第2章 随机信号

1、 随机信号分析2 随机信号分析3 随机信号分析4 随机信号分析5 111 sin()at 222 sin()at 333 sin()at 随机信号分析6 随机信号分析7 1( ) cos(500)x tt 2 ( )sin(500)x tt ( , )cos(500( )/2)X ttI ( )I 随机信号分析8 ( ),1,2,. n Xn 随机信号分析9 ( , )X t 随机信号分析10 ( ) ( ,) ( ) t XtT X t Xt 无 数 随 机 变 量 的 集 合 ， 各 种 或 ， 无 数 确 定 样 本 函 数 的 集 合 ， 各 种 可 能 的 X(t,1) X(t,2)

2、 X(t,3) X(t,4) X(t1,)X(t2,)X(tn,) X(t,) t 状态状态 随机变量随机变量 确定时间函数确定时间函数 随机信号分析11 随机信号分析12 tT ( , )X t ( , ),X ttT (,)R ( , )X t 随机信号分析13 随机信号分析14 100, 0.5 200, 0.5 HzP F F HzP F 1 10cos 200Xtt 2 10cos 400Xtt ,10cos 2X tFt t ( , )X t s F=100Hz X1(t) F=200Hz X2(t) 5tms 10tms 2.5tms 随机信号分析15 随机信号分析16 随机信号

3、分析17 ;5F xP Ax 0.110.9 A Fxu xu x t ( , )X t s 5ts 0.0025ts 5cos 2005XAA 1 cos 200Xtt 2 0X t 随机信号分析18 , ;0,0.0025 cos 2000;cos 2000.0025 F x y P Ax Ay ; 0P Axy ,0 0,0 A Fxify ify 0.110.9 A Fx u yu xu xu y 随机信号分析19 0,00.9 cos 2001 1,10.1 P A X tAA P A 0 0.9 1 0.10.1X tA 00.910.1P AP A 随机信号分析20 随机信号分析

4、21 ,cos 20011X tAA ,cos 20021X tAA 211P X 00.9P A 随机信号分析22 ( ; )( )Fx tPXtx ( ; ) ( ; ) ( ; )( ; ) x Fx t fx t x Fx tfx t dx );( txf ( ; )F xt 随机信号分析23 随机信号分析24 2 ( )cos()Y tt t 0,2)U t 1 ( )cos()X tt 0,2)U 随机信号分析25 12121122 ( ,; , )( );( )F x x t tP X tx X tx 21 1212121212 2 1212 1212 12 (,; ,)(,;

5、,) (,; ,) (,; ,) xx F x x t tf x x t tdx dx F x x t t f x x t t x x 1212 ( ,; , )f x x t t 1212 (,; ,)F x x t t 随机信号分析26 1 . . ( )( )( )( ; ) . . ( )( )( )( ) X Xii i C RSm tmtE X txf x t dx DRSm vmnE X nx P n t1t2t3t4 随机信号分析27 随机信号分析28 1 21 2121 212 1 212 ( , )( , )( ) ( )( , ; , ) X Rt tR t tE X t

6、 X txx f x x t t dxdx 随机信号分析29 1 21122 1 212 112212 1 1 2 212 ( , )( )( )( )( ) ( , )( )( ) ( )( )( , ( , ; , ) ) XXX XXX XX C t tE X tm tX tm t R t tm t m t x m txm tf x x t t dxd Ct t x 2 2 ( , )( , ) ( )( ) ( )( ) ( , )( ) ) X X DC t tCt t EX tmt tVar t X t R t tm 随机信号分析30 )()()(tXVartt X )()( ),

7、( ),(),( ),( ),(),( 2 2 1 2 21 2211 21 2121 tt ttC ttCttC ttC tttt XX X X 随机信号分析31 3 , 424 t 随机信号分析32 101 ( ) 0 f other 2 (1) ( )cos 442 tX t /2( )0( , )( ) 322 20 ( , )( )2 40 X X tX tfx tx x tfx tf other 202 2 ( , )( )2 0 X x fx tf other 随机信号分析33 cos ( ) cos cos 2 X t mtEtEt 110 ( , )( ) 1 0 X x t

8、fx tf other 2 121212 12 ( , ) coscoscoscos coscos/3 X R t tEttEtt tt 12 121212 2 coscos ( , )( , )( )( ) 12 ( )( , )cos/12 XXXX XX tt Ct tRt tmt mt DtCt tt 随机信号分析34 随机信号分析35 t mx(t) 随机信号分析36 随机信号分析37 1 ( , ), 0 | | XUV xu fx tfudut tt XU Vt YU 随机信号分析38 111 222 ( ) ( ) XX tU Vt XX tU Vt 12 1 J tt 随机信

