第 2 章 角动量 角动量守恒定律

1、2-5 角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律 1. 力矩与角动量，质点的角动量定理、角动量守恒力矩与角动量，质点的角动量定理、角动量守恒 定律的及其应用。定律的及其应用。 掌握：掌握： 能使质点绕固定点转动的力：能使质点绕固定点转动的力： rF0 考察质量为考察质量为m的质点绕固定点的质点绕固定点o转到。转到。 问：问：什么力作用于质点什么力作用于质点能使它绕能使它绕o转动转动？ M0 与与 共线不能转动！共线不能转动！Fr F r 一、力矩与角动量一、力矩与角动量 对参考点对参考点o的力矩的力矩 rF = M 回顾：回顾： 而力矩使质点而力矩使质点转动状态改变转动状态改变 dp F =

2、dt 力使质点的动量改变力使质点的动量改变 F 什么物理量跟动量对应？什么物理量跟动量对应？ 力跟力矩有对应的关系力跟力矩有对应的关系 m o rr dp F = dt 将将 两边同时乘两边同时乘 ： dp F = dt r dp M = r dt 转动定律转动定律 能否变成能否变成 ？ rp 即恒有：即恒有： rF = M dr p = v p = 0 dt dL M = dt rp = L 角动量角动量 描述转动状态描述转动状态 dr +p dt dpd() r dtd r t p d(rp) = dt dp r dt 利用公式利用公式 ，有：，有： ddBdA (AB) = A+B dt

3、dtdt 卫星卫星 地球地球 + rF 由由 确定，满足右手规则。确定，满足右手规则。 力矩的大小力矩的大小 力矩的方向：力矩的方向： M = rFsin 力矩的单位：力矩的单位：N m r L M m F p 角动量的方向：角动量的方向： 角动量的大小角动量的大小 L = rpsin = rmvsin 角动量的单位：角动量的单位： 2 kg m /s or J s . .同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 . 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。 o r L = rp M=r F 由由

4、确定确定 rp 注意：注意： o 2 = mr - (acost i +bsint j ) 例：质量为例：质量为m的质点在平面上作曲线运动，其位矢表达式的质点在平面上作曲线运动，其位矢表达式 为为 ，式中，式中a、b、 皆为常量皆为常量 ，求质点对原点的角动量，以及所受力对原点的力矩？，求质点对原点的角动量，以及所受力对原点的力矩？ r = acost i +bsint j (m) 解：利用力矩与角动量的定义，有：解：利用力矩与角动量的定义，有： L = rp = (acost i +bsint j ) = m(acost i +bsint j ) (-asint i +bcost j ) 2

5、2 = mabcos tk +mabsin tk = mabk M = rF dr = rm dt 2 2 d r = rm dt = 0 d(acost i +bsint j ) m dt 2 = -m rr 解：由力矩与角动量的定义，有：解：由力矩与角动量的定义，有： r o 0 r L = rp (-asint i +bcost j ) M = rF 0 drdr = mr+mr dtdt 2 0 02 d (r +r ) = (r +r ) m dt 0 0 d(r +r ) = (r +r ) m dt = abmk 0 mr k 0 -mr (asintjbcosti) = abm

6、k 22 022 d rd r = mrmr dtdt 22 0 = 0+mr k(-a cost i -b sint j ) 2 0 = -mr k(acost ibsint j ) 2 0 = -mr (acost j-bsint i ) 接上题：求质点对接上题：求质点对o 的的 。 LM 、 r L M m F p o 比照冲量，定义比照冲量，定义冲量矩冲量矩： 微分形式的角动量定理微分形式的角动量定理 二、角动量定理与角动量守恒定律二、角动量定理与角动量守恒定律 dL M = dt 积分形式的角动量定理：积分形式的角动量定理： 作用于物体上的力的冲量矩等于物体角动量的增量。作用于物体上

7、的力的冲量矩等于物体角动量的增量。 角动量的增量反映出力矩作用的累积效果！角动量的增量反映出力矩作用的累积效果！ Mdt = dL 2 1 t t Mdt 22 11 tL 21 tL Mdt =dL = LL M = 0 当当 L=r (mv)=const. 角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量守恒条件角动量守恒条件: 与与 共线共线F r F = 0 注意注意：尽管：尽管 ，但，但 的某一分量为零时，则该方向的某一分量为零时，则该方向 M0 M 的角动量分量守恒。的角动量分量守恒。 力矩力矩 仅有仅有z轴分量！轴分量！ M=r F 转动定理的分量形式转动定理的分量形式 直角坐标系中：直角坐

