小学数学问答手册(十、几何初步知识)

1、十、几何初步知识279什么叫做几何学和几何图形？几何学是数学的一门分科，它是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。在我们的周围世界里，各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置关系。例如：课桌的桌面是长方形的，魔方的每个面是正方形的，各种车轮的形状是圆的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一样的；汽车有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相同。还应该看到，物体与物体之间，有着相互位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右关系等。公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识，并加以系统整理，按照图形在平面或空间

2、的形式，在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，根据研究结果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合而成的，也是点、线、面的集合。一个图形所有的点，都在同一平面内，这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形，都是平面几何图形。如果一个图形的点不全在同一平面内，这个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都属于立体几何图形。280什么叫做点、线、面、体？ 点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割的。线和线相交于一个点。也可以理解为“点”是“线”

3、的界限。在几何中，用大写字母表示点。如，图中的a点、b点、c点。线：如果两个面相交，就会交出一条线来。也就是面和面相交于线。一张纸对折起来的痕迹就是“线”。也可以理解为“线”是“面”的界限。线有直线和曲线等。如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是长方体的一条棱），就是直线。圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线，就是曲线。线只是面与面相交的界限，它没有大小（即粗细），只有长短，或者说，线只有长，而没有宽和高。面：任何物体都占一定的空间，都是用它的表面和周围分割开来。因此，可以说“体”是由“面”围成的。如：课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、水桶的侧面和底面等都是“面”。也可以理解为“面”是“体”

4、的界限。由于面是物体的表面，如果放弃物体的本身，只单独想象物体的表面，这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的（即：高），所以，面只有长和宽，而没有高。体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体”。例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒，虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同，只要它们的形状、大小都相同，就可以认为它们是完全相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说，它们是两个相同的长方体。281直线、射线和线段有什么不同？直线、射线和线段是易于混淆的三个概念，它们之间也是有联系的，直线是基础，射线和线段是直

5、线概念的发展。它们也是有区别的，这是它们之间的主要方面。首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成的图形就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线，都给人以直线的形象。我们把直线看作可以向两方无限延伸的，直线是无头无尾的，即是没有端点的。直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。例如，直线ab，或直线ba；也可以用一个小写字母表示一条直线。例如，直线l（如下图）。经过一点，可以画无数多条直线，但是,经过两点却只能画出一条直线，这就是直线的基本性质。除此之外，两条直线相交，只有一个交点。其次看射线，在直线上某一点一旁的部分叫做射线。这一点叫做射线的端点。射线的另一端是可以无限延伸的

6、，因此，没有端点。射线只有一个端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射出的光线，都可以看作射线的实际例子。射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示，并且把表示端点的字母写在前面。例如，以点o为端点的射线，可以在射线上再取一点a，记作：射线oa（如图）。最后再看线段，直线上任意两点间的部分叫做线段。具有一定长度的拉直了的细绳，可看作线段的实际例子。线段是有长短的，因此可以进行度量。线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。例如，线段ab，或者线段ba。也可以用一个小写字母表示。例如，线段a（如下图）。在连结两点的所有线中，线段最短。这就是线段的基本性质。282什么叫做“角

7、”？几何中所指的“角”的定义是：从一点画出的两条射线所组成的图形，叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”，构成角的两条射线，叫做角的“边”。角的大小与两边的长短无关，只与角两边的相互位置关系有关。这一点，在初学时很容易混淆，必须引起注意。角用符号“”来表示。如：从图2中可以看到：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。一个角一般有以下三种表示方法：（1）用“”与三个大写字母表示角。如：图3中的角记作：aob；图4中的角记作：boc，aob，aoc。（2）用“”与一个大写字母表示角。这里所指的一个大写字母，应该是角顶上的字母。而且这种用一个大写字母表示角的方法，只适

8、用于单个的角。如图3，用o来表示，如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时，则不能用这种方法来表示角。如图4，如果用o来表示，就表述不清到底o表示哪个角。（3）用“”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。例如：下图中的角分别记作：1、2、。283几何中的角可分为哪几种？（1）周角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到这条射线回到它的原来的位置时，就形成了一个周角。如图图中的oa绕它的端点o按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来的位置，形成了一个周角。一个周角等于360，一个周角是一个平角的2倍。（2）平角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到和原来位置成为一条直线，这时所成的角，叫

