空间解几和二元函数偏导数全微分及

1、1 第六章 多元函数微积分 第一节 空间解析几何简介 2 一.建立空间直角坐标系 3 x横轴横轴 y纵轴 纵轴 z竖轴竖轴 定点定点o 空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向 符合符合右手系右手系. 即以右手握住即以右手握住z轴，轴， 当右手的四个手指当右手的四个手指 从正向从正向x轴以轴以 2 角角 度转向正向度转向正向y轴轴 时，大拇指的指向时，大拇指的指向 就是就是z轴的正向轴的正向. 空间点的直角坐标 4 x yo z xoy面面 yoz面面 zox面面 空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限 5 空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx

2、11 特殊点的表示特殊点的表示: )0 , 0 , 0(O ),(zyxM x y z o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ),(zoxC 坐标轴上的点坐标轴上的点 ,P ,Q,R 坐标面上的点坐标面上的点 ,A,B,C 6 设设),( 1111 zyxM、),( 2222 zyxM为为空空间间两两点点 x y z o 1 M PN Q R 2 M ? 21 MMd 在在直直角角 21NM M 及及 直直 角角PNM 1 中中，使使用用勾勾股股定定 理理知知 , 2 2 22 1 2 NMPNPMd 二、空间两点间的距离

3、7 , 121 xxPM , 12 yyPN , 122 zzNM 2 2 22 1 NMPNPMd . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为 ,),(zyxM)0 , 0 , 0(O OMd . 222 zyx x y z o 1 M PN Q R 2 M 8 0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程 三、平面的一般方程 9 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况： , 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； , 0)2( A , 0 , 0 D D平面通过平面通过

4、 轴；轴；x 平面平行于平面平行于 轴；轴；x , 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy 类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA 0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. 0 DCzByAx 10 例例: :求求过过y轴及点轴及点)2, 3, 6( 的平面方程的平面方程. 03 ,3 zx xz 3 0 z z yxz 表示斜的平面 表示坐标面 表示平行于坐标面的水平面 11 例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、 )0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ， 求

5、求此此平平面面方方程程. 设平面为设平面为, 0 DCzByAx 将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0 , 0 , 0 DcC DbB DaA , a D A , b D B . c D C 解解 12 , a D A , b D B , c D C 将将 代入所设方程得代入所设方程得 1 c z b y a x 平面的截距式方程平面的截距式方程 x轴轴上上截截距距 y轴轴上上截截距距 z轴轴上上截截距距 ),0,0(),0,0(),0,0,(cba过 13 四、空间曲线与方程 14 0),( 0),( zyxG zyxF 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都

6、满足 方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程. x o z y 1 S 2 S C 空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线. 特点特点： 1、空间曲线的一般方程 15 例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx 表示圆柱面，表示圆柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆交线为椭圆. 16 例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4 ) 2

7、 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圆柱面圆柱面, 交线如图交线如图. 17 18 0),( 0),( zyxG zyxF 消去变量消去变量z后得：后得： 0),( yxH 曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的投影柱面的特征特征： 2、空间曲线在坐标面上的投影 19 如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. 空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线

8、投影柱面投影柱面 20 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 0 0),( z yxH 空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy 21 补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. . 空间立体空间立体 曲面曲面 22 面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0 , 1 22 z yx 一个圆一个圆, 面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在xoy . 1

9、 22 yx 23 五、二次曲面和一般曲面 24 水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义：曲面方程的定义： 如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系： （1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程； （2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程； 那么，方程那么，方程0),( zyxF就叫做曲面就叫做曲面S的方程，的方程， 而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形 曲面的实例：曲面的实

10、例： 1、曲面方程的概念 25 以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. 例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),( 0000 zyxM、半半径径为为R 的的球球面面方方程程. 解解 设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点， RMM | 0 根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 Rzzyyxx 所求方程为所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx 26 2511 222 zyx表示球心在)0 , 1, 1 ( 球半径为 5的球面方程 请你写出球心在 )2, 2 , 1 (球半径为 的

