中考几何综合

1、代几综合点睛提分1、翻折与几何探究【例1】 如图，将边长为4cm的正方形纸片abcd沿ef折叠（点e、f分别在边ab、cd上），使点b落在ad边上的点m处，点c落在点n处，mn与cd交于点p，连接ep（1）如图，若m为ad边的中点aem的周长_cm；求证：epaedp；（2）随着落点m在ad边上取遍所有的位置（点m不与a、d重合），pdm的周长是否发生变化？请说明理由图bceadfcncpcmc图bceadfcncpcmc【解析】 （1）6 bceadfcncpcmcgc图证明：如图，取ep中点g，连接mg在梯形aepd中，m、g分别是ad、ep的中点mg( aedp ) 由折叠得empb，又

2、g为ep的中点mg ep 故epaedp（2）pdm的周长保持不变证明：如图，设amx cm在rtaem中，由ae 2x 2( 4ae )2，得ae2x 2 dmpame，aemame，dmpaem又da，dmpaem 图bceadfcncpcmc，即cdmp ( 4x )8cm 故pdm的周长保持不变【例2】 操作发现如图，矩形abcd中，e是ad的中点，将abe沿be折叠后得到gbe，且点g在矩形abcd内部小明将bg延长交dc于点f，认为gfdf，你同意吗？说明理由gbcefad（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若dc2df，求的值；（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若dcndf

3、，求的值【解析】 （1）同意连接ef，则egfd90，egaeed，efefrtegfrtedf，gfdf （2）由（1）知gfdf，设dfx，bcy，则有gfx，adygbcefaddc2df，cfx，dcabbg2xbfbggf3x在rtbcf中，bc 2cf 2bf 2，即y 2x 2(3x)2yx， （3）由（1）知gfdf，设dfx，bcy，则有gfx，adydcndf，dcabbgnxcf(n1)x，bfbggf(n1)x在rtbcf中，bc 2cf 2bf 2，即y 2(n1)x2(n1)x2yx，（或）【例3】 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片oabc，已知o（0，0

4、），a（3，0），c（0，2），点p是oa边上的动点（与点o、a不重合）现将pab沿pb翻折，得到pdb；再在oc边上选取适当的点e，将poe沿pe翻折，得到pfe，并使直线pd、pf重合（1）设p（x，0），e（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（2）如图2，若翻折后点d落在bc边上，求过点p、b、e的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点m，使pem是以pe为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点m的坐标图1cbadfepoxy图2cbadfepoxy 【解析】 （1）由已知pb平分apd，pe平分opf，且pd、pf重合，则bp

5、e90opeapb90图1cbadfepoxy又apbabp90，opepbartpoertbpa ，即yx(3x)x 2x（0x3）(x)2当x时，y有最大值 （2）由已知，pab、poe均为等腰三角形，可得p（1，0），e（0，1），b（3，2）设过此三点的抛物线的函数关系式为yax 2bxc则 解得yx 2x1 （3）由（2）知epb90，即点m与点b重合时满足条件 图2cbadfepoxy直线pb为yx1，与y轴交于点（0，1）将pb向上平移2个单位则过点e（0，1）该直线为yx1 由 得 m（4，5）故该抛物线上存在两点m（3，2）、（4，5）满足条件【例4】 如图1，点m、n分别是

6、正方形abcd的边ab、ad的中点，连结cn、dm（1）判断cn、dm的关系，并说明理由；（2）设cn、dm的交点为h，连结bh，如图2，求证：bhab；（3）将adm沿dm翻折得到adm，延长ma 交dc的延长线于点e，如图3，求ce : cb的值dacbnmh图1dacbnmh图2dacbnmh图3ea【解析】 （1）cndm，cndm证明：m、n分别是正方形abcd的边ab、ad的中点，dnam又ndca90，dcad，dcnadmdcnadm，cndm admmdc90，mdcdcn90dhc90，cndm dacbnmh图1（2）如图2，延长dm、cb交于点fdacbnmh图2fam

7、bm，amdbmf，ambf90，admbfmbfadbc 由（1）知hfc是直角三角形，bhfcbc bhab （3）过e作egmd于g，设正方形abcd的边长为2a，则ama，mdaemdamdedm，demehdmdmd hdeamd，dhea90，hedadm，demdaacea2aa ce : cba : 2a dacbnmh图3eag【例5】 如图1，在矩形abcd中，ab6，ad，点p是边bc上的动点（点p不与b、c重合)，过点p作直线pqbd，交cd边于q点，再把pqc沿着动直线pq对折，点c的对应点是r点设cpx，pqr与矩形abcd重叠部分的面积为y（1）求cpq的度数（2