9、做平角。如图图中的射线oa绕它的端点o，按逆时针方向旋转，转到射线ob的位置上（射线oa与射线ob构成一条直线），形成一个平角。一个平角等于180度，记作180。（3）优角：一个大于平角又小于周角的角，叫做优角。优角在小学数学教材中没有出现，但在教学中常常遇到学生提出这样的问题：比周角小又比平角大的角叫什么角？ 181的角是什么角等等。如图优角大于180，小于360。（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。如图直角通常记作“rt”。直角的大小通常用d来表示，这样，平角等于2d，周角等于4d。（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。如图钝角的度数大于90，小于180。（6）锐角：小于直角

10、的角叫做锐角。如图锐角小于90。（7）余角：当两个锐角aob与boc之和等于一个直角aoc时，其中一个角boc叫做另一个角aob的余角。这两个角叫做互为余角。如图（8）邻角：当两个角有一个公共的顶点，有一条公共的边， 这两个角另外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。如图图中的oc是aoc与cob的公共边，aoc是cob的邻角；boc也是coa的邻角。（9）补角：两个角的和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是说，其中任一个角是另一个角的补角。如图图中的1是2的补角，2是1的补角，或者说，1与2互为补角。（10）对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线所夹的角，叫做原角的对

11、顶角。如图图中的aod与boc、aob与doc；两对顶角是相等的。图中的aod=boc；aobdoc；。（11）三线八角：两条直线被第三条直线所截，所得的八个角，叫做三线八角。图中的l1、l2、l3 和1、2、3、4、5、6、7、8就是三线八角。按上述八个角的相互位置，给以下列不同名称：同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角。如图中的1与5、2与6、4与8、3与7都是同位角。内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角。图中的6与6、4与5都是内错角。外错角：如果两个角都在两直线

12、的外侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角。图中的1与8、2与7都是外错角。同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角。图中的3与5、4与6都是同旁内角。同旁外角：如果有两个角都在两条直线的外侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。图中的1与7、2与8都是同旁外角。284垂直和垂线有什么不同？垂直和垂线是两个不同的概念。垂直的含义是：两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直。图中的直线ab与直线cd相交于o，并且它们所成的角等于90，因此，直线ab与cd互相垂直。在两条相互垂直的直线中，其中一条直线叫做

13、另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。垂直通常用符号“”来表示。如图中的ab垂直于cd，可记作abcd，读作ab垂直于cd。有时为了把垂足也表示出来，也可以写作 abcd于o，读作： ab垂直于cd于o点。垂线还具有以下两个性质：（1）经过一点且只有一条直线垂直于已知直线；（2）从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中，和这条直线垂直的线段最短。画垂线时的要点是什么？通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板”画垂线；另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。用三角板画一条直线的垂线，一般所给的条件有两种：（1）过直线外一点画这条直线的垂线。（2）过直线上的一点画这条直线的垂线。如图：例如：

14、已知点p是直线ab外的一点，用三角板过p点作po垂直于ab。如图，把三角板一条直角边靠在直线ab上（即把三角板的一条直角边与直线ab重合），并沿ab移动，使另一条直角边靠上p点，固定住三角板，并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线po，直线po与直线ab交于o点，这样，po就是直线ab的垂线。用一个三角板作垂线时，往往在接近垂足o点处的一段不容易作得很好。可以采用另一种方法，如图所示：用两个三角板，把一个三角板（如虚线中的三角板）先固定住，然后把另一个三角板与它靠紧，再拿去第一个三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠上p点的一条边）画一条直线po。这种方法的关键是第二个三

15、角板靠p点的一条边与直线ab相交，因此，在垂足o处，可以画得准确些。又如：已知点p是直线ab上的一点，用三角板过p点作pc垂直于直线ab。如图：如图，把三角板的一条直角边靠在直线ab上，沿着ab移动，使另一条直角边靠上p点（即直角顶点靠上p点）时，把三角板固定，并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线pc与直线ab相交于p点，则pc是ab的垂线。与上例相同，也可以按图所示，用两个三角板，当第一个三角板的一条直角边靠在直线ab上，沿ab移动到另一条直角边靠上p点时，固定住三角板，把第二个三角板的一条边与它靠紧，然后拿掉第一个三角板，用铅笔沿第二个三角板靠p点的一边画一条直线pc，则pc是ab的垂线。

