2.1定积分概念与性质ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一节 一、定积分问题举例一、定积分问题举例 二、二、 定积分的定义定积分的定义 三、三、 定积分的近似计算定积分的近似计算 定积分的概念及性质 四、四、 定积分的性质定积分的性质 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分问题举例一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 )0)()(xfxfy ，轴及x 以及两直线 bxax, 所围成 , 求其面积 A . ?A )(xfy a h b 梯形面积)( 2 ba h y O x a b 目录 上页 下页 返回 结束 1 x i x 1i xxa b y O 解决步骤解决步骤 :

2、1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点 bxxxxxa nn 1210 , 1iii xx 用直线 i xx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似求和近似求和. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以, 1ii xx 为底 ,)( i f 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积, i A得 )()( 1 iiiiii xxxxfA ),2, 1,ni i 目录 上页 下页 返回 结束 n i i AA 1 n i ii xf 1 )( 3) 取极限取极限. 令, max 1 i ni x 则曲边梯形面积 n i i AA 1 0 lim n

3、i ii xf 1 0 )(lim 1 x i x 1i xxa b y O i 目录 上页 下页 返回 结束 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, ,)( 21 TTCtvv且 ,0)(tv 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤解决步骤: 1) 分割分割. , , 1iii tt 任取 将它分成 , ),2, 1(, 1 nitt ii 在每个小段上物体经 2) 近似求和近似求和. ,)(代替变速以 i v 得 iii tvs)( ,1, 21 个分点中任意插入在nTT ),2, 1(nis i ), 2, 1(ni 已知速度 n 个小段 过的路程为 目

4、录 上页 下页 返回 结束 i n i i tvs 1 )( 4) 取极限取极限 . i n i i tvs 1 0 )(lim )max( 1 i ni t 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 目录 上页 下页 返回 结束 O ab x 二、定积分二、定积分 ,)(上定义在设函数baxf的若对,ba 任一种分法 , 210 bxxxxa n , 1 iii xxx令任取 , , 1 iii xx i 时只要0max 1 i ni x i n i i xf 1 )( 总趋于确定的极限 I , 则称此

5、极限 I 为函数)(xf在区间 ,ba上的定积分, 1 x i x 1i x b a xxfd)( 即 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim 此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 . 记作 目录 上页 下页 返回 结束 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 称为积分区间,ba 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 b a xxfd)( b a ttfd)( b a uufd)( 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的

6、几何意义: Axxfxf b a d)(,0)(曲边梯形面积 b a xxfxfd)(,0)( 曲边梯形面积的负值 a b y x 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 54321 d)(AAAAAxxf b a 各部分面积的代数和 A O 目录 上页 下页 返回 结束 O 1 x y n i 可积的充分条件可积的充分条件: n i x 1 , n i i 取),2, 1(ni 定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf 定理定理2. ,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 例例1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d 1 0 2 xx 解解: 将 0,1 n

7、等分, 分点为 n i i x ), 1 ,0(ni .,)(可积在baxf 2 xy iiii xxf 2 )(则 3 2 n i 目录 上页 下页 返回 结束 ii n i xf )( 1 n i i n 1 2 3 1 ) 12)(1( 6 11 3 nnn n ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn i n i i xxx 1 2 0 1 0 2 limd n lim 3 1 ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn 注 O 1 x y n i 2 xy 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值 xx d 1 0 2 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 用定积分表示下列极限用定

8、积分表示下列极限: n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( 1 21 lim)2( p ppp n n n 解解: n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( nn i n i n 1 1lim 1 i i x xxd1 1 0 O x 1 n i 1 n i 目录 上页 下页 返回 结束 三三. 定积分的近似计算定积分的近似计算 , ,)(baCxf设 ,d)(存在则 b a xxf 根据定积分定义 可得如下近似计算方法: ), 1 ,0(nixiaxi , n ab x ), 1 ,0()(niyxf ii 记 b a xxfd)(xyxyxy n 110 )( 110

9、 n n ab yyy 将 a , b 分成 n 等份: O a b x y i x 1i x 1. 左矩形公式 )( 21n n ab yyy b a xxfd)(xyxyxy n 21 2. 右矩形公式 目录 上页 下页 返回 结束 b a xxfd)( xyy ii 2 1 1 )()( 2 1 110 nn yyyy n ab 1 1 n ia b xO y i x 1i x a y O b x 12 i x i x2 22 i x m x2 0 x b a xxfd)( i m i i m i m yyyy m ab 2 1 1 12 1 20 24 6 3. 梯形公式 4. 抛物线

10、法公式 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 用梯形公式和抛物线法公式用梯形公式和抛物线法公式 x x Id 1 4 1 0 2 解解: :计算计算yi(yi(见右表见右表) ) 的近似值. 13993. 3I 14159. 3I ixiyi 00.04.00000 10.13.96040 20.23.84615 30.33.66972 40.43.44828 50.53.20000 60.62.94118 70.72.68456 80.82.43902 90.92.20994 101.02.00000 (取 n = 10, 计算时取5位小数) 用梯形公式得 用抛物线法公式得 积分准确值为

11、1415926. 3d 1 4 1 0 2 x x I 计算定积分 目录 上页 下页 返回 结束 四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在) a b b a xxfxxfd)(d)(. 1 0d)( a a xxf b a xd. 2 xxfkxxfk b a b a d)(d)(. 3 ( k 为常数) b a b a b a xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4 ab b c c a b a xxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5 目录 上页 下页 返回 结束 6. 若在若在 a , b 上上 0)( 1 ii n i xf 那么.0d)( xxf b a 证

12、证: ,0)(xf b a xxfd)(0)(lim 1 0 ii n i xf 推论推论1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf那 么 xxf b a d)( xxg b a d)( 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.xxf b a d)( xxf b a d)( 证证:)( xf)(xf)(xf )(ba xxfxxfxxf b a b a b a d)(d)(d)( 即xxfxxf b a b a d)(d)( 7. 设设, )(min, )(max , xfmxfM baba 那么 )(d)()(abMxxfabm b a )(ba 目录 上页 下页 返回 结束 8. 积分中值定理积分中值定理 , ,)(baCxf若则至少存在一点 , ,ba 使 )(d)(abfxxf b a 证证: :,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设 则由性质7 可得 Mxxf ab m b a d)( 1 根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba , ,ba点使 xxf ab f b a d)( 1 )( 因此定理成立. 性质7 目录 上页 下页 返回 结束 Oxba y )(xfy 说明说明: .都成立或baba 可把 )( d)( f ab xxf b a .,)(上的平均