空间几何0427

1、确定确定 ，使直线使直线 1 2 1 1 1 zyx 和直线和直线 11 1 1 1zyx 相交。相交。 1 2 1 1 因为因为 所以两直线不平行所以两直线不平行 两个点构成向量两个点构成向量 s=2,-2,1, 与第二条直线在与第二条直线在 同一面同一面 ,法向取法向取 4 5 ,只要共面即相交只要共面即相交 2 ssn 它与第一条线方向向量垂直，所以它与第一条线方向向量垂直，所以 0 1 sn 1 , 1 , 1 2 s cbaabc)( 直线过点直线过点 A (-3,5,-9) 且和两直线且和两直线 32 53 : 1 xz xy l 105 74 : 2 xz xy l 相交，相交，

2、求此直线方程。求此直线方程。 过点过点 A 及直线及直线 l1 作平面作平面 、 1 过点过点 A 及直线及直线 l2 作平面作平面2 则则 2 的交线即为所求直线。的交线即为所求直线。 故作过直线故作过直线 l1 的平面束的平面束0)53(32 yxzx 将将 A 点坐标代入点坐标代入，, 0 得得所以所以 1 032: 1 zx 同理可求得同理可求得053634: 2 zyx 所以所求直线为所以所求直线为 053634 032 zyx zx 一直线一直线 L 绕一相交的定直线在空间转动绕一相交的定直线在空间转动， 转动时始终与定直线保持定角转动时始终与定直线保持定角 ), 2 0( 则这直

3、线形成则这直线形成 动直线与定直线的交点动直线与定直线的交点， 定角定角 称为称为 求圆锥面的方程。求圆锥面的方程。 x y z L 的曲面的曲面，称为称为。 称为称为， 在在yoz坐标面上坐标面上，L的方程为的方程为： ,tan z y 即即0cot yz 现绕现绕 z 轴旋转轴旋转， 则所得旋转面则所得旋转面（即圆锥面）即圆锥面） 0cot)( 22 yxz 即即 2222 cot)(yxz cot a其中其中 x y z L )( 222 yxa 方程为方程为： 与平面解析几何中规定的二次与平面解析几何中规定的二次 曲线相类似，我们把三元二次方程曲线相类似，我们把三元二次方程 F (x,

4、 y, z ) = 0 所表示的曲面称为所表示的曲面称为 。 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 截痕法截痕法 a b c y x z o 2 2 2 2 2 2 1 c h b y a x 2 2 2 2 2 2 1 b m c z a x 2 2 2 2 2 2 1 a n c z b y x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 2 a q y p x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q b z p x 2 2 2 2 2 p c z q y x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 双曲抛物面双曲抛物面 2 2 2 2 p b z q y b

5、x bx 双曲抛物面双曲抛物面 x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 a q y p x 2 2 2 2 双曲抛物面双曲抛物面 x z y 0 z q y p x 2 2 2 2 z p x 2 2 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面1 2 2 2 22 c z a yx 单叶双曲面单叶双曲面 1 2 22 2 2 c zy a x 旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 双叶双曲面双叶双曲面 负号负号单单为为单叶单叶，负号负号双双为为双叶双叶。 椭圆锥面椭圆锥面 2 2 2 2 2 z b

6、y a x 截曲面截曲面用用cz z x y o 1 )()( 2 2 2 2 cb y ca x 截曲面截曲面用用0 y 2 2 2 z a x 截曲面截曲面用用0 x 2 2 2 z b y x y z azx bzy 0 x bzy 表示两直线表示两直线 内容小结内容小结 1. 空间曲面空间曲面 三元方程三元方程 0),(zyxF 球面球面 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面 如如, 曲线曲线 0 0),( x zyf 绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面: 0),( 22 zyxf 柱面柱面 如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴

7、的柱面轴的柱面. 又如又如,椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 . 2. 二次曲面 三元二次方程三元二次方程 ),(同号qp 椭球面椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 z q y p x 22 22 z q y p x 22 22 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 2 2 c z 1 双叶双曲面双叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 2 2 c z 1 椭圆锥面椭圆锥面: 2 2 2 2 2 z b y a x 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一

8、般方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲面的参数表示三、空间曲面的参数表示 四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 第六节第六节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 空间曲线空间曲线 C 可看成两张空间曲面的交线：可看成两张空间曲面的交线： x y z 0 C 0),( 0),( : zyxG zyxF C(1) 曲线上的点必须同时曲线上的点必须同时 满足两个方程满足两个方程, , (1) 称为空间曲线称为空间曲线 C 的一般方程的一般方程。 即满足方程组即满足方程组 (1), 1 y x z o 。的交线的交线及及画出曲面画出曲面Lyxzyxz 2 2

9、222 2 1 y x z o L 。的交线的交线及及画出曲面画出曲面Lyxzyxz 2 2222 2222 azyx z x y o .)0( 22222 Laaxyxyxaz的交线的交线及及画出曲面画出曲面 a 2222 azyx 22 axyx x y o z .)0( 22222 Laaxyxyxaz的交线的交线及及画出曲面画出曲面 ax y z o .)0( 22222 Laaxyxyxaz的交线的交线及及画出曲面画出曲面 L 设空间曲线设空间曲线 C 上任一点为上任一点为 M (x, y, z), 如果其坐标如果其坐标 x, y, z 可表示为参数可表示为参数 t 的函数的函数：

