2.17二重积分的计算ppt课件

1、*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节第二节 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法二重积分的计算法 第七章第七章 x b a d 曲顶柱的底为曲顶柱的底为 bxa xyx yxD )()( ),( 21 任取任取, , 0 bax 平面平面 0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为 D yxfVd),( yyxfxA x x d),()( )( )( 00 02 01 截面积为截面积为 yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xxAd )( 截柱体的截柱体的 )( 2 xy

2、 )( 1 xy z x y oab 0 x D 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 ( , )0f x y 设， x 型型区区域域 y d c x o )( 2 yx )( 1 yx yy d c d dycyxyyxD),()(),( 21 同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 D yxfVd),( xyxf y y d),( )( )( 2 1 xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd y 型型区区域域 当被积函数当被积函数( , )f x y 2 ),(),( ),( yxfyxf yx

3、f 2 ),(),(yxfyxf ),( 1 yxf),( 2 yxf均非负均非负 DD yxyxfyxyxfdd),(dd),( 1 在在D上变号时上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于由于 D yxyxfdd),( 2 12 ( )( ) : xyx D axb D yxyxfdd),( yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd 若若D为为 X 型区域型区域 那么那么 )( 1 xy )( 2 xy xbo y D a x 若若D为为Y 型区域型区域 dyc yxy D )()( : 21 y )( 1 yx )( 2 y

4、x x d o c y xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd D yxyxfdd),( 那那 么么 o x y 说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , ( , )d d D f x yx y 为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交换积分序必要时还可以交换积分序. )( 2 xy xo y D b a )( 1 yx )( 2 yx d c 则有则有 x )( 1 xy y yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd

5、 (2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干 1 D 2 D 3 D X-型域或型域或Y-型域型域 , 321 DDDD 那么那么 x y 2 1 1 xy o 2 2 1 d y 例例1. 计算计算 d, D Ixy 其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及 yx 所围的闭区域所围的闭区域. x 解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那那 么么 :D I 2 1 d xyyx d 2 1 d x 2 1 2 1 3 2 1 dxxx 8 9 1 2 2 1 x yx 解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那那 么么 :D I xyx d 2 1

6、d y y yx 2 2 2 1 2 1 3 2 1 d2yyy 8 9 y 1 x y 2 xy 1 21 x 2 xy 21 y 例例2. 计算计算 d, D xy 其中其中D 是抛物线是抛物线 2 yx 所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分, :D xyx d D yxd 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8 45 D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x y 2 2 yxy 21y 2

7、y 2y 2yx 及直线及直线 那么那么 例例3. 计算计算 sin d d , D x x y x 其中其中D 是直线是直线 ,0,yx y 所围成的闭区域所围成的闭区域. ox y D x xy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知, 因此取因此取D 为为X 型域型域 : x xy D 0 0 : D yx x x dd sin x y 0 d 0 dsinxx 0 cos x2 0 d sin x x x x 先对先对 x 积分不行积分不行, 计算公式：计算公式： .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf .),(),( )( )( 2 1 D d

8、c y y dxyxfdydyxf Y Y型型 X X型型 注意选择积分次序的依据）：注意选择积分次序的依据）： (1)被积函数被积函数 f (x,y) 易积或可积；易积或可积； (2)积分区域积分区域 D 不分块或少分块不分块或少分块. 2.2.定限定限 (1) (1) 依题确定积分区域的类型；依题确定积分区域的类型； (2) (2) 投影找区间：投影找区间：x x型区域向型区域向x x轴投影，轴投影，y y型向型向 y y轴投影；轴投影； (3) (3) 穿刺找高度穿刺找高度 3.3.表为二次积分并计算表为二次积分并计算 计算步骤：计算步骤： 1.1.画出区域画出区域D D dye y2

9、无无法法用用初初等等函函数数表表示示解：解： 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 D y dxdyex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e xy 1 原式原式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. . 解：解：积分区域如图 积分区域如图 xy 2 2 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. . 解：解：积分区域如图积分区域如图 练习练习. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序 2 2 22 28 2 0020 d( , )dd( ,

10、 )d x x Ixf x yyxf x yy 8 22 yx 2 D 22 y xo2 1 D 2 2 1 xy 2 D yxyxfIdd),( 2 8 2 d),( y y xyxf 2 0 dy x y o D 常用技巧：利用对称性算积分常用技巧：利用对称性算积分 ),(yxf D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),( D yxf 0d),( D yxf 当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 1 D 在在 D 上上 d),(2 1 D yx

11、f 在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称, 那么那么 那么那么 有类似结果有类似结果. 例例6. 计算计算 3 ()d d, y D Ixyx ex y 其中，其中， 22 :( , )|4,0Dx yxyy 例例7. 计算计算 2 ln(1)d d, D Ixyyx y 其中其中D 由由 ,4 2 xy1,3xxy 所围成所围成. o y x1 2 4xy xy3 2 D 1 D 1x 解解: 令令)1ln(),( 2 yyxyxf 21 DDD(如下图如下图) 显然显然, , 1上 在D),(),(yxfyxf , 2上 在D),(),(yxfyxf yxyyx