11、球面方程5 5221 222 zyx 04442 222 zyxzyx 27 例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4 , 3 , 2( 0 M的的距距离离之之比比为为2:1的的 点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程. 解解 设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点， , 2 1 | | 0 MM MO 根据题意有根据题意有 , 2 1 432 222 222 zyx zyx . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 zyx所求方程为所求方程为 28 2、旋转曲面 29 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的 旋转曲面的方程旋

12、转曲面的方程 （1）双曲线）双曲线1 2 2 2 2 c z a x 分别绕分别绕x轴和轴和z轴；轴； 绕绕x轴轴旋旋转转 绕绕z轴轴旋旋转转 1 2 22 2 2 c zy a x 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转双曲面旋转双曲面 30 绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴轴旋旋转转 1 2 22 2 2 c zx a y 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转椭球面旋转椭球面 pzyx2 22 旋转抛物面旋转抛物面 31 定义定义 3、柱面、柱面 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. . CL 这条定曲线这

13、条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线 ，动直线，动直线 叫叫 柱面的柱面的母线母线. C L 32 从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在 空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱 面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推） （其他类推） 实实 例例 1 2 2 2 2 c z b y 椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x 1 2 2 2 2 b y a x 双曲柱面双曲柱面 / 轴轴 z pzx2 2 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴 y 33 柱面举例柱面举例 x o z y x o z

14、 y xy2 2 抛物柱面抛物柱面 xy 平面平面 空间上表示面，而不是线 34 第二节 多元函数的基本概念 在很多实际问题中，往往牵涉到多方面 的因素，反映到数学上，就是一个变量 依赖于几个变量的情形，这就提出了多 元函数微分和积分的问题，本章将在一 元微分的基础上，讨论二元及二元以上 的多元函数的微分。 35 设设),( 000 yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某 一正数，与点一正数，与点),( 000 yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP 的全体，称为点的全体，称为点 0 P的的 邻域，记为邻域，记为),( 0 PU， （1）邻域）邻域 0 P ),( 0

15、 PU | 0 PPP .)()(| ),( 2 0 2 0 yyxxyx 一、多元函数的概念 36 （2）区域）区域 . )( 的的内内点点为为则则称称 ，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点 是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设 EP EPUP PE .EE 的内点属于的内点属于 E P .为为开开集集则则称称 的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集 E E 41),( 22 1 yxyxE例如，例如， 即为开集即为开集 37 的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于 ，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也

16、有不属于 的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点 EPE EPE EP E P 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE 是连通的是连通的开集开集 ，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于 连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线 内内是开集如果对于是开集如果对于设设 D D DD 38 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域 .41| ),( 22 yxyx例如，例如，x y o 开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. .41| ),( 22 yxyx例如，例如， x y o

17、 39 0| ),( yxyx 有界闭区域；有界闭区域； 无界开区域无界开区域 x y o 例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集 为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切 即即 ，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点 ，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集 EEP KAP KAPAEP KE 41| ),( 22 yxyx 40 （3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的 一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限 多多个个点点属属于于点点集集 E，则

18、则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点； 10| ),( 22 yxyx 例例 (0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 41 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E 10| ),( 22 yxyx例如例如, (0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合 1| ),( 22 yxyx例如例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合 42 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点 DyxP ),(，变量，变量z按照一定的法则总有确

19、定的按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称值和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为 ),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）. . （5）二元函数的定义）二元函数的定义 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、 因因变变量量等等概概念念. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 43 例例1 1 求求 的定义域的定义域 2 22 )3arcsin( ),( yx yx yxf 解解 0 13 2 22 yx yx 2 22 42 yx yx 所

20、求定义域为所求定义域为 ., 42| ),( 222 yxyxyxD 44 一元函数的定义域-是区间 二元函数的定义域-是区域 ，问题比较复杂。 45 （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意 取定的取定的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为 ),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐 标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM， 当当x取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzy

