2.1偏导数同济大学ppt课件

1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 三、小结三、小结 第二节第二节 偏导数偏导数 一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 1、偏增量的概念、偏增量的概念 ),( 00 yx),(yxfz 设设 在点在点 的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义， 当当 从从 取得改变量取得改变量 0 x xx ),0( x 而而 保持不变时，函数保持不变时，函数 得到一个改变量得到一个改变量 0 yy z z x ),(),( 0000 yxfyxxf 称为称为 在点在点 关于关于 的偏增量的偏增量. . ),(yxfz ),( 00 yxx z y

2、 ),(),( 0000 yxfyyxf 称为称为 在点在点 关于关于 的偏增量的偏增量. . ),(yxfz ),( 00 yx y 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx的某邻域内有的某邻域内有 定义，并设定义，并设),( 00 yyxxP 为这邻域内的任意为这邻域内的任意 一点，则称这两点的函数值之差一点，则称这两点的函数值之差 ),(),( 0000 yxfyyxxf 为函数在点为函数在点),( 00 yx对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增 量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),( 0000 yxfyyxxf 2、二元函数在点、二元函数在点

3、(x0, y0)的偏导数的偏导数 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点(x0, y0)的某一邻域内的某一邻域内 有定义，当有定义，当 y 固定在固定在 y0而而 x 在在 x0处有增量处有增量 x 时，时， 如果如果 x yxfyxxf x ),(),( lim 0000 0 存在，存在，称此极称此极 限为函数限为函数),(yxfz 在点在点(x0, y0)处对处对 x 的偏导数的偏导数. . ; ),( 00 yxx z ; ),( 00 yxx z ; ),( 00 yxx f ;),( 00 yxf x . ),( 001 yx f 记为记为 x yxfyxxf x ),(),

4、( lim 0000 0 0 ),( d d 0 xx yxf x ),( 00 yxf x 注意注意: : 同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),( 00 yx处处对对 y 的的偏偏导导数数， 为为 y yxfyyxf y ),(),( lim 0000 0 记为记为 ; ),( 00 yxy z ; ),( 00 yxy z ; ),( 00 yxy f ;),( 00 yxf y . ),( 002 yx f ),( 00 yxf y 0 ),( d d 0yy yxf y 3、偏导函数、偏导函数 如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点 ),(y

5、x处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对 自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作 x z ， x f ， x z或或),(yxf x . 同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏 导导数数，记记作作 y z ， y f ， y z或或),(yxf y . ),(zyxf x lim 0 x ), (zyf),(zyf x xx ?),( zyxf y ?),( zyxf z x 偏导数的概念可以推广到三元以上函数偏导数的概念可以推广到三元以上函数

6、如如 在在 处对处对 x 的偏导数的偏导数),(zyxfu ),(zyx , ),(),( lim),( 0 y zyxfzyyxf zyxf y y . ),(),( lim),( 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 4、偏导数求法、偏导数求法 (1) 求关于求关于 x 的偏导数，把的偏导数，把 z=f (x , y) 中的中的 y 看成常数，对看成常数，对 x 仍用一元函数求导法求偏导仍用一元函数求导法求偏导. (2) 求关于求关于 y 的偏导数，把的偏导数，把 z=f (x , y) 中的中的 x 看成常数，对看成常数，对 y 仍用一元函数求导法求偏导仍用一元函数求导法求偏导.

7、 ln(),. xy xyz例1 设z=求z y xz )1, 0( xx z y z xx z y x 2 ln 1 例例2 设设 ， 求证求证 . 证证 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z 原结论成立原结论成立 y xz )1, 0( xx z y z xx z y x 2 ln 1 例例2 设设 ， 求证求证 . 解解 法一法一 先求偏导数再代入具体点先求偏导数再代入具体点. . x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y