8、）当x取何值时，点r落在矩形abcd的边ab上？（3）如图2，当点r在矩形abcd外部时，求y与x的函数关系式，并求此时函数值y的取值范围abcdqpr图1daerfbcpq图2【解析】 （1）如图1，矩形abcd，abcd，adbc又ab6，ad，c90，cd6，bctancbd，cbd60pqbd，cpqcbd60（2）如图2，当点r落在矩形abcd的边ab上时abcdqpr图2由轴对称的性质可知，rpqcpqrpqcpq60，rpcprpb60，rp2bpcpx，rpx，bpx 在rpb中，根据题意得：x2(x)解得：x （3）如图3，当点r在矩形abcd外部时daerfbcpq图3x在

9、rtpfb中，rpb60，pf2bp2(x)又rpcpx，rfrppf3x在rterf中，efrpfb30，erx4serf errf(x4)(3x)x 212x ysrpqserf xx(x 212x)x 212x（x）yx 212x(x)2当x时，函数值y随自变量x的增大而增大又当x时，y()2当x时，y函数值y的取值范围是：y2、旋转与几何探究【例1】 如图，已知rtabc中，c90，acbc2，将一个含30的rtdef最小内角所在顶点d与rtabc的顶点c重合，当def绕点c旋转时，较长的直角边和斜边始终与线段ba交于g、h两点（g、h可以与b、a重合）（1）如图，当bcgach时，求

10、gh的长；（2）如图，在def旋转的过程中，设两三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为s，问：s是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由agbfech(d)图agbfech(d)图【解析】 （1）bcgach，bcgach，bgah，cgch又acb90，ecf30，ach30如图，过点h作hkac于k设hkx，a45，akx又ach30，ckxac2，xx2解得：x1 bgahxacbc2，abagbfech(d)图kghab2ah2() （2）如图，过点c作coab于oagbfech(d)图oab，ocabsghocgh 显然，当gh最大时，s有最大值当h与a（或g与b）重合

11、时，gh最大，理由如下：如图，过点c作coab于o abc(d)图e1f1e2f2(h2)p1p2oh1g1g2aco45，g1co45bcg145g1coc/cosg1co，acoc/cos45acg1c 过g1、h2分别作g1p1de1、h2p2df2，垂足分别为p1、p2则g1p1g1c，h2p2ac，h2p2g1p1 g1h1p1bch1be1cf1b，而e1cf1b304575g1h1p175又p2g2h2e2cf2bac304575，g1h1p1p2g2h2g2h2h2p2/sinp2g2h2，g1h1g1p1/sing1h1p1，g2h2g1h1当h与a（或g与b）重合时，s最大

12、当h与a重合时，过点g作gkac于k，如图abc(d)图(h)fegk由于ecf30，故由（1）知gk1 s最大acgk2(1)1 【例2】 如图1，rtabcrtedf，acbf90，ae30edf绕着边ab的中点d旋转，de，df分别交线段ac于点m，k（1）观察：如图2、图3，当cdf0或60时，amck_mk（填“”，“”或“”）如图4，当cdf30时，amck_mk（只填“”或“”）（2）猜想：如图1，当0cdf60时，amck_mk，证明你所得到的结论（3）如果mk 2ck 2am 2，请直接写出cdf的度数和的值dbcafemk图1dbca(f,k)em图2dbcafek图3(m

13、)dbcafemk图4【解析】 （1） （2）证明：作点c关于fd的对称点g，连接gk、gm、gddbcafemkg则gdcd，gkck，gdkcdkd是ab的中点，adcdgda30，cda120edf60，gdmgdk60admcdk60admgdm 又dmdm，admgdm，gmamgmgkmk，amckmk （3）cdf15，【例3】 如图，在abc中，d、e分别是ab、ac上的点，且debc，将ade绕a点顺时针旋转一定角度，连结bd、ce，得到图，然后将bd、ce分别延长至m、n，使dmbd，ence，连结am、an、mn，得到图，请解答下列问题：（1）若abac，请探究下列数量关

14、系： 在图中，bd与ce的数量关系是_； 在图中，猜想am与an的数量关系、man与bac的数量关系，并证明你的猜想；（2）若abkac（k1），按上述操作方法，得到图，请继续探究：am与an的数量关系、man与bac的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明dbcae图dbca图emndbca图edbca图emn【解析】 （1）bdceaman，manbac 证明：在bad和cae中bacdae，badcae由题意知：abac，adaebadcae dbca图emnbdce，abdace又dmbd，ence，bmcnabmacnamanbamcan，manbac（2）amkanmanbac 证明