21、x ，这个点集称，这个点集称 为二元函数的图形为二元函数的图形. （如下页图）（如下页图） 46 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. 47 22 4yxz yxz2 3z 上半球面 表示斜的平面 水平面 22 yxz圆锥面 xyz 表示马鞍面 48 22 4yxz 的定义域 4 04 22 22 yx yx 二元函数的函数值 22 4),(yxyxfz 2114) 1 , 1 ( 24)0 , 0( f f 表示圆域 49 ),( 000 yxfz 函数值 例：已知 y x yxfzsin),( 求： ) 2 , 1 ( f 解： 1 2 sin 2 1 sin) 2

22、, 1 ( f 与一元函数类似，有定义域和函数值 但是有关于极限和连续就很复杂，在此只是简单了解 50 例：已知 xy x yxfz 2 ),( 求： 解： ),(xy y x fz xxy x y x xy y x xy y x fz 2 2 ),( 2 例：已知 22 ),( yx xy xyyxf 求： ),(yxf yx y yxf xyvyxu vu v vuf xyyx xy yx xy xyyxf 2 ),( , 2 ),( 2)( ),( 2 2 222 解： 51 二、二元函数的极限 (, )P xy (, )P xy 设函数f(x,y)在点 的某邻域内有定义， 是该邻域内不

23、同于 的任意一点,如果 以任何 方式无限的接近 , f(x,y)趋近一个确定的常数A,称A是函 数的极限. 000 (,)P xy 0 P 0 P 52 如果对于任意给定的正数，总存在，使 得对于适合不等式 的一切点的一切点P(x,y)D,都有都有|f(x,y)-A| 53 1 ( , ) (3,0) lim (1)y x y xy 22 ( , )(0,0) 1 cos lim x y xy x y 1 3 ( , )(3,0) lim(1) x xy x y xye 22 22 ( , )(0,0) 1 2 lim 2 x y x y x y 54 2222 0 0 22 )0 , 0()

24、,( 1 limlim k k xkx xkx yx xy kxy xyx 极限不存在 55 三、二元函数的连续 0lim)2 ).,(),(lim) 1 )0 , 0(),( 00 ),(),( 00 z yxfyxf yx yxyx 56 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D 上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如 果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上 取得

25、介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次 （1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 （2）介值定理）介值定理 57 对于导数，我们会重点介绍 58 第三节 偏导数 一 偏导数的定义及其计算法 1.函数增量 ),(),( ),(),( ,),(),( 0000 0000 00 yxfyyxfzy yxfyxxfzx yxyxyxfz y x 的偏增量关于 的偏增量关于 ),(),( , ,),(),( 0000 00 yxfyyxxfz yx yxyxyxfz 的全增量关于 )()( ),()(),(),( 00 00000000 xzyyz yxfyyxyyxfyy

26、xxfz yx ， 59 60 61 y yxfyyxf y z yxf x yxfyxxf x z yxf y y y y x x x x ),(),( limlim ),( ),(),( limlim ),( 0000 00 00 0000 00 00 ),(3 ),(),3( lim 00 0000 0 yxf x yxfyxxf x x 62 y fyf y z f x fxf x z f y y y y x x x x )0 , 0()0 , 0( limlim )0 , 0( )0 , 0()0 ,0( limlim )0 , 0( 00 00 0 )( lim 0)0(0 lim

27、)0 , 0( lim 00)0( lim)0 , 0( 2 0 42 0 0 42 0 42 y y y y f x x x x f yxz yy y xx x 不存在例 63 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 不连续但是有 两个偏导数 一元函数一元函数:可导一定连续可导一定连续; 二元函数二元函数:可导与连续是无关条件可导与连续是无关条件. 64 65 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx , ),(),( lim),( 0 x zyxfzyxxf zyxf x x ,