16、用直尺和圆规画一条直线的垂线时，通常有两种情况：（1）过直线ab外的一点p作ab的垂线。（2）过直线ab上的一点p作ab的垂线。如图：如图，以p为圆心，以大于p到ab的距离为半径作弧，交ab于e、pd，pd交ab于o，则pd是ab的垂线，垂足为o。如图，以p点为圆心，以任一长为半径作弧交ab于e、f；以e、的垂线，垂足为p。285平行与平行线有什么关系？平行与平行线是两个不同的概念，它们之间又有着内在的联系。平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系。当线与线、线与面、面与面平行时，其共同特点是没有公共点。但一组直线平行，除了直线之间没有公共点之外，这组直线必定在同一个平面

17、上。通常用“”表示平行。平行线的概念是指在同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线。如图：直线ab与cd，无论怎样把它们向两方无限地延长出去，这两条直线是永远不会相交的。类似这样的两条直线，就是平行线。可记作 abcd，读作ab平行于cd。平行线具有以下几个性质：（1）经过直线外一点，且只有一条直线平行于这条直线。（2）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。（3）两条平行线被第三条直线所截，它们的同位角相等。（4）两条平行线被第三条直线所截，它们的内错角相等。（5）两条平行线被第三条直线所截，它们的同旁内角互补。（6）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也垂

18、直于平行线中的另一条。依据上述平行线的性质，可以对两条直线是否为平行线进行判定。286画平行线时的要点是什么？画平行线时，通常借助的工具是直尺和三角板。其画法的要点是：先把三角板靠在直尺上（如下图）。把三角板顺着直尺滑动，沿着三角板的其它一边，在滑动的不同位置上作两条直线（如图中ab和cd），这两条直线就是平行线。一般情况下，需要通过直线外一点，作已知直线的平行线。其画法的要点是：先把三角板的一条边靠在直线上（如图）：三角板所靠的直线为ab，再把直尺贴在三角板的另一边上，然后再把直尺与三角板一起沿着直线ab移动，使直尺边靠在点p上，这时，固定住直尺，把三角板沿着直尺推到与原直线ab靠在一起的一

19、边的点p上，最后用铅笔在这条边上画一条直线cd，这样，直线cd过p点，并且与直线ab平行。287长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗？回答这个问题，首先明确一下平行四边形的意义及其性质，才能对此做出肯定或否定的判定。平行四边形的意义是：平面上两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。根据平行四边形的意义，图中四边形abcd的两组对边 abcd；adbc，因此，四边形 abcd是个顶点时，要用大写字母依次顺序标出。平行四边形的性质是判定平行四边形的主要依据。这些性质有：（1）对边相等。即：ab=cd，adbc。（2）邻角互补。即：ab=b+c=180。（3）对角相等。即：a=c；b=d。（4）对

20、角线互相平分。即：ao=oc；bo=od。根据上述意义和性质，可以对问题做出判定：长方形两组对边分别平行，符合平行四边形的意义，也具备其性质，因此，长方形也属于平行四边形。同时，长方形的四个角都是直角。正方形本身就是特殊的长方形，除了四条边都相等外，具备了长方形的一切特征，因此，正方形也属于平行四边形。菱形的四条边也相等，也具备了平行四边形的意义和性质， 因此，也属于平行四边形。一般情况下，为了突出本身的特征，上述三种图形分别叫它们为长方形、正方形和菱形，从实质上划分，也可以说它们都是特殊的平行四边形。288三角形应该如何分类？由于三角形是由不在同一直线上的三条线段所围成的封闭图形，因此，三角

21、形必有三条边和三个角。三角形通常用符号“”来表示。三角形的分类方法，一般是按“角”和“边”来划分的，角是根据内角的大小，边是根据边的长短。按内角大小来划分，可分为三类：（1）锐角三角形：每个角都是锐角（小于90）的三角形，叫做锐角三角形。左图中的三角形的三个角都是锐角，所以，abc是锐角三角形。（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形，叫做直角三角形。左图中abc的内角a是直角，因此，这个三角形是直角三角形。（3）钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形，叫做钝角三角形。左图中abc的内角a是钝角，因此，这个三角形是钝角三角形。钝角三角形与锐角三角形的合称，叫做斜三角形。如果按三角形的边的长短来

22、划分，也可分为三类：（1）不等边三角形：三条边互不相等的三角形，叫做不等边三角形。左图中abc的三条边互不相等，所以，这个三角形是不等边三角形。（2）等边三角形：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。左图中的abc三条边都相等，所以，这个三角形是等边三角形。（3）等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。左图中的abc的两条边是相等的，即ab=bc，所以，这个三角形是等腰三角形。由于等边三角形abc中，ab=bc=ac，任选两边都相等，符合等腰三角形的条件，所以，等边三角形也是等腰三角形。上述三角形分类情况如下图所示：289什么叫做“勾股定理”？勾股定理是关于直角三角形边与边之间的关系

