, e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是()a. ei , e2= 1b. ei , e2= 1c.| ei , e2| = 1d.| ei , e2|1【解析】e1 - e2=|e1| e2|cos=1.【答案】c 3 .在abc43, ab= a, bc= b,且 b - a=0,则

19、abc()a.锐角三角形b.钝角三角形c.直角三角形d.无法确定【解析】在 abc中，因为b - a = 0,所以ba,故 abc为直角三角形.【答案】c4 .已知| a| = 4, e为单位向量，a在e方向上的投影为一2,则a与e的夹角为【导学号：】【解析】因为a在e方向上的投影为一2,即 | a|cos = 2,所以 cos=-又a, ee 0 ,兀,所以 =120 .i a|2【答案】1205.已知a b= 20, | a| = 5,求b在a方向上的投影的大小 .【解】 设a, b的夹角为0 ,则b在a方向上的投影就是| b|cos 0 ,因为 | a| b|cos 0 = a - b=

20、20,所以ib|cos e =rt=20=4, i a|5即b在a方向上的投影是4.我还有这些不足：(2)我的课下提升方案：(2)学业分层测评（二十一）（建议用时：45分钟）学业达标、选择题1 .已知|b| =3, a在b方向上的投影是2,则a b为（）31a.34b.3c.3d.2【解析】由数量积的几何意义知2a - b = 3x3=2,故选 d.2 .已知向量a, b 满足 | a| = 1| b| =3,且|2a+b| =，7,则a与b的夹角0为（）【导学号：】9|e兀a.62兀b.3d 5jt【解析】|2 a+ b| 2= 4 + 9+ 4a - b=7, a - b= -cos 9

21、=a b1 | a|b|23.设ei和e2是互相垂直的单位向量,且 a=3e+2e,b= 3a + 4e2,则 a b 等于（）a. -2b. 1c.1d.2【解析】因为 |e| =七21 =1,e1 , 2 = 0）所以 a , b = （3e1 + 2e2） , （ 3e1 + 4e）=1| 2+8|e2| 2+6e1 e2= 9x12+8x12 + 6x0= 1.故选 b.【答案】b4.若向量a与b的夹角为60 b| =4,且（2+2功（a3b） = 72,则a的模为（）a.2b.4c.6d.12-6|b|2【解析】（a+2b） （a3b） =a2 a b-6b2= |a|2-|a| -

22、 i b|cos 60= |a|2 2|a| -96=- 72.|a|2 2|a| 24=0,| a| = 6.5.已知向量a, b的夹角为120 ,|a| = | b| = 1, c 与 a+b 同向,则 |ac|的最小值为a.11b. -2. |a| = | b| =1,c与a+ b同向,，a与c的夹角为60 .又 | a_ c| = a2 2a c+c2 =j ici+ic|2故|a c|的最小值取g二、填空题6.已知 axb, |a| =2, |b| = 1,且3a+2b与入ab垂直，则入等于【解析】（3a+2b） 口入ab）,.（入ab） （3a+2b） = 0, -3xa2 + （

23、2 入3）a b 2b2=0.又|a| =2, |b| =1, ab,2=0, 12 入 + （2 入-3） x 2x1 x cos 90 1 .12-2=0，.入=6.m=7.已知| a| =| b| =|c| =1,且满足3a+nto + 7c=0,其中a与b的夹角为60 ,则实数【解析】/ 3a+nto+7c=0,3a+nto= - 7c,(3 a+ nio)2= ( - 7c)2,化简得 9+ m+ 6na - b= 49.1 2又 a , b= | a| b|cos 60= m+ 3m- 40= 0,解得m= 5或m= - 8.【答案】5或8三、解答题8.已知 | a| =4, |b| =2.若a、b的夹角为120 ,求|3a-4b| ；(2)若|a+b| =25，求a与b的夹角6 .1【解】(1) a - b=| a| b|cos 120=4x2x - =- 4.2oo2又|3a4b| =(3a-4b) =9a -24a - b+ 16b 22= 9x4 -24x(- 4) +16x2 =304, |3 a-4b| =4719. 2222(2)| a+ b| = (a + b) = a + 2a - b+ b=4+2a b+