8、 x y z .72213 法二法二 先固定先固定 y=2 y=2 或或 x=1 x=1 ，再对，再对 x x 或或 y y 求偏导求偏导 数数. . 解法解法2:2: ) 2, 1( x z ) 2, 1( y z 46 2 xx 1 )62( x x8 1x z 2 31yy 2 )23( y y 2y z ),( 00 yxf x 求求 的两种常用方法：的两种常用方法： 法一法一 先求偏导数再代入具体点先求偏导数再代入具体点. . 法二法二 先将先将然后再用关系式然后再用关系式代入代入, ),( 0 yxfy 0 ),( d d ),( 000 xx x yxf x yxf 但但 法二法

9、二 并不总是适用，如求并不总是适用，如求 .)0 , 0( 0, 0 0, ),( 22 22 22 只能用定义求只能用定义求的的 x f yx yx yx xy yxf y x yxyxfarcsin)1(),( . )1 , 2(, )1 ,( xx fxf 例例4 设设 ， 求求 5、有关偏导数的几点说明：、有关偏导数的几点说明： (1) 偏导数偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分, , 即即不能不能看作看作分子分子与与分母分母的的商商. .不能看作不能看作 RTpV R 1 p T T V V p 例例5 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程 （ 为

10、常数），求证：为常数），求证： . 证证 V RT p; 2 V RT V p p RT V; p R T V R pV T; R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V . 1 pV RT ).0, 0(),0, 0(,),(: yx ffxyyxfz求求设设例例如如 (2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解解 x x f x x 0|0| lim)0 , 0( 0 0 . 0)0 , 0( y f同理：同理： (3) 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系 例例如如,函函数数 0, 0 0, ),( 22

11、22 22 yx yx yx xy yxf, 依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yx ff. 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续， 多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续， 连续连续. . 多元函数中在某点连续多元函数中在某点连续 偏导数存在，偏导数存在， 例如例如：函数函数 22 ),(yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续， 连续连续 但但 )0 , 0(, )0 , 0( yx ff 不不存存在在. 偏导数存在偏导数存在 . 又又如如

12、：函函数数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在在)0 , 0(处处连连续续， 且且有有 0)0 , 0()0 , 0( yx ff. 可见，二元函数在一点处偏导数存在和连可见，二元函数在一点处偏导数存在和连 续没有必然的联系续没有必然的联系. 6、 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 ,),(),(,( 00000 上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 偏导数偏导数 就是就是 曲面被平面曲面被平面 所所 截得的曲线在点截得的曲线在点 处处 的切线的切线 对对 轴的轴的 斜率斜率. ),( 00 yxf x 0 yy 0 M x TM 0 x

13、偏导数偏导数 就是就是 曲面被平面曲面被平面 所所 截得的曲线在点截得的曲线在点 处处 的切线的切线 对对 轴的轴的 斜率斜率. 0 xx 0 M y TM0y ),( 00 yxf y 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: : 0 ),( yy yxfz x TM0 0 0 ),( d d 0 0 yy yxf yy f xx yy 是曲线是曲线 0 ),( xx yxfz y TM0 在点在点 M0 M0 处的切处的切 线线 对对 x x 轴的斜率轴的斜率. . 在点在点M0 M0 处的切线处的切线 斜率斜率. . 是曲线是曲线 y x z 0 x y T o x T 0 y

14、 0 M 对对 y y 轴轴 的的 0 0) ,( d d 0 0 xx yxf xx f xx yy 1 2 22 x yyxz )2 , 0 , 1(例例6 求曲线求曲线 在点在点 处的处的 切线与切线与 y 轴正向夹角轴正向夹角. 解解 )0, 1( 2 )14()0 , 1( yxz y 1 . 4 3 )1arctan( 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 设设 z = f (x , y)z = f (x , y)在域在域 D D 内存在连续的偏内存在连续的偏 导数导数 ),(, ),(yxf y z yxf x z yx 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们

15、的偏导数是则称它们的偏导数是z = f ( x , y )z = f ( x , y )的二阶偏的二阶偏 导数导数 . . x z )( y z x x z y . ),()( 2 2 yxf y z y z y yy 按求导顺序不同按求导顺序不同, , 有下列四个二阶偏导数有下列四个二阶偏导数: : 2 2 x z );,(yxf xx yx z 2 ;),(yxf yx . ),( 2 yxf xy z xy x 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 例如，例如，z = f (x , y) z = f (x , y) 关于关于 x x 的三阶偏导数的三阶偏导数 为为 3 3 2 2 x z x