23、的定理，即：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b，把斜边记为c，那么它们之间的关系式是：a2+b2=c2在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。如图：一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以，我国古代把边与边关系所形成的定理，叫做勾股定理（如图1）。图（2）中的直角三角形abc中，勾ab=3，股bc=4，弦ac=5。按照勾股定理，所揭示三条边的关系为：3242=52这就是我国最古的算书周髀算经（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是

24、整数时的例证。古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前572年-公元前497年）证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。290怎样推导三角形的面积公式？在认识三角形特征的基础上，推导出三角形的面积公式，既是教学的自然发展，也是教学的重点。推导三角形的面积公式，一般有以下三种方法：（1）将两个全等的直角三角形转化成长方形：采用这种方法，可让学生动手实践，先准备一张长方形纸，事先量出它的长和宽，并计算出面积。在课堂上，用剪刀沿长方形的对角线剪开，形成两个全等的直角三角形。如图：通过剪完后的观察，启发学生找出长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高，而长方形面积则等于两个三角

25、形的面积。由此推导出公式：同理，也可以将两个全等的等腰三角形转化成正方形进行推导。（2）将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形：这是一种通常的推导三角形面积的方法。先剪出两个全等的锐角三角形，将这两个三角形一正一反地组成平行四边形。然后对照进行推导。如图：转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积。由此可推导出公式：也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导。如图：由图中看到：长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高，长方形面积相当于两个全等三角形面积。其公式推

26、导同（1）。（3）将一个三角形转化成长方形：顶点处于同一水平线上，通过割、补即可将这个三角形转化成长方形。如图：这种图形割补的演示方法，也可以让学生动手实践进行剪拼。从图形割补可观察到：三角形转化为长方形后，面积大小没有任何改变，长方形的长相当于三角形的高，长方形的宽相当于三角形底的一半（已割去长方形面积= 长 宽 三角形高 三角形底的一半三角形面积= 高 底2运用交换律得：底 高2291三角形的中线、三角形的中位线以及三角形的高线有什么区别？这是三个完全不同的概念。三角形的中线是指：连结三角形的一个顶点和这个顶点对边的中点的一条线段，叫做三角形的一条中线。下图中，d是bc的中点，ad则是ab

27、c的中线。由于三角形有三个角，也必然有三个顶点，每个顶点都可以与这个顶点对边的中点连结成一条线段，因此，每个三角形有三条中线。三角形的中位线是指：三角形两边中点的连线，叫做三角形的一条中位线。左图中，d、e分别是三角形abc的边ab、ac的中点，在d与e之间作一连线，则de是abc的一条中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。同理，三角形有三条中位线。三角形的高线是指：从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线。简称三角形的高。左图中，adbc于d，线段ad是abc的一条高线。同理，三角形中有三条高线。应该注意的是：（1）直角三角形中，

28、有两条高线与直角边重合。（2）钝角三角形中，有两条高线在三角形之外。如图中的钝角三角形abc，的一个内角c是钝角，则ad是bc边上的高线，be是ac边上的高线。但它们分别与ac、bc的延长线相交于三角形abc的形外。292四边形应该怎样分类？由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。如果没有一组对边平行的四边形，就叫做任意四边形。在小学中所涉及的四边形，都是凸的四边形，即：如果延长四边形的任何一边，而整个四边形都在这边延长线的同旁，那么这样的四边形就叫做凸四边形。四边形在教材中包括以下八种（如下图）：从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内，但各自的名称不相同。1是任意四边形；2是平行四边形；3是

29、长方形；4是正方形；5是菱形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。如果把上面图形归类概括，则四边形可做如下分类：293怎样认识三角形的三个内角和是180？三角形的三个内角和是180，这是三角形内角和的性质。在几何初步知识的教学中，这是一个重要的内容。要通过量一量、折一折、想一想和算一算等实践活动，让学生在掌握内容的同时，培养和发展学生的推理判断能力。教学前，先布置课前作业，要求每个学生剪出六个三角形，即：按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等边三角形和等腰三角。形固定，但数据不做统一要求，这样剪出来的三角形是大小不一的。教师谈话后，先让学生量一量。如：拿出一