28、 ),(),( lim),( 0 y zyxfzyyxf zyxf y y . ),(),( lim),( 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 66 求偏导数的法则：求偏导数的法则： 对于某个变量求导数，只要将其它的量当对于某个变量求导数，只要将其它的量当 作常数。类似一元函数，利用作常数。类似一元函数，利用1414个导数公个导数公 式以及四则运算法则及复合求导法则进行式以及四则运算法则及复合求导法则进行 求导。求导。 67 2 2 2 2 1 1 )(arctan sec)(tan 1 ) 1 ( sin)(cos 1 )(ln 2 1 )( 2)( y y yy yy yy y

29、y y y yy 68 例例 1 1 求求 22 3yxyxz 在在点点)2 , 1(处处的的偏偏导导数数 解解 x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 69 22 1), 2) xy x zzz y zxy 求 例2 求下列函数的偏导数 复合函数 对于一个变量求导时候,将其他的 变量看作常数 22 11 :, xy x zzx yyy 解 2222 22 1 :2 2 x y x zx xyxy y z xy 解 70 证证 xxz y z yxz x z xz y y y x y ln, 1 zxxx xx x y

30、x y x y z xx z y x yyy yy 22 ln ln 1 ln 1 1 原结论成立原结论成立 71 解解 x z y z 练习求练习求 xyxzcos) 1 2 xyxxxy y z xyyxyxyx x z sinsin0 sin2sin) 1(2 y x ztan)2 解： y x y x y x y x y z y x yyy x x z 2 22 2 22 sec)(sec sec 11 sec 72 解解 x z y z 求求 xyxzsin)3 xyxyxyyxyxxy x z cossincossin xyxxxyx y z coscos 2 73 ()sin(c

31、os ) ()sin xyxy xy z yexex x z xex y 4)sin xy zex 74 14 4 4343 13 3 4343 z xxyxy z yxyxy 5)ln(43 )zxy 75 解解 x z y z 求求 xyzarctan)6 222 222 1)(1 1 1)(1 1 arctan yx x x xyy z yx y y xyx z xyz 76 y x zarctan)7 2 2222 2 222 2 111 1 ( ) 1 () 1 ( ) zyy x xyyxyyx y zxx x yyyx y 77 例例如如,函函数数 0, 0 0, ),( 22

32、22 22 yx yx yx xy yxf, 依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yx ff. 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续. 一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续， 多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续， 偏导数存在而且偏导数存在而且偏导数偏导数 是连续是连续 二元函数二元函数连续连续. 二二. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系 78 偏导数存在而且偏导数存在而且偏导数偏导数 是连续是连续 二元函数二元函数连续连续. 79 三、偏导数的几何意义 80

33、偏导数的几何意义偏导数的几何意义 ,),(),(,( 00000 上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图如图 81 偏偏导导数数),( 00 yxf x 就就是是曲曲面面被被平平面面 0 yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点 0 M处处的的切切线线 x TM 0 对对x轴轴的的 斜斜率率. 偏偏导导数数),( 00 yxf y 就就是是曲曲面面被被平平面面 0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点 0 M处处的的切切线线 y TM 0 对对y轴轴的的 斜斜率率. 82 ),( 2 2 yxf x z x z x xx ),( 2 2 yxf y z y z y yy ),(

34、 2 yxf yx z x z y xy ),( 2 yxf xy z y z x yx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. . 四、高阶偏导数 83 ),(yxfz ),(yxfz xx ),(yxfz yy ),(yxfz xxxx ),(yxfz xyxy ),(yxfz yyyy ),(yxfz yxyx 84 解解 xyyx xy yy xx y x zyyxz yyxyyxz xyxyxxz xyz xxyyxxyxyxz yyyxz xyx