15、如下bacdae，badcaedbca图emnk，badcae，abdace，bdkce又dmbd，encebmbd，cnce，abmcank，bamcanamkan，manbac【例4】 如图，四边形abcd和四边形aefg均为正方形，连接bg与de相交于点h（1）试猜想bhd的度数，并说明理由；（2）将正方形abcd绕点a逆时针旋转（0bae180），设abe的面积为s1，adg的面积为s2，判断s1与s2的大小关系，并给予证明；cbahedgf（3）若ab3，ae，设dbe的面积为s，将正方形abcd绕点a逆时针旋转一周，求s的取值范围【解析】 （1）猜想：bhd90，理由如下：gaeb

16、ad90，gabead又agae，abad，abgade 12又34，132490bhd90（2）当正方形abcd绕点a逆时针旋转（0bae180）时，s1和s2总保持相等cbahedgfmn1234图1证明如下：由于0bae180，因此分三种情况：当0bae90时（如图1）过点b作bm直线ae于点m，过点d作dn直线ag于点nmanbad90，mabnad又amband90，abadamband，bmdn又aeag，aebmagdncbaedgf图2s1s2 当bae90时（如图2）aeag，dagbae90，abadabeadgs1s2 当90bae180时（如图3）cbaedgf图3和一

17、样，同理可证s1s2综上所述，在（2）的条件下，总有s1s2 （3）正方形abcd在绕点a旋转的过程中，它的对称中心o的轨迹是以点a为圆心，ao为半径的圆（如图4）因为dbe的边bd，故当e点到bd的距离取得最大、最小值时，s取得最大、最小值当o1在直线ae上时，s取得最大值s最大()当o2在直线ae上时，s 取得最小值s最小() cbaedgf图4bcdo1o2故s的取值范围是： s 【例5】 已知：在abc中，abac，点d为bc边的中点，点f是ab边上一点，点e在线段df的延长线上，baebdf，点m在线段df上，abedbm（1）如图1，当abc45时，求证：aemd；（2）如图2，当

18、abc60时，则线段ae、md之间的数量关系为_；mbacd（图1）（图2）efmbacdef（3）在（2）的条件下，延长bm到p，使mpbm，连接cp，若ab7，ae，求tanacp的值【解析】 （1）证明：如图1，连接adabac，bdcd，adbc又abc45，bdabcosabc，即abbdbaebdm，abedbm，abedbm ，aemd （2）ae2md mbacd（图1）ef（3）解：如图2，连接ad、epabac，abc60，abc为等边三角形又d为bc中点，adbcdac30，bddcabbaebdm，abedbmabedbm，2，aebdmbeb2bm又bmmp，ebbp

19、又ebmabc60，bep为等边三角形 embp，bmd90，aeb90 在rtaeb中，ae，ab7（图2）mbacdefpnhbe，taneabd为bc中点，m为bp中点，dmpcmdbpcb，eabpcbtanpcb 在rtabd中，adabsinabd在rtndc中，nddctanncdnaadnd过n作nhac，垂足为h在rtanh中，nhan，ahancosnah chacah，tanacp3、动点与几何探究【例1】 已知：线段oaob，点c为ob中点，d为线段oa上一点，连结ac，bd交于点p（1）如图1，当oaob，且d为oa中点时，求的值；（2）如图2，当oaob，且时，求t

20、anbpc的值；（3）如图3，当ad : ao : ob=1 : n :时，直接写出tanbpc的值abcodp图1abcodp图2acodp图3b【解析】 （1）延长ac至点e，使ceca，连接bec为ob中点，bceocaabcdpoebeoa，eoacbeoa，apdepb又d为oa中点，oaob，2 （2）延长ac至点h，使chca，连结bhc为ob中点，bchocadcophabcbho90，bhoa由，设adt，od3t，则bhoaob4t在rtbod中，bd5toabh，hbpadp4bp4pdbd4t，bhbp tanbpctanh （3）tanbpc【例2】 如图1，在rta

21、bc中，acb90，ac6，bc8，点d在边ab上运动，de平分cdb交边bc于点e，embd垂足为m，encd垂足为n（1）当adcd时，求证：deac；（2）探究：ad为何值时，bme与cne相似？（3）探究：ad为何值时，四边形mend与bde的面积相等？图1ecamdbn图2（备用图）cab图3（备用图）cab【解析】 （1）证明：adcd，dacdca图1ecamdbnbdc2dac 又de是bdc的平分线bdc2bdedacbde deac （2）解：（）当bmecne时（如图1），得mbencebddcde平分bdcdebc，beec又acb90，deac ，即bdab5ad5