8、标系中： dL M = dt x x dL M = dt xyz xyz d(L i +L j+L k) (M i +M j+M k) = dt y y dL M = dt z z dL M = dt 质点绕固定轴线的转动质点绕固定轴线的转动 角动量角动量 仅有仅有z分量！分量！L = rp 角动量大小：角动量大小： z L = rmvsin 力矩力矩的大小：的大小： z M = rFsin 转动定理转动定理: z z dL M = dt r L M p o z m F L M p o z m F 质点作圆周运动，有：质点作圆周运动，有： 转动定理转动定理为：为： z z dL M = dt

9、zz M = J v = R 转动定理转动定理: 转动惯量转动惯量 R z = J 0 Rmvsin90d() = dt d = dt 2 = mR d dt 角动量守恒定律：角动量守恒定律： z L = const. 积分形式的积分形式的角动量定理角动量定理: zz M dt = dL 22 11 tL zzz2z1 tL M dt =dL = L-L 将将 变形得变形得微分形式的微分形式的角动量定理：角动量定理： z z dL M = dt v r 开普勒第二定律开普勒第二定律 1 r 2 = dr s 2m t in d dr mvrsin = mrsin dt dS = 2m dt d

10、S = c dt 即：即：mvrsin = c 行星绕恒星的转动：行星绕恒星的转动： 轨道在一平面内！轨道在一平面内！ 因为因为 与与 共线：共线： F r r dr L = c m dr L F 例：如图，光滑的水平面上一绳子长例：如图，光滑的水平面上一绳子长L=2m，一端固定于，一端固定于O 点，另一端系一质量点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。初始物体位于的物体。初始物体位于A 点，点，OA间距间距d=0.5m，绳处于松驰状态。现使物体以，绳处于松驰状态。现使物体以 初速初速vA=4m/s垂直于垂直于OA向右滑动，随后物体到达向右滑动，随后物体到达B点，点， 此时其速度方向与绳垂直，

11、求此时物体速度的大小此时其速度方向与绳垂直，求此时物体速度的大小vB。 例：物体运动过程角动量守恒，有：例：物体运动过程角动量守恒，有： AB OAmv= OBmv 即：即： AB d mv= L mv A B d v0.5 4 v =1m s L2 O 解：设地球、卫星质量分别为解：设地球、卫星质量分别为M、m 。卫星受向心力作用，角动量守恒：。卫星受向心力作用，角动量守恒： 例：人造地球卫星近地点离地心例：人造地球卫星近地点离地心r1=2R，远地点离地心，远地点离地心r2= 4R，R为地球半径。求：卫星在近地点及远地点处的为地球半径。求：卫星在近地点及远地点处的 速率速率v1和和v2。 1

12、122 L = rmv = r mv 12 v = 2v 22 12 1Mm1Mm mv -G=mv -G 22R24R 2 Mm G= mg R 1 2Rg v = 3 2 Rg v = 6 又卫星的机械能守恒：又卫星的机械能守恒： 1 v 2 v 1 r 2 r 12 2Rmv = 4Rmv 因为在地球表面：因为在地球表面： 联立上联立上3方程得：方程得： 例：例：如图，如图，火箭以第二宇宙速度火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切沿地球表面切 向飞出。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，向飞出。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作， 不计空气阻力，求火箭在距地心不计空气阻力，求火箭在距地心4

13、R的的A处的速度。处的速度。 2 v =2Rg 解：设地球、火箭质量分别为解：设地球、火箭质量分别为M、m。 火箭仅受向心力作用，角动量守恒：火箭仅受向心力作用，角动量守恒： 又机械能守恒，而火箭以第二宇宙速度到达处的又机械能守恒，而火箭以第二宇宙速度到达处的 E=0 2A mv R = mv 4Rsin 2 A 1Mm 0 =mv -G 24R A v 2 v A M1 v=G=gR 2R2 o 1 sin = = 30 2 A sin =2Rg 4v 2 Mm G= mg R 地球表面：地球表面： z 例：如图，将质点沿半径为例：如图，将质点沿半径为 r 的光滑半球形碗的内面水平的光滑半球形碗的内面水平 地投射地投射, 碗保持静止，设碗保持静止，设 v0 是质点恰好能达到碗口所是质点恰好能达到碗口所 需的初速率。求需的初速率。求 v0 与与 0 的关系。（的关系。（ 0 是质点的初始是质点的初始