9、号分析39 1 22 112 1212 121212 1 ( ,; , ), | XUV t xt xxx fx x t tf tttttt 1212121 ( ,; , )(min( ,); ) XX fx x t tfx xt 随机信号分析40 随机信号分析41 ( , )sin() t WW tAt TtW t , 随机信号分析42 随机信号分析43 各种样本函数各种样本函数 集中显示的各种样本函数集中显示的各种样本函数 t5时刻的不确定性时刻的不确定性 1 (1,); 1,0WA 2 (1,); 1,/4WA (1,); 1.5,2 ,/2 n WA 1 2 3 (5,) (5,) (

10、5,) W W W 随机信号分析44 22 2 2 ( ), 0 a A a faea 随机信号分析45 随机信号分析46 2 0 ( )cos() cos() 1 cos() 2 0 E W tE At E A Et E Atd 随机信号分析47 121212 ( , ) ( ) ( ) cos() cos()R t tEW t W tE AtAt 2 12 cos()cos()E A Ett 22 2 1212 00 2 12 cos(2 )cos()11 2 2222 cos () tttt dd tt 2 1212 cos(2 )cos() /2E A Etttt 22 22/22 2

11、 0 2 a a E Aaeda 随机信号分析48 111 222 ( ,)cos() ( ,)cos() Xg AAt XgAAt 22 2 2 0 ( , )2 00 a A a ea fa a 1 11 2212 cos()sin() 1 cos()sin()sin() tat J tatatt 随机信号分析49 随机信号分析50 12 22 121 2012 22 012 121212 2cos() 2sin() 2 012 ( , ; , )( ,) 1 2sin() XX X xxxxt t t t fx x t tfx x e tt 22 12012 ,(0,0,cos()XXN

12、tt 22 1122 22 2 1 2 12 1 2 21 2 12 1 ,e 21 xxyy XY fx y 012 cos()tt 随机信号分析51 12 1 121 12 cos ()cos ( , ) 22 t t X tt R t t t 2 ( )cos()Y tt 0,2)U t 1 ( )cos()X tt 0,2 )U 12 2 122 1 2 cos()cos ( , ) 22 t t Y tt R t t 随机信号分析52 1 0B n tnB X tn ，在时刻， 发生 ，在时刻， 不发生 1,01 nn P XpP Xqpq和 n X ,1,2,3,. n Xn 随机

13、信号分析53 n X（n，n） 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X（9，） n X（n，1） 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 随机信号分析54 Rx 0,0 ( ; )( ),01 (1)( ) 1,1 ( ; )(1)( ) x F x nP X nxqxpU xqU x x f x npxqx 随机信号分析55 12 12121122 1122 22 12121212 ( ,; ,)( );() ( )( :( , )( ) ( ) ) (1,1)(1,)( ,1)( ,) Note U x yU nn F x x n nP X nx X nx P X

14、nx P X nx p U xxpqU xxpqU x xq U x x x U y 当时 (0,1) (1,1) x2 F(x1,x2) x1(1,0)(0,0) q2 q 1 随机信号分析56 f(x1,x2,n1,n2) x2 (1,1) (1,0) (0,1) x1 (0,0) q2 p2 pq pq 1212 22 12121212 ( , ; , ) (1 ,1) : ( , ) ( ) ( ) (1 , )( ,1)( , ) f x x n n pxxpq xxpq Notex yxy x xqx x 随机信号分析57 n E Xp( )m np 12 12 (,) nn R

15、n nE X X 2 12 pqnnp 12 1 2 12 2 12 , nn n E XE Xp nn nnE Xp 随机信号分析58 1 W( , )(1) 11 Pp tnTtnT Pqp ，概率 ，当时 ， 概率 随机信号分析59 W(ti,) 随机信号分析60 1 W( , )( ) () i tX i p tiT 其它 Tt tp 0 0 1 )( ( )()Y tW t D ( )1 1 ( )1 P X np p q P X nq 随机信号分析61 W(ti,) 随机信号分析62 ( )( )( )21, 0m tE X tE X nppqt 121212 ( , )( )(

16、) ,0,0R t tE X t X ttt 1122 /,/ntTntT 12 nn 2 12 ( ,)( )1R t tE Xnpq ， 随机信号分析63 12 nn 2 1212 ( , )( ) ()(21)1 4R t tE X nE X nppq 1212 ( , )4(/) 1 4R t tpqt TtTpq 0.5pq 12 1212 12 ( )0 1 ( , )(/) 0 m t nn R t ttTtT nn 随机信号分析64 T t2 R(t1,t2) t1 T(0,0) 1 2T3T 2T 3T 随机信号分析65 ( )1, ( )1P X tpP X tq ( ,

17、)(1)(1)f x tqxpx 12 /tTtT 12121212 ( ,; , )(1,1)(1,1)f x x t tqxxpxx 12 /tTtT 2 12121212 2 1212 ( ,; , )(1,1)(1,1) (1,1)(1,1) f x x t tqxxpqxx pqxxpxx 随机信号分析66 随机信号分析67 随机信号分析68 随机信号分析69 随机信号分析70 t1t2t3tn 随机信号分析71 1212 , ,., ,., n nn t ttTx xxR与 )(),.,(),( 21n tXtXtX nnnn xtXxtXxtXPtttxxxF)(;.;)(;)(

