第8章 对象特性和数学模型

1、第八章第八章 对象特性和数学模型对象特性和数学模型 内容提要内容提要 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 n被控对象数学模型被控对象数学模型 n建模目的建模目的 n数学模型的主要形式数学模型的主要形式 n建模方法分类建模方法分类 第二节第二节 机理建模机理建模 n一阶对象一阶对象 n积分对象积分对象 n时滞对象时滞对象 1 内容提要内容提要 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 n放大系数放大系数 n时间常数时间常数 n滞后时间滞后时间 第四节第四节 实验建模实验建模 n阶跃反应曲线法阶跃反应曲线法 n矩形脉冲法矩形脉冲法 2 第一节第一节 数学模型及描述方法数学

2、模型及描述方法 自动控制系统自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控 制器和执行器组成。 1、对象的数学模型用数学的方法来描述出对象输入 量与输出量之间的关系。 2、干扰作用和控制作用（操纵变量）都是引起被控变量 变化的因素，如下图所示。 3 n 一、被控对象数学模型一、被控对象数学模型 对象的输入、输出量 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 通道通道 对象的输入变量至输出变量的信号联系对象的输入变量至输出变量的信号联系 调节通道调节通道控制作用（操纵变量）至被控变量信号的控制作用（操纵变量）至被控变量信号的 联系联系 干扰通道干扰通道干扰作用至被控变量信号的联系干扰作用至被控变量信号的联

3、系 几个基本概念：几个基本概念： 对象的输入、输出量 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 3、对象的数学模型分为、对象的数学模型分为静态数学模型静态数学模型和和动态数学模型动态数学模型 静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型 基础基础 特例特例 4 静态数学模型：对象在静态时输入量与输出量之间的关系；静态数学模型：对象在静态时输入量与输出量之间的关系； 动态数学模型：对象在输入量改变以后输出量的变化关系。动态数学模型：对象在输入量改变以后输出量的变化关系。 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 一般是在工艺一般是在工艺 流程和设备尺流程和设备尺 寸等都确定的寸等都确定的 情况，研究

4、对情况，研究对 象的输入变量象的输入变量 是如何影响输是如何影响输 出变量的。出变量的。 研究的目研究的目 的是为了的是为了 使所设计使所设计 的控制系的控制系 统达到更统达到更 好的控制好的控制 效果。效果。 在产品规格和产在产品规格和产 量已确定的情况量已确定的情况 下，通过模型计下，通过模型计 算，确定设备的算，确定设备的 结构、尺寸、工结构、尺寸、工 艺流程和某些工艺流程和某些工 艺条件。艺条件。 （a） （b） （c） 1、用于、用于控制控制的数学模型（的数学模型（a、b）与用于）与用于工艺设计与分析工艺设计与分析的数的数 学模型（学模型（c）不完全相同。）不完全相同。 5 二、建模

5、目的二、建模目的 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 2 2、建立被控对象的数学模型的目的、建立被控对象的数学模型的目的 （1 1）控制系统的方案设计）控制系统的方案设计 （2 2）控制系统的调试和控制器参数的确定）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3 3）制定工业过程操作优化方案）制定工业过程操作优化方案 （4 4）新型控制方案及控制算法的确定）新型控制方案及控制算法的确定 （5 5）计算机仿真与过程培训系统）计算机仿真与过程培训系统 （6 6）设计工业过程的故障检测与诊断系统）设计工业过程的故障检测与诊断系统 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 三、数学模型的主要形式三、数学模型的主

6、要形式 8 1 1、非参量模型、非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称 为非参量模型。 特点特点 形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 缺点缺点直接利用它们来进行系统的分析和设计往往 比较困难 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参 量模型。 2 2、参量模型、参量模型 9 静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。 动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、微分方程、传递函数、 差分方程差分方程及及状态方程状态方程等等。 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 10 对于线性的集中参数对象通常可用常系数线性微分方 程式来描述。

7、差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来 描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间 的关系。 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 从机理出发,即从对象内在的物理和 化学规律出发, 建立描述对象输入输出特性的数学模 型。 对于已经投产的生产过程,我们可以 通过实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输 出数据,通过数学回归方法进行处理。 通过机理分析,得出模型的结构或函 数形式，而对其中的部分参数通过实测得到。 7 四、建模方法分类四、建模方法分类 （按数学模型建立的途径不同分类） 第二节第二节 机理建模机理建模 根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有根据对象或生产过程的内部机理

8、，列写出各种有 关的平衡方程。关的平衡方程。 如：物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方如：物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方 程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、 化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或 过程）的数学模型。过程）的数学模型。 这类模型通常称为机理模型。这类模型通常称为机理模型。 对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表 达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时， 不能适用。不能适

9、用。 具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大 的适应性，便于对模型参数进行调整。的适应性，便于对模型参数进行调整。 优点 缺点 机理建模机理建模 机理建模的优缺点：机理建模的优缺点： 机理建模机理建模 n 一、一阶对象一、一阶对象 对象物料蓄存量的变化率对象物料蓄存量的变化率 单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物料料 依据依据 18 机理建模机理建模 19 3 12 mQQdtAdh （8-14） s R h Q 2 若变化量很微小变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比 将上式代入（8-14）式，