22、（）当bmeenc时（如图2），得ebmcenenbd又encd，bdcd，即cd是abc斜边上的高 图2ecamdbn由三角形面积公式得abcd=acbc，cdad 综上，当ad5或时，bme与cne相似（3）解法1：由角平分线性质易得smde sden dmmes四边形mend sbde dmmebdme，即dmbd em是bd的垂直平分线.edbb图3ecamdbnedbcde，bcde又dcebcdcdecbd ，即cd又cosb，cd45 由式得cebe8，bmbecosbadab2bm102 解法2：同解法1可得：edbb如图4，过点c作cfab于f，交de于p，过点p作pgcd于

23、gtanb，可设pf3a，df4a图4ecamdbnfpngn由角平分线性质得gp3acp3a，cd 2(4a)2()2pcgdcf，cgpcfd90cgpcfd ，即 a0，a 在rtacf中，ac6，cosa，得afadafdf4 解法3：同解法1可得：bmbd 如图5，过点d作dpac于ppcdecn90，pcdpdc90pdcecn，rtcpdrtenc （*）图5ecamdbnpn设adx，则apx，pdxcp6x，bmbdembmtanb(10x)由角平分线性质知en(10x)又be(10x)cebcbe(145x)由（*）得cnpdx 在rtcne中，cn 2en 2ce 2即(

24、x)2(10x)2(145x)2解得x当ad时，s四边形mend sbde【例3】 刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，b90，a30，bc6cm；图中，d90，e45，de4cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将def的直角边de与abc的斜边ac重合在一起，并将def沿ac方向移动在移动过程中，d、e两点始终在ac边上（移动开始时点d与点a重合）（1）在def沿ac方向移动的过程中，刘卫同学发现：f、c两点间的距离逐渐_（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当def移动至什么位置，即ad的长为多少时，f、c的连线

25、与ab平行？问题：当def移动至什么位置，即ad的长为多少时，以线段ad、fc、bc的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题：在def的移动过程中，是否存在某个位置，使得fcd15？如果存在，求出ad的长度；如果不存在，请说明理由请你分别完成上述三个问题的解答过程（图）acb（图）acbdef（图）def【解析】 （1）变小（2）问题：acbdef30b90，a30，bc6，ac12fde90，def45，de4，df4连结fc，设fcab，则fcda30在rtfdc中，dcadacdc12即ad(12)cm时，fcab 问题：设adx，在rtfdc中，fc 2dc 2fd 2(12x)216

26、（）当fc为斜边时由ad 2bc 2fc 2得：x 26 2(12x)216，x（）当ad为斜边时由fc 2bc 2ad 2得：(12x)2166 2x 2，x8（不合题意，舍去）（）当bc为斜边时由ad 2fc 2bc 2得：x 2(12x)2166 2即x 212x620，1442480，方程无解另解：bc不能为斜边fccd，fcad12fc、ad中至少有一条线段的长度大于6bc不能为斜边由（）、（）、（）得，当xcm时，以线段ad、fc、bc的长度为三边长的三角形是直角三角形acbdef15p1515问题：解法一：不存在这样的位置，使得fcd15理由如下：假设fcd15由fed45得ef

27、c30作efc的平分线，交ac于点p则efpcfpfcp15pfpc，dfpdfeefp60pd，pcpf2fd8pcpd812不存在这样的位置，使得fcd15解法二：不存在这样的位置，使得fcd15acbdef1530h理由如下：假设fcd15，设adx由fed45得efc30作ehfc，垂足为h，则heefceacadde8x，且fc 2(12x)216fdcehc90，dcf为公共角checdf，又()2()2，()2即，整理得x 28x320x140，x248，均不合题意，舍去不存在这样的位置，使得fcd15【例4】 如图，在等边abc中，线段am为bc边上的中线，动点d在直线am上时

28、，以cd为一边且在cd的下方作等边cde，连结be（1）填空：acb_度；（2）当点d在线段am上（点不运动到点a）时，试求出的值；（3）若ab8，以点c为圆心，以5为半径作c与直线be相交于点p、q两点，在点d运动的过程中（点d与点a重合除外），试求pq的长edcbma备用图（2）cba备用图（1）cba【解析】 （1）60 （2）abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acddcbdcbbceacdbceacdbceadbe，1（3）如图（1）当点d在线段am上（不与点a重合）时由（2）可知acdbce，则cbecad30作chbe于点h，则pq2hq，连结cq，则