18、),.,;,.,( 22112121 21 121 2121 212 ( , ,., ; , ,., )( , ,., ; , ,., ). n xxx nnnnn F x xx t ttf x xx t tt dxdx dx ),.,;,.,( 2121nn tttxxxf 1212 ( ,.,; , ,., ) nn F x xx t tt 1212 1212 12 ( , ,., ; , ,., ) ( , ,., ; , ,., ) ,., n nn nn n F x xx t tt f x xx t tt x xx 随机信号分析72 1212 1 ( ,.,; , ,., )( ,

19、) n nnii i F x xx t ttF x t 12 ,., n tttT 12 ( ),(),.,() n X tX tX t 1212 1 ( ,.,; , ,.,)( , ) n nnii i f x xx t ttf x t 随机信号分析73 2 0 0 12 ( ; )exp u f u t NN 随机信号分析74 1212 222 12 /2 00 ( ,.,; , ,., ) 2. 1 exp () nn n n f u uu t tt uuu NN 随机信号分析75 1212 ( , ) ( ) ( )R t tE U t U t 2 112 1212 ( ) ( )

20、( ) E U ttt E U tE U ttt 012 12 /2 0 Ntt tt 121212 ( , )( , ) ( ) ( )C t tR t tE U tE U t 012 12 /2 0 Ntt tt 随机信号分析76 t1 t2t3tn s1s2 s3 sm 随机信号分析77 12121212 11221122 ( , ,., ; ,.,; , ,., ; , ,.,) ( ); ( );.; ( ); ( ); ( );.; ( ) XYnmnm nnmm Fx xx y yy t tt s ss P X tx X txX tx Y sy Y syY sy 12121212

21、 () 12121212 1212 ( ,.,;,.,; , ,., ; ,.,) ( ,.,;,.,; , ,., ; ,.,) . XYnmnm n m XYnmnm nm fx xx y yy t tt s ss Fx xx y yy t tt s ss x xx y yy 随机信号分析78 121212 ( , )( ) ( )( , ; , ) XY Rt tE X t Y txyf x y t t dxdy 1212 1212 1122 1212 ( , ) ( , )( ( ), ( )( )( )( )( ) ( )( )( , ; , ) ) ( XY XYXY XY XY

22、Ct t Rt tmt Cov X tY tEX tmtY tm t xmtym t m f x y t txdy t d 12 12 12 ( ,) ( ,) ( )( ) XY XY XY Ct t t t tt 随机信号分析79 ( ) ( )( ) ( ) X t X tY t Y t 的随机变量 与 与的随机变量 彼此统计独立 彼此统计独 任意一组 任意一组 立 1212 1212 ( )( ) ( )( )( , )0 XY ttttX tY t X tY tRt t 与 的与 的与 与正正 意任 交 任 交 意 1212 1212 ( )( ) ( )( )( , )0 XY t

23、tttX tY t X tY tCt t 与 的与 的与 与互不相关互不 任意 相 任意 关 12121212 12121212 ( , ,., ; ,.,; , ,., ; , ,.,) ( , ,., ; , ,., )( ,.,; , ,.,) XYnmnm XnnYmm Fx xx y yy t tt s ss F x xx t tt F y yy s ss 随机信号分析80 随机信号分析81 随机信号分析82 22 012 22 012 22 22 2 sin() 2cos() 12 2 012 2 2(1) 22 1 ( , ; , ) 2cos() 1 21 riritt tt

24、RI riri fr i t te tt e 012 sin()tt 22 1122 22 2 1 2 12 1 2 21 2 12 1 ,e 21 xxyy XY fx y 随机信号分析83 0 1 0 1 ( )cos()0 ( ) sin()0 E R tE At E I tE At 2 120 10 2 ( ,)cos()sin() RI Rt tE Att 2 12012 1 ( , )sin() 2 IR Rt tE Att 121212 2 021 ( , )( , ) ( ) ( ) 1 sin() 2 RIRI Ct tRt tE R tE I t E Att 2 021 1

25、 sin() 2 E Att 随机信号分析84 1221 ( , )( , )R t tR t t 1221 ( , )( , )C t tC t t 222 ( )( , )( )( )0E XtR t tm tt 22 ( )( , )( )0tR t tm t 12 ( , )1,( , )1t tt t 随机信号分析85 1221 ( , )( , ) XYYX Rt tRt t 121212 ( ,)( ,)( )( ) XYXYXY Ct tRt tmt m t 12 ( , )1 XY t t 随机信号分析86 随机信号分析87 12n t ,t ,t , T 112 ( ,)( ),( ),( ) nn X ttX tX tX t 随机信号分析88 2 ( ) 2( ) 1 ( , ) 2( ) X x mt D t f x te D t 随机信号分析89 1 1 2 1 2 11112 22212 ()()( , ) ()(,) 1