35、yyxz 196 1961923 182292 6 92332 33 13 22 2222 33 2 2323 322 323 85 例例 7 7 设设byeu ax cos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. 解解 ,cosbyae x u ax ;sinbybe y u ax ,cos 2 2 2 byea x u ax ,cos 2 2 2 byeb y u ax ,sin 2 byabe yx u ax .sin 2 byabe xy u ax 86 解解 xy z yx z y z x z 22 2 2 2 2 ,练习求练习求 xyxzcos) 1 2 xyyxyxyx x z sin2s

36、in) 1(2 xyxxxy y z sinsin0 xyxyxyxyyxxyz xyyyxyyz xy xx cossincossin1 0 cos2cos2 2 xyxyxyxyxyxyz xyxz yx yy cossincossin1 cos 2 87 y x zarctan)2 ; 11 )(1 1 2222 2 2xy y yxy y y y x x z 解 222222 2222222 222222222 022 ()() 1()22 ()()() xx xy y xxy z yxyx yxy yyxyxy z yxyxyx yx z x z 2 2 2 , 求 88 xy z

37、yx z y z x z 22 2 2 2 2 , xy ez 2 ) 3 2 222 222 222 2;(2 ) 22 22(12) 2;(2 ) xy xyxy xxx xyxyxy xy xyxy yyy xyyx ze zyezye zey xeexy zxezx e zz 解: 89 五.偏导数在经济上的应用 联合成本函数分析 需求函数的边际分析 局部弹性 n(1).需求的自身价格弹性 n(2).需求的交叉价格弹性 n(3)需求的收入弹性 90 第五节、多元复合函数及隐函数 的求导法则 )sin(yxez xy xyu yxv 二元的复合函数 中间变量 将复合函数拆成简单函数vez

38、 u sin 一、多元复合函数一、多元复合函数 91 例例 1 1 设设vez u sin ，而而xyu ，yxv ， 求求 x z 和和 y z . 解法解法1 直接代入得到直接代入得到)sin(yxez xy )cos()sin( )sin()sin( )cos()sin( )sin()sin()( yxeyxxe yxeyxez yxeyxye yxeyxez xyxy y xy y xy y xyxy x xy x xy x 解：利用乘法法则 92 定理6.4 如果函数 ,在点 处有偏导数,函数 有连续偏导数,那么复合函数 在点 也有对x和y的偏导数 ( , ),( , )ux y v

39、x y ( , )x y ( , ), )zf u vu v在对应点（ ( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y x z u z x u v z , x v y z u z y u v z . y v 93 u v x z y 定理定理6.4:(链式法则链式法则)如图示如图示 x z u z x u v z , x v y z u z y u v z . y v 94 z w v u y x 95 例例 1 1 设设vez u sin ，而而xyu ，yxv ， 求求 x z 和和 y z . 解解 96 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而 t eu ，tvcos ，

40、求求全全导导数数 dt dz . 解解 97 解解 z t v u t t 通过变量关系图可以看出这是个一元函数 z dt dz 代入中间变量求导数 98 ttez t sincos ttte ttete ttete ttez dt dz t tt tt t cos)sin(cos cos)sin(cos )(sin)(coscos)( )sincos( 解解: 99 解解 直接代入得到直接代入得到 )3ln( 2 yxyxz yx yx yxx yx yxyxx yxyxyxyxz yx yx yxxy yx yxyxxy yxyxyxyxz yyy xxx 3 3 )3ln( 3 3 1

41、)3ln( )3ln()3ln( 3 )3ln(2 3 1 )3ln(2 )3ln()3ln()( 2 2 22 22 2 2 22 解：利用乘法法则 100 以上是具体的复合函数以上是具体的复合函数 下面我们介绍抽象函数如何求偏导数？下面我们介绍抽象函数如何求偏导数？ 101 抽象函数求偏导数抽象函数求偏导数 解解 32 ,37),(yxvyxuvufz z u v x y x y )2,1(个变量第变量第fz 102 2 22 1 22 21 2 3 1 3 21 32 3333 2727 ),37( fyxfyxff y z fxyfxyff x z yxyxfz 2 22 13 22