16、z x z = f (x , y) 先关于先关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再关于再关于 y 的一的一 阶偏导数为阶偏导数为: yyx z n n 1 1 1 n n x z 类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. . 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. . 解解 x z ,33 322 yyyx y z ;92 23 xxyyx 2 2 x z ,6 2 xy 2 2 y z ;182 3 xyx 3 3 x z ,6 2 y xy z 2 . 196 22 yyx yx z 2 , 196 22 yyx

17、解解 ,cosbyae x u ax ;sinbybe y u ax ,cos 2 2 2 byea x u ax ,cos 2 2 2 byeb y u ax ,sin 2 byabe yx u ax .sin 2 byabe xy u ax 定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导 数数 xy z 2 及及 yx z 2 在在区区域域 D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域 内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等 说明说明 因为初等函数的偏导数仍为初等函数，因为初等函数的偏导数仍为初等函数， 而初等函数在其定义区域内是连续的，故求

18、初而初等函数在其定义区域内是连续的，故求初 等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序. . 定理可以推广，例如：定理可以推广，例如： 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数在当三阶混合偏导数在 点点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有 ),(),(),(zyxfzyxfzyxf yxzxzyzyx ),(),(),(zyxfzyxfzyxf xyzzxyyzx . 0 2 2 2 2 y u x u 若在若在 f ( x , y ) f ( x , y ) 的表达式中将的表达式中将 x x 换为换为 y y

19、，同时，同时 把把 y y 换为换为 x x 时，表达式不变，则称时，表达式不变，则称 f ( x , y ) f ( x , y ) 对对 x , y x , y 具有轮换对称性具有轮换对称性. . 对有轮换对称性的函数，若已经求得对有轮换对称性的函数，若已经求得 ，则，则 只要在只要在 的表达式中将的表达式中将 换为换为 ，同时把，同时把 换为换为 即可得到即可得到 . . xyy x x f x f y f . 0 2 2 2 2 y u x u 解解),ln( 2 1 ln 2222 yxyx , 22 yx x x u , 22 yx y y u , )()( 2)( 222 22

20、222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u . )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y u 222 22 222 22 2 2 2 2 )()(yx yx yx xy y u x u . 0 222 ),(zyxzyxu 例例 设设 ， 求求, 2 2 x u , 2 2 y u . 2 2 z u 函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数 . . 偏导数的定义偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数高阶偏导数 （偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏

21、导纯偏导 混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件） 三、小结三、小结 若函数若函数),(yxf在 点在 点),( 000 yxP连连 续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),( 000 yxP 的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？ 思考题思考题 思考题解答思考题解答 不能不能. ,),( 22 yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续, 但但 )0 , 0()0 , 0( yx ff 不不存存在在. 例如例如, 一一、 填填空空题题: : 1 1、 设设 y x ztanln , ,则则 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _

22、 _. . 2 2、 设设 x z yxez xy 则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设, z y xu 则则 x u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; z u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 设设,arctan x y z 则则 2 2 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 2 2 y z _ _ _ _ _ _ _ _; ; yx z 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .

23、 练练 习习 题题 5 5、设、设 z y x u)( , ,则则 yz u 2 _. . 二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、 y xyz)1( ； 2 2、 z yxu)arctan( . . 三、三、 曲线曲线 4 4 22 y yx z , ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ? 四、四、 设设 x yz , ,求求., 2 2 2 2 2 yx z y z x z 和和 五、设五、设)ln(xyxz , ,求求 yx z 2 3 和和 2 3 yx z . . 六、六、 验证验证: : 1 1、 ) 11 ( yx ez , ,满足满足z y z y x z x2 22 ； 2 2、 222 zyxr 满足满足 r z z r y r x r 2 2 2 2 2 2 . . 七、设七、设 0, 0 0,arctanarctan ),( 22 xy xy y x y x y x yxf 求求 xyx ff ,. . 0,0 0, ),( 22 22 22 22 yx yx yx yx yx yxf 例如：例如： ),(yxf x 00 0, )( 4 22