12、I D dd)1ln( 1 2 0 yxyyx D dd)1ln( 2 2 4 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 1 0 )(， 求求 11 0 )()( x dyyfxfdx. . 思考题：思考题： 1 )( x dyyf不不能能直直接接积积出出, 改改变变积积分分次次序序. 令令 11 0 )()( x dyyfxfdxI, 思考题解答：思考题解答： 则原式则原式 y dxyfxfdy 0 1 0 )()(.,)()( 0 1 0 x dyyfdxxf 故故 11 0 )()(2 x dyyfdxxfI x dyyfdxxf 0 1 0 )()( )()()( 1

13、 0 1 0 dyyfdxxf x x .)()( 2 1 0 1 0 Adyyfdxxf A o D d d d ddd ( , )(cos ,sin ). DD f x y dfd d 1、利用极坐标系计算二重积分、利用极坐标系计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 2 1 ( ) ( ) ( cos ,sin ).dfd A D o 1( ) 2( ) (cos ,sin ) D fd d 二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式） 区域特征如图区域特征如图 , 12 ( )( ). 区域特征如图区域特征如图 A o D 1( ) 2 1 ( )

14、 ( ) ( cos ,sin ).dfd (cos ,sin ) D fd d , 12 ( )( ). 2( ) A o D ( ) 二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式） 区域特征如图区域特征如图 ( ) 0 ( cos ,sin ).dfd (cos ,sin ) D fd d , 0( ). 二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式） 区域特征如图区域特征如图 D o A ( ) 2( ) 00 ( cos ,sin ).dfd (cos ,sin ) D fd d 02 , 0( ). 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积 . D d d 考虑考

15、虑: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相轴相 切于原点切于原点,试试 答答: (1)0; D o y x ( ) D o y x 问问 的变化范围是什么的变化范围是什么? (1) (2) (2) 22 ( ) 例例 3 3、由由上上例例结结论论求求广广义义积积分分 0 2 dxe x . . 1 D 2 D S S 1 D 2 D R R2 所求广义积分所求广义积分 0 2 dxe x 2 . 1 D 2 ()( 3). 3 S Da 例例5. 求球体求球体 2222 4azyx 被圆柱面被圆柱面xayx2 22 )0( a 所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的

16、)立体的体积立体的体积. 3 322 () 323 Va o x y z a2 22 ,fxy 选选择择极极坐坐标标系系的的依依据据当当积积分分区区域域为为 圆圆域域、环环域域、扇扇域域及及其其 注注 积积分分域域内内被被积积函函 数数 含含时时 宜宜 ： 用用极极坐坐标标。 dxdyyx D )( 22 3 6 4sin 2 2sin dd ).3 2 (15 三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 cos, sin. x y 平平面面上上同同一一个个点点，直直角角坐坐标标与与极极坐坐标标之之间间的的 关关系系为为 o xoy 上式可看成是从坐标平面到直角坐 标平面的一种变换， ( , )

17、 ( , ) oM xoyM x y 即即对对于于平平面面上上的的一一点点，通通过过上上式式 变变换换，变变成成平平面面上上的的一一点点，且且这这 种种变变换换是是一一对对一一的的 ( , ) :( , ),( , ) (1) ( , ), ( , ( ) ( , ) (2)( , )0; ( , , ) ( , ), ( , ) (3) ) : ( , ). D D f x yxoyD Txx u vyy u v uovDxoyD x u vy u f x y vD x y DJ dxdyf x u vy u vJ u v d u u T dv v u v DD 设设在在平平面面上上的的闭闭

18、区区域域上上 连连续续，变变换换 将将平平面面上上的的闭闭区区域域变变为为平平面面上上的的 ， 且且满满足足 在在上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数； 在在上上雅雅可可比比式式 变变换换是是一一对对一一的的，则则有有 定定理理 (1)极极坐坐标标 cos sin x y cossin sincos J (2)线线性性变变化化 xaubv ycudv ab J cd adbc (3)平平移移变变化化 xuk yvl 10 01 J 1 22 22 22 22 (), :1 D xy d ab xy D ab 求求其其中中例例6 6、 例例7 7、 , 2 yx yx D edxdyDxy

19、xy 计计算算其其中中由由轴轴、 轴轴和和直直线线所所围围成成的的闭闭区区域域 ,xyvxyu 令令 . 2 , 2 uv y uv x 则则 ,DD D x y o 2 yx D u v o vu vu 2 v . 22 ;0 ;0 vyx vuy vux即即 ),( ),( vu yx J , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D v u D xy xy dudvedxdye 2 1 故故 v v v u duedv 2 0 2 1 2 0 1 )( 2 1 vdvee . 1 ee ( , ) D f x y 作作什什么么变变换换主主要要取取决决于于积积分分区区域域的的形形状状， 同同时时也也兼兼顾顾被被积积函函数数的的形形式式 基本要求：基本要求： 变换后定限简