42、21 32 3 13 3 21 32 33033 cos27cos27 )sin,37( fyxffyxff y z f xfxyfxfxyff x z xyxyxfz 103 解解 2121 2121 2121 1 1 1 xyffxyff z w xzffxzff y w yzffyzff x w 这是个三元的函数 104 证证: 105 222 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 12 2 21 2 21 2 2 21 2 2 2 21 2121 2121 )()()()( )(sin)(cos)(sin)(cos sincossincos cossin 1 sincos)(

43、 1 )( ; cossincos)sin( sincossincos )sin,cos( y z x z ff ffff ffff frfr r ff z rr z y z f x z f frfrrfrf z ffff r z rrfz 证证: 106 二、隐函数求导 因变量在方程中出现两次以上因变量在方程中出现两次以上. . 有一元的隐函数有一元的隐函数, ,也有二元隐函数也有二元隐函数 x y yxarctanln 22 04 222 zzyx 一元的隐函数一元的隐函数 二元的隐函数二元的隐函数 107 0),(. 1 yxF 一个方程的情形 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 108

44、x y F Fdy x F dxF y 0),(yxF 109 解法1 两边求导 解法2 利用偏导数做 xy yx xy yx F F dx dy y xyFyxF yxyxyxF y x yx 26 2 62 2 620; 02 6),( 22 2 22 由隐函数求导公式 设 110 解解 令令 则则 22 222222222 2 22 2222 2222 1 12 2 1 arctan)ln( 2 1 arctanln),( yx xy F y F yx yx yx y yx x x y yx x yx x x y x y yx x F x F x y yx x y yxyxF y x 2

45、2 22 x y xy Fdyxyxy yx dxFxy xy 111 二元隐函数 112 0),(. 2 zyxF 113 0),(zyxF x z Fz xF y z F z yF 计算3个偏导数, xyz F F F 114 解解令令 则则 ,4),( 222 zzyxzyxF 2 , x Fx 24, z Fz , 2 x z Fzx xFz y z x z , 2 y Fy 代公式 2 242 y z F zyy yFzz 115 解解令令 222 ( , , )35 2 6 10 22 1010 66 1010 x y z x x z y y z F x y zxyzxyz Fxy

46、z Fyxz Fzxy Fxyzxyz z Fzxyxyz F yxzyxz z Fzxyxyz 则 代公式 y z x z , 116 第四节、全微分 117 ),(),(yxfyxxf ( , ) x fx yx ),(),(yxfyyxf ( , ) y fx yy 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得 1、全微分的定义 118 全增量的概念全增量的概念 119 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfy

47、yxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于 yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关， 22 )()(yx ， 则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分， yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的 全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . . 全微分的定义全微分的定义 120 函数若在某区域函数若在某区域 D 内各点处处可微分，内各点处处可微分， 则称这函数在则称这函数在 D 内可微分内可微分. 事实上事实上),( oyBxAz , 0lim 0 z ),(lim 0 0 yyxxf

48、y x ),(lim 0 zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 121 dy y z dx x z dz 2、可微的条件 122 证证 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域 )( oyBxAz 总成立总成立, 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此此时时| x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A x yxfyxxf x ),(),( lim 0 , x z 同理可得同理可得 . y z B 123 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在

49、微分存在 多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在 例如，例如，. 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 124 )0 , 0()0 , 0(yfxfz yx , )()( 22 yx yx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(， 则则 22 )()(yx yx 22 )()(xx xx , 2 1 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时， (0,0)(0,0)( ), xy zfxfyo 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微. 125 说明说明：多元函数

50、的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在微分存在 证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 126 ),(),(yyxfyyxxf 1 (,) x fxx yyx )10( 1 在在第第一一个个方方括括号号内内，应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 1 ( , ) x fx yxx （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性） 且且当当0, 0 yx时时，0 1 . 其中其中 1 为为yx ,的函数的函数, 127 1 ( , ) x fx yxx 2 ( , ) y fx yyy z 21 21 yx ,