30、个直角三角形，让学生量出另外一个角的度数，并报出来，教师立即报出第三个角的度数，然后让学生进行测量核实（用量角器）。如此重复数次，就可以激起学习的兴趣和教学中的悬念。在此基础上，全体学生一起动手测量自制的六个三角形三个内角的度数，并把它们加起来，初步明确：无论是什么样的三角形，也无论它的边是多长和多短，它们内角和都是180。接着，让学生折一折，以丰富学生的感性认识。方法（1）把三角形的三个内角沿虚线折过去，使其组成一个平角，证明三个内角和为180。如图：方法（2）先画出一个平角，再将手中的一个三角形的三个角撕下来，拼在平角上，使三个角正好组成一个平角，进一步证明三角形三个内角和是180。方法（

31、3）把一个正方形沿对角线折成两个三角形，因为正方形四个角都是直角（90），它的内角和是360，所以一个三角形的内角和是180。从以上的实践活动，再通过想一想，上升为理性认识，从而形成概念，这是一个抽象概括、归纳总结的过程。想的过程要通过语言的表述进行检验。最后运用练一练的形式，以达到巩固概念、运用概念的目的。练习内容要分基本型和发展型两类。如：基本型求出下面每个三角形中未知角的度数。已知三角形中1是45，2是60，3是多少度？发展型：三角形中 是 62，2是 29，这是一个什么三角形？三角形的三个内角和是180，如果切去一个角，剩下图形的内角和是多少度？294梯形怎样分类？ 梯形的定义是：只有

32、一组对边平行的四边形，叫做梯形。梯形可分为一般梯形、直角梯形和等腰梯形三类：（1）一般梯形：梯形的各部分名称是这样的：互相平行的两条边，叫做梯形的底，通常上面的一条边称作上底；下面的一条边称作下底，不平行的两条边称作腰。梯形底边和腰的夹角，称作梯形的底角。上底边和腰的夹角，称作上底角；下底边和腰的夹角，称作下底角。图中的a和b是下底角；c和d是上底角。梯形上、下底之间的距离，叫做梯形的高。图中的deab，de是梯形abcd的高。（2）直角梯形：只有一腰垂直于底边的梯形，叫做直角梯形。图中的adab，因此，梯形abcd是直角梯形。（3）等腰梯形：两条腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如图中，ad=bc

33、，因此，梯形abcd是一个等腰梯形。等腰梯形还具有以下两个性质：等腰梯形的上底角相等，下底角也相等。如图中，dab=cba，adc=bcd。等腰梯形的对角线相等。如图中， ac= bd。295怎样进行梯形面积公式的推导？梯形的面积公式是在平行四边形面积公式的基础上进行推导的。在此之前，已建立了梯形的概念，因此，在教学前，可先让学生自制两个全等梯形。铺垫性的准备练习后，拿出4平方厘米的测量板，用数方格的方法，算出梯形面积是多少。（梯形面积占满8个方格，每个方格是4平方厘米，梯形面积为32平方厘米。）然后，让学生将事前准备好的两个全等梯形，一正放，一倒放拼在一起，组成一个平行四边形。提出点拔题：这

34、个平行四边形的底是由梯形的什么组成的？怎样求出平行四边形的面积？怎样求出一个梯形的面积？如图：由此得出：梯形面积=（上底+下底）高 2。也可以用一个梯形通过割、拼的方法，转化成平行四边形。如图：通过上图可以清楚地推导出：还可以通过对一个梯形的割、补，使其转化为三角形，运用求三角形面积的公式，对照观察，从而推导出求梯形面积的公式。对转化后的图观察可知，三角形的底为梯形上底加下底的和，三角形的高相当于原来梯形的高。由此可以推导出梯形面积公式：在此基础上，抽象成求梯形面积的字母公式为：s=（ab）h2。此时，可安排含有具体数字的求梯形面积的练习，以巩固对公式的运用。当推导求梯形面积的第二个公式时，可

35、先让学生在自制的梯形学具上，找出两腰的中点，画出中位线，然后把右下角剪下来，拼在右上方，使梯形转化为平行四边形。如图：割、补后，梯形已转化成平行四边形，面积大小未变。梯形的中位线相当于平行四边形的底，梯形的高也是平行四边形的高。用字母公式表示为：s=mh。第二个公式除转化成平行四边形推导外，还可以转化成长方形进行推导。有了前面的推导基础，这个推导过程，应以学生自己思考为主。由此也可以推导出梯形面积公式：296什么叫做“圆”？在小学数学教材中，圆是平面图形里最后出现的图形。建立圆的概念、明确圆的各部分之间的关系，对于解答圆的周长和面积等实际问题，无疑都是重要的前提条件。圆的概念是：当一条线段绕着