10、移项 1 QRh dt dh AR ss ss RKART, 1 KQh dt dh T令令 则则 水槽对象 即 机理建模机理建模 n 二、积分对象二、积分对象 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时， 称为称为积分对象积分对象。 21 dtQ A dh 1 1 Q2为常数，变化量为0 dtQ A h 1 1 说明，所示贮槽具有积分特性。 其中，A为贮槽横截面积 （8-27） 积分对象 3 12 mQQdtAdh （8-14） 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 n一、放大系数一、放大系数K 对于前面介绍的水槽对象

11、，当流入流量Q1有一定的阶 跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某 一数值上。如果我们将流量Q1的变化Q1看作对象的输入， 而液位h的变化h看作对象的输出，那么在稳定状态时， 对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象 的静态特性。 28 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 29 1 Q h K s 1 QKhs 或 K在数值上等于对象重新稳定后的输 出变化量与输入变化量之比。K越大， 就表示对象的输入量有一定变化时， 对输出量的影响越大，即被控变量对 这个量的变化越灵敏。 水槽液位的变化曲线 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 n 二、时间常数二、时间常数T 32 从

12、大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后， 被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象 在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才 能达到新的稳态值。 不同时间常数对象的反应曲线 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 如何定量地表示对象受如何定量地表示对象受 干扰后的这种特性呢？干扰后的这种特性呢？ 在自动化领域中，往往用 时间常数T来表示。时间常 数越大，表示对象受到干 扰作用后，被控变量变化 得越慢，到达新的稳定值 所需的时间越长。 33 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 34 举例举例 简单水槽为例 1 KQh dt dh T由前面的推导可知 Tt eKQth 1 1 假

13、定Q1为阶跃作用，t0或t=0时Q1为一常数，如左图。 则函数表达式为 （8-36） 图8-12 反应曲线 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 对于简单水槽对象，对于简单水槽对象，K= =RS，即放大系数只与出水阀的阻，即放大系数只与出水阀的阻 力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。 1 KQh 1 Q h K 从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被 控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到 了新的稳态值h（），这时上式可得： 或或 （8-37） 35 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 36 1 1 1 632.

14、 01KQeKQTh 将 t=T 代入式（8-36），得 （8-38） hTh632. 0 将式（8-37）代入式（8-38），得 （8-39） 当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的 63.2所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这 种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的 变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 不同时间常数对象的反应曲线 T1T2T3T4 说明说明 时间常数大的对象（如时间常数大的对象（如T4) 对输入的反应较慢，对输入的反应较慢， 一般认为惯性较大。一般认为惯性较大。 37 描述对象特性的参数描述对象特

15、性的参数 38 在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？ Tt e T KQ dt dh 1 将式（8-36）对 t 求导，得 （8-40） T h T KQ dt dh t 1 0 当 t =0 （8-41） 0 t dt dh 当 t 时，式（8-40）可得 （8-42） 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 时间常数T的求法 由左下图所示，式（8-41）代表了曲线在起始点时切 线的斜率，这条切线在新的稳定值h（）上截得的一段时 间正好等于T。 hKQeKATh95. 095. 013 1 3 由式（8-36），当 t =时，h = KQ1。当 t=3T时，代入式（8-36）得 （

16、8-43） 从加入输入作用后，经过从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部时间，液位已经变化了全部 变化范围的变化范围的95，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。 所以，时间常数所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变是表示在输入作用下，被控变量完成其变 化过程所需要的时间的一个重要参数。化过程所需要的时间的一个重要参数。 结论 39 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 n 三、滞后时间三、滞后时间 分类 定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能 立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。 滞 后 性 质 时滞 容量滞后 时滞又

17、叫纯滞后，一般用0表示。0 的产生一般是由于介质的输送需要一段 时间而引起的。 对象在受到阶跃输入作用x后，被控变 量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后 又变慢直至逐渐接近稳定值。 40 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 0 tKxty dt tdy T 0 0 1 teKAty T t 当假定 y(t)的初始值 y(0) = 0, x(t)是一个发生在t = 0的阶跃输入, 幅值为 A,对上述方程式求解,可得 （8-44） 具有纯滞后的一阶对象反应 曲线 可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象, ,它它 们的反应曲线在形状上完全相同们的

18、反应曲线在形状上完全相同, ,只是具有时滞的反应曲线只是具有时滞的反应曲线 在时间上错后一段时间在时间上错后一段时间0 0。 41 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 2.2.容量滞后容量滞后 图8-16 具有容量滞后对象 的反应曲线 图8-17 图解近似方法 42 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 在容量滞后与纯滞 后同时存在时，常常把 两者合起来统称滞后时 间，即0h。 自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在 设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。 结论 43 图8-18 滞后时间示意图 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 被控变量为压力的对象不大,T也属中等; 被控变量为液位的对象很小,而T稍大; 被控变量为流量的对象和T都较小,数量 级往往在几秒至几十秒; 被控变量为温度的对象和T都较大,约几 分至几十分钟。 44 第四节第四节 实验建模实验建模 定义 通过实验来测取对象的输入输出数据。 几个概念 系统辨识 参数估计 测试信号 测试信号的不同 阶跃反应曲线 矩形脉冲特性曲线 频率特性 45 实验建模实验建模 在测试过程中要注意： 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳 定一段时间