51、0 0 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微. 同理同理),(),(yxfyyxf 2 ( , ), y fx yyy 当当0 y时时，0 2 , 128 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dy y z dx x z dz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 .dz z u dy y u dx x u du 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情

52、况 129 例例 1 1 计计算算函函数数 xy ez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分. 解解 , xy ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z .2 22 )1 , 2( dyedxedz所求全微分所求全微分 .dyxedxyedz xyxy 130 例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当 4 x， y， 4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解 ),2sin(yxy x z ),2sin(2)2cos(yxyyx y z dy y z dx x z dz ), 4 ( ), 4 ( ),

53、4 ( ).74( 8 2 dyyxyyxdxyxy dy y z dx x z dz )2sin(2)2cos()2sin( 131 例例 3 3 计算函数计算函数 yz e y xu 2 sin的全微分的全微分. 解解 , 1 x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u , yz ye z u 所求全微分所求全微分 .) 2 cos 2 1 (dzyedyze y dxdu yzyz 这是三元的函数 132 关系 133 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 134 全微分在近似

54、计算中的应用 135 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 ( , )( , ) ( , ),( , ), xy zf x yP x y fx yfx yxy 当二元函数在点的两 个偏导数连续，且 都较小时，有近似等式 ( , )( , ). xy zdzfx yxfx yy 也可写成也可写成 (,) ( , )( , )( , ). xy f xx yy f x yfx yxfx yy 136 解解 .),( y xyxf 设函数设函数 .02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取 , 1)2 , 1( f 1 ( , ), y x fx yyx ( , )ln , y y

55、 fx yxx (1,2)2, x f (1,2)0, y f 由公式得由公式得 02. 0004. 021)04. 1( 02. 2 .08. 1 137 第六节、多元函数的极值和最值 138 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的 每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本 地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁

56、可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？取得最大收益？ x y yx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf )7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值. 1、问题的提出 139 2、多元函数的极值和最值 140 二元函数极值的定义 141 设函数设函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx的某邻域内的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),( 00 yx的点的点),(yx： 若满足不等式若满足不等式),(),( 00 yxfyxf ，则称函数，则称

57、函数 在在),( 00 yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ),(),( 00 yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),( 00 yx有极有极 小值；小值； 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点. . 142 (1) (2) (3) 例例1 1 处有极小值处有极小值在在 函数函数 )0 , 0( 43 22 yxz 例例 处有极大值处有极大值在在 函数函数 )0 , 0( 22 yxz 例例 处无极值处无极值在在 函数

58、函数 )0 , 0( xyz 143 多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),( 00 yx处处有有极极大大值值, 则对于则对于),( 00 yx的某邻域内任意的某邻域内任意 ),(yx),( 00 yx 都都有有 ),(yxf),( 00 yxf, 证证 144 故故当当 0 yy ， 0 xx 时时，有有 ),( 0 yxf),( 00 yxf, 说说明明一一元元函函数数),( 0 yxf在在 0 xx 处处有有极极大大值值, 必必有有 0),( 00 yxf x ; 类类似似地地可可证证 0),( 00 yxf y . 推广推广 如果三元函数

59、如果三元函数),(zyxfu 在点在点),( 000 zyxP 具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),( 000 zyxP有极值的必要条有极值的必要条 件为件为 0),( 000 zyxf x ， 0),( 000 zyxf y ， 0),( 000 zyxfz. 145 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点. 驻点驻点极值点极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意：注

60、意： 146 147 148 yxyxz2214 22 149 例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22 222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 04222 04222 yy xx zzzy zzzx 由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P, 将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数, 解解 隐函数求极值 150 , 2 1 |, 0|, 2 1 | z zCzB z zA PyyPxyPxx 故故 )2(0 )2( 1 2 2 z z ACB,函函数