36、它固定的一端（下图中的o点）在平面上旋转一周时，它的另一个端点（下图中的a点）所画成的封闭曲线，叫做圆。到了中学，圆还可以这样下定义：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的轨迹”。或者说：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的集合。”定点叫做圆的圆心（图中的o点）；连接圆心和图上任意一点的线段，叫做圆的半径（图中的oa）；过圆心的弦，叫做圆的直径（图中的bc）；圆所包围的平面部分，叫做圆面。其表示符号为：圆用符号“”表示，以o为圆心的圆、记作“o”，读作“圆o”；半径用字母“r”表示，直径用字母“d”表示。通过对任意半径和任意直径的测量，可以发现：在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相

37、等，直径等于半径的2倍。其字母公式为：圆是轴对称图形。即：把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就完全重合在一起。经过圆心的任意一条直线（即直径）都是圆的对称轴。如图：圆又是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。297什么叫轴对称和轴对称图形？轴对称和轴对称图形是两个有联系的概念。轴对称是指：对于两个几何图形，如果连结他们的对应点之间的线段均被某一定直线垂直平分，这样的两个图形叫做关于这一定直线对称。也就是说，这两个图形轴对称。这一定直线叫对称轴。轴对称图形是指：如果一个图形关于一定直线的对称图形和它自身重合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这一图形的对称轴。轴对称图形并不仅限于

38、圆，其他象等腰三角形、等边三角形以及菱形等，也都是轴对称图形。如图：如图中，沿着直线mn对折后，三角形abc全部重合到三角形 ab c上，三角形 abc与三角形 ab c是轴对称图形，直线mn是对称轴。又如右上图中，四边形abcd沿对角线对折后，对角线两旁的图形能全部重合，所以，四边形abcd是以对角线ac为对称轴的轴对称图形。298什么叫中心对称和中心对称图形？中心对称和中心对称图形，这也是两个有联系的概念。中心对称是指：对于两个几何图形，如果连结它们的对应点之间的线段的中点都和某一定点重合，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做对称中心。中心对称图形是指：如果绕着一个定点旋转180后，

39、两个图形中的每一个能够与另一个原来的位置互相重合，那么，这个图形叫做以这个定点为对称中心的中心对称图形。如图：图中的三角形abc绕着定点o旋转180后，与三角形abc的原来位置互相重合，因此，三角形 abc与三角形 abc是以 o点为对称中心的中心对称图形。除此之外，如果一个图形绕着某一点旋转180后，能够和原来图形本身位置重合，就称这个图形为中心对称图形。这一点叫做对称中心。以平行四边形为例：图中的四边形abcd是平行四边形，绕着对角线交点o旋转180后，能够和原来图形位置重合，因此，平行四边形是以对角线交点o为对称中心的中心对称图形。299什么是弦和弧？弦和弧是和圆有关的两个概念，这两个概

40、念是不能混淆的。弦的概念是：对于一个圆，连结圆上任意两点的线段叫做弦。弦里面包括直径，因为通过圆心的弦叫做直径，但弦里面又不限于直径，因为“连结圆上任意两点的线段”并不一定都通过圆心。如图：（l）（ 2）的图中， ab是圆 o上的任意两点，所以，线段 ab是圆o上的一条弦。所不同的是：图（1）中的这条兹是圆o的直径；图（2）中的这条弦则不是。弧的概念是：圆上任意两点间的部分，叫做圆弧，简称弧。一般意义下，弧即指曲线，或曲线的部分。弧用符号“”来表示，如：以点a、b为端点的弧，记作ab，为了避免混淆，有时也记作。见下图：在图中，以ab为端点的弧，记作ab；以ac为端点的弧，记作ac。对于同圆（或

41、等圆）的两段弧，可以加以比较：通过运动，使它们的圆心相重合，两弧的端点也重合，则说这两弧是相等的。圆的任一直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。如上图，bc是圆的直径，以b、c为端点，把圆分成两个半圆。对于圆弧，把小于半圆的弧，叫做劣弧，把大于半圆的弧，叫做优弧。300圆心角和圆周角一样吗？圆心角与圆周角是两个完全不同的概念，前者与圆心有关，后者与圆弧有关。圆心角是指：分别连结圆心到圆弧的两个端点所成的角，叫做这个圆弧的圆心角。在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角相等，则该圆心角所夹的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距（从圆心到弦的距离）也相等。如图：图（1）中，aob的顶点 o即