29、cq5在rtcbh中，cbh30，bcab8，则ch4在rtchq中，由勾股定理得：hq3图（1）edcbmahqp则pq2hq6 如图（2），当点d在线段am的延长线上时abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acbdcbdcbdceacdbce，acdbcecbecad30，同理可得：pq6 如图（3），当点d在线段ma的延长线上时abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acddcbdcbbceacdbceacdbce，cbecadcam30，cbecad150cbq30，同理可得：pq6综上，在点d运动的过程中（点d与点a重合除外），pq的

30、长为6 13分edcbmqpa图（3）edcbmqpa图（2）【例5】 已知：abc是任意三角形（1）如图1，点m、p、n分别是边ab、bc、ca的中点求证：mpna；（2）如图2，点m、n分别在边ab、ac上，且，点p1、p2是边bc的三等分点，你认为mp1nmp2na是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点m、n分别在边ab、ac上，且，点p1、p2、p2009是边bc的2010等分点，则mp1nmp2nmp2009n_cbamn图2p1p2cbamn图3p1p2p2009cbapmn图1【解析】 （1）证明：点m、p、n分别是ab、bc、ca的中点线段mp、pn是abc的中位线mpan

31、，pnam 四边形ampn是平行四边形 mpn=a （2）mp1nmp2na正确 如图，连接mn cbamnp1p212，aaamnabcamnb，mnbc，mnbc 点p1、p2是边bc的三等分点mn与bp1平行且相等，mn与p1p2平行且相等，mn与p2c平行且相等四边形mbp1n、mp1p2n、mp2cn都是平行四边形mbnp1，mp1np2，mp2ac mp1n1，mp2n2，bmp2amp1nmp2n12bmp2a （3）a4、费马点问题【例1】 如图，p为正方形abcd的边bc上任一点，bgap于点g，在ap的延长线上取点e，使geag，连接be，ce（1）求证：bebc；（2）c

32、be的平分线交ae于n点，连接dn，求证：bndnan；（3）若正方形的边长为2，当p点为bc的中点时，直接写出ce的长度pabcdgne【解析】 （1）四边形abcd为正方形，abbcbgap，agge，abbebebc pabcdgneh（2）过点d作dhae于hbn平分cbe，ebncbnabbe，benbapbgap，abp90，bappbgbenpbgbngbenebn，bnggbnbgngbnngdhae，dab90，bagadh又abda，bagadhdhag，bgahgn，dhhndndhagbndnan（3）ce【例2】 如图，四边形abcd是正方形，abe是等边三角形，m为

33、对角线bd上任意一点，将bm绕点b逆时针旋转60得到bn，连接am、cm、en（1）求证：ambenb；adcbmne（2）当m点在何处时，amcm的值最小；当m点在何处时，ambmcm的值最小，并说明理由；（3）当ambmcm的最小值为1时，求正方形的边长【解析】 （1）abe是等边三角形babe，abe60mbn60mbnabnabeabn即mbanbe又mbnb，ambenb（sas）（2）当m点落在bd的中点时，amcm的值最小如图，连接ce，当m点位于bd与ce的交点处时，ambmcm的值最小理由如下：连接mn由（1）知，ambenbamenmbn60，mbnb，bmn是等边三角形b

34、mmnambmcmenmncm根据“两点之间线段最短”，得enmncmec最短当m点位于bd与ce的交点处时ambmcm的值最小，即等于ec的长（3）过e点作efbc交cb的延长线于febf906030设正方形的边长为x，则bfx，ef在rtefc中，ef 2fc 2ec 2() 2(xx) 2(1) 2解得，x（舍去负值）正方形的边长为【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

35、 （备用图）【解析】 (1）过作于 =， 点，可得 ， 为中点， ， 点的坐标为 抛物线经过、两点， .可得. 抛物线的解析式为 （2） 抛物线与轴相交于、，在的左侧， 点的坐标为. , 在中，, 过点作于，可得 . 是等边三角形, ,或 （写出一个给1分）（3）可以取到的最小值为 当取得最小值时，线段的长为. 4、几何adbc【例1】 如图，在abc中，abac，b的平分线与ac交于点d，且bcbdad，求a的度数【解析】 在bc上截取bebd，连结debd是b的平分线，bcbdad，bcbeec，bebdadbceadce，abac，cbecdabc，edecedcc，bed2c设bcx，则dbex，bdebed2x在bde中，dbebdebed180x2x2x180，x40a180240100【例2】 已知：如图，等边三角形abc中，d是bc边上的一点，且bd2cd，p是ad上的一点，且cpdabc，求证：bpadabc