10、且随着且随着 t 在某一范围内变化在某一范围内变化，点点 M 描出了描出了 曲线曲线 C 上的全部点上的全部点。 )( )( )( tzz tyy txx (2) 则称则称 (2) 为空间曲线的为空间曲线的。 P 同时又沿平行于同时又沿平行于z轴的正轴的正 方向方向等线速度等线速度v上升。上升。 其轨迹就是圆柱螺线其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面圆柱面 222 ayx y z 0 x a x = y = z = 设时刻设时刻 t 动点在动点在M(x,y,z) M 螺线从点螺线从点 P Q bPQ 2叫螺距叫螺距 N Q 点点P在圆柱面上以等角速度在圆柱面上以等角速度 绕绕z轴旋转轴旋转； t ta

11、 cos ta sin vt v b 其中其中 22 yxz 当当 从从 0 2 ， 例例 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: : 632 1 )1( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: : 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数, , txcos tysin )cos26( 3 1 tz 得所求为得所求为 )20( t (1) 例例 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: : 632 1 )1( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz (2) , 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 故所求

12、为故所求为 t aa xcos 22 t a ysin 2 tazcos 2 1 2 1 )20( t 将第二方程变形为将第二方程变形为 例例2.2. 求空间曲线求空间曲线 : : )(tx )(ty )(tz )( t绕绕 z 轴轴 旋转时的旋转曲面方程旋转时的旋转曲面方程. . 解解: :,)(, )(, )( 1 tttM 任取点任取点点点 M1 绕绕 z 轴轴 旋转旋转, ,转过角度转过角度 后到点后到点 , ),(zyxM 则则 cos)()( 22 ttx sin)()( 22 tty )(tz 20 t 这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程. . 例如例如,

13、直线直线 1 x ty tz2 绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面 cos1 2 tx sin1 2 ty tz2 20 t 消去消去 t 和和 , 得得旋转曲面方程为旋转曲面方程为 4)(4 222 zyx x z o y 方程为方程为 空间曲线空间曲线 0),( 0),( : zyxG zyxF C 求求C 在在 xoy 平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程。 (1) 作投影作投影： 过过 C 上每一点作上每一点作 xoy 平面平面 的垂线，的垂线， 即相当于作了一个即相当于作了一个 母线母线 / z 轴轴，准线为曲线准线为曲线 C 的柱面的柱面 称为曲线称为曲线 C 关于

14、关于 xoy 平面的平面的。 z y x C C 投影柱面投影柱面 与与 xoy 平面平面 的交线的交线 C 即为曲线即为曲线 C 在在xoy平面上的投影曲线平面上的投影曲线。 (2) 求投影柱面方程求投影柱面方程： 投影柱面投影柱面 / z 轴轴， 方程中应无变量方程中应无变量 z。 只要在曲线只要在曲线 C 的方程组中消去变量的方程组中消去变量 z , 方程变为方程变为 H (x, y) = 0 则则方程为：方程为： H (x, y) = 0 z = 0 z y x C C 求曲线求曲线 C 在在 yoz 平面上的投影曲线平面上的投影曲线： 只要在曲线只要在曲线 C 的方程组中消去变量的方

15、程组中消去变量 x , R (y, z) = 0 则投影曲线方程为：则投影曲线方程为： 得投影柱面方程：得投影柱面方程： 求曲线求曲线 C 在在 xoz 平面上的投影曲线平面上的投影曲线： 只要在曲线只要在曲线 C 的方程组中消去变量的方程组中消去变量 y , 得投影柱面方程：得投影柱面方程： T (x, z) = 0 则投影曲线方程为：则投影曲线方程为： 同理同理， R (y, z) = 0 x = 0 T (x, z) = 0 y = 0 平面的投影。平面的投影。在在的交线的交线及及求曲面求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz 22 22 2 yxz yxz 1 1 y x z o o

16、 L： 例例 z =0 2 1 y x z o L 所求投影曲线为所求投影曲线为 1 22 yx 0 1 22 z yx 投影柱面投影柱面 22 22 2 yxz yxz L： 例例 平面的投影。平面的投影。在在的交线的交线及及求曲面求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz 例例： 1)1()1( 1 : 222 222 zyx zyx C求求 在在 xoy 平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程，并说明是什么并说明是什么 曲线。曲线。 解解: : 0122 1 : 222 222 zyzyx zyx C 消去消去 z ， (1) (2) 01 zy ,1yz 代入代入 (2) ： 1)(

17、)1( 222 yyx022 22 yyx 为投影柱面方程。为投影柱面方程。 (1) - (2) : 022 22 yyx 为投影柱面方程。为投影柱面方程。 022 22 yyx C 在在 xoy 平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程： z = 0 是什么曲线是什么曲线 ? 2 1 ) 2 1 (2 22 yx 曲线为曲线为 1 )5 . 0( 22 yx 5 . 025. 0 0 z 为为 xoy 平面上的一条椭圆曲线平面上的一条椭圆曲线。 z y x C 1 o .(0,1,1) 例：例： )(2 : 22 22 yxz yxz C求求 在三坐标面上的投影曲线方程，并说明是什么曲线。在三坐标面上的投影曲线方程，并说明是什么曲线。 解解: : 方程组中消去方程组中消去 z ， 投影在投影在 xoy 平面平面： (1) - (2) : (1) (2) 1 22 yx 为投影柱面方程。为投影柱面方程。 投影曲线方程：投影曲线方程： . 0 1 22 z yx 为为 xoy 平面上的一个圆平面上的一个圆。 x y z . 2 1 )(2 : 22 22 yxz yxz C (1) (2) 投影在投影在 yoz 平面平面： 方程组中消去方程组中消去 x ， (1) + (2) 得得： 为投影柱面方程。为投影柱面方程。 投影