42、为圆 o的圆心，因此，aob是圆心角。图（2）中ocab，oc是ab的弦心距。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。图（1）中，aob的度数=ab的度数。圆周角是指：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。对于一个圆周角，角的内部必然夹了一段圆弧，通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角；角的外部也有一段圆弧，有时也把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。如图：圆中的bac的顶点a在圆上，并且角的两边ab、ac都与圆相交，因此，bac是圆o的圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。如301什么是圆和圆的位置关系？圆与圆之间有以下五种位置关系：（1）外离。两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都各

43、在另一个的外部时，叫做这两个圆外离。图中两圆的半径分别为r、 r，圆心距为 d，则 dr r外离（其中“”表示等价），即当dr+r时，两圆则外离；反之，当两圆外离时，则dr+r。（2）外切。两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。图中的两圆半径分别为r、r，圆心距d，则d=r+r外切。（3）相交。两个圆有两个公共点时，这两个圆叫做相交。图中两圆半径分别为r、r，圆心距为d，则r-rdrr（rr）相交。（4）内切。两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个公共点叫做切点。图中两

44、圆半径分别为r、r，圆心距为d，则d=r-r，（rr）内切。（5）内含。两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含（如左图）。右图为同心圆，同心圆则是内含的一种特例。图中两个圆的半径分别为r、r，圆心距为d，则dr-r（rr）内含。302圆周长和圆周率有什么关系？这是两个不同的概念。但计算圆周长时，必须明确什么是圆周率，否则，圆周长的公式将无法推导出来。圆周长是指圆的长度，通常用字母c表示。圆周率是指圆的周长c与直径2r的比值。圆周率通常用希腊字母“”来表示。任何一个圆，不论是大还是小，当用直径去量圆周长时，就会发现圆周长都是它直径的3倍多一点，也就是说，圆的周长

45、和直径的比是一个常数，这个常数是个超越数，或者说：圆周率是一个无限不循环小数。由于是无限不循环小数，它的真值是永远写不完的。31415926535897932384626。在实用中，并不需要如此精密，在小学数学教材里，通常取圆周率的近似值为：314在明确圆周率的基础上，可以推导出圆周长公式。如果圆周长为c，半径为r，直径为d，那么c=2r，或c=d在小学生的数学语言中，圆的周长公式一般概括为：圆的周长=直径例（1）已知圆的半径为5厘米，求圆的周长是多少？c= 2r（或半径2）=23145=314（厘米）答：圆的周长是314厘米。例（2）已知圆的直径为20厘米，求圆的周长是多少？c=d（或直径）

46、= 20 314=628（厘米）答：圆的周长是628厘米。303.值是如何计算的？我国古代的周髀算经里，对于值曾得出“周三径一”的结论。古希腊的学者阿基米德用“逼近法”从圆内接正六边形，一直到正96边形，得我国魏晋南北朝时代的数学家刘徽，也应用“逼近法”用到圆内接正192边形，得到的值为314，南北朝时代的数学家祖冲之（公元429-500年），计算出的近似值在31415926-31415927之间，这是世界上计算值精确到小数点后七位的第一个人，他还运用两个分数来表示直到一千多年后的公元1573年，欧州人奥托才求出来。祖冲之在数学上的伟大贡献得到了世界的公认，为了纪念祖冲之这一贡献，将密率称为“

47、祖率”。1959年10月4日，苏联发射了第三枚宇宙火箭，第一次拍摄了月球背面的照片，并把月球上的“火谷”、“平原都做了命名，把其中一个环形山定名为“祖冲之山”。由此可见，祖冲之在国际上所享有的崇高荣誉。到16世纪，法国人韦达计算出的值是小数点后10位。1615年德国人鲁道夫算到小数点后35位，即：314159265358979323816264338327950288。他死后，人们还把这个数值刻在他的墓碑上。以后英国人夏普算到小数点后72位，到1946年美国人连契算到小数点后808位，1973年有人算到小数位达100万位，1983年达到了16777216位。最近一位美国科学家使用先进的巨型电脑

48、“克雷-2”仅用了28小时，就算出了小数点后有2936万位的值，创下了最新的世界记录。如果把这个惊人的位数全部记录下来，长度可达60千米，或者相当于50本500页的长篇小说。在这么长的数字中，出现了一些奇特的情况，即小数点后第710100位起，320465位起，都连续出现七个3-3333333；一千位中连续出现六个相同的数字的有37次。如 762位开始出现999999，从995998位起，出现23456789；但从2747956位起，又出现876543210。至于值还可以算到小数点后的多少位，还待人们继续耐心地算下去。304怎样推导圆的周长公式？推导圆的周长公式是小学数学教学的重要内容之一。这

49、是因为在这部分知识中，不仅要使学生认识圆的周长、理解圆的周长与直径之间的关系；还要掌握圆的周长公式，并能正确计算圆的周长。在这些教学要求中，推导并掌握圆的周长公式，无疑是教学的重点。新课前，教师要安排必要的铺垫性练习，可从复习长、正方形的周长公式入手，结合提问做如下板书：c2（ab）在长方形周长公式的基础上，出示有关正方形周长的板书：c4a随着铺垫性练习教师可让学生以正方形对角线的交点为圆心，用事先准备好的正方形纸画一个最大的圆，然后量出这个圆的直径，并把这个圆剪下来，明确圆周长的概念，进而自然地导入新知识。新知识的实践，讨论可大体上按下列步骤安排：（1）动手实践：用直尺测量圆的周长。将图沿直

50、尺滚动，并用小线围绕圆周，然后进行测量。测量结果填在下表内。（2）激疑设问：教师可通过圆铅笔的截面、黑板画圆和抡动一端系有物品的小线，提问如何测量这些圆的周长，此时还可以通过投影器中的各种圆，启发学生观察圆的周长与直径的关系。（3）概括小结：在组织学生进行同桌或分组议论的基础上，初步概括：圆有周长总是它直径的3倍多。同时指出：在同一个圆里，周长与直径的倍数是固定不变的。这个不变的倍数在数学中叫做“圆周率”。此时可简要介绍祖冲之在圆周率研究上的杰出贡献。圆周率用字母来表示，在小学中值取小数点后两位，即314。归纳圆周长公式：圆的周长=直径抽象成字母公式：c=d或 c=2r（4）反馈练习：（略）进

51、行上述安排时，要求课前做好充分的准备，如教师的投影片等其他教具，学生的正方形纸、剪刀等各种学具。在推导圆的周长公式前，要明确建立圆周率的概念，在教学的全过程中，这是一个必须突破的难点。305圆面积与扇形面积有什么关系？ 教材中先安排圆的认识和圆面积的求法，后安排扇形的认识和扇形面积的求法，这是因为扇形是圆的一部分，扇形面积也是圆面积的一部分。从知识上看，前者是整体，后者是部分；从方法上看，前者是基础，后者是发展。圆面积就是指圆内部的大小。圆面积等于半径乘以半径再乘以。如果圆面积用s表示，半径用r表示，直径用d表示，那么抽象成字母公式为：通过把一个圆分成若干等份（如16等份），如图甲，来分析圆面

52、积的公式。再把圆剪成16等块（如图乙），把“1”那一块分成两半，把它们拼成近似于长方形的图形（如图丙），这时“长方形”的长是原圆周长的一半，宽是圆的半径，由此可得出字母公式如下：长方形的面积=长宽=rr=r2圆面积公式为：s=r2例（1）求半径为3厘米的圆的面积。解：s=r2=3.1432=28.26（平方厘米）或s=333.14=28.26（平方厘米）答：这个圆的面积是28.26平方厘米。例（2）求直径为3.5厘米的圆的面积。答：这个圆的面积是9.61625平方厘米。由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。根据圆的面积=r2，扇形圆心角的度数用n来表示，可以得出扇形面积公式为：例如：求半径r=6厘米，圆心角为60的扇形面积。答：这个扇形的面积是18.84平方厘米。306同心圆和圆环有什么联系和区别？这是两个不同的概念，但它们又有所联系，既同属于“圆”的范畴，在一定意义上，又有着整体与部分、前提与发展的关系。同心圆是指：圆心相同，半径不相等的圆，叫做同心圆（如图甲）。圆环是指：两个同心圆所夹的部分，叫做圆环（如图乙）。如图甲所示：这两个圆由于具有相同的圆心，但它们的半径分别是r1和r2（r1r2），因此它们是同心圆。图乙所示：这两个同心圆所夹的阴影部分，