第三章 (几何变换之一)

1、 yxP yxP x T y T x x T y P P y T 平移变换 y x Tyy Txx 几何关系 yx TTyxyx 矩阵形式 （5-7） （5-8） x S y S y x 相对于原点原点的比例变换 相对于重心重心的比例变换 y x 重心 y x Syy Sxx 几何关系 y x S S yxyx 0 0 矩阵形式 （5-10） （5-9） 10 yx SS yx SS 1 yx SS yx SS 1 yx SS yx SS sin cos ry rx （5-11） cossinsincos)sin( sinsincoscos)cos( rrry rrrx （5-12） coss

2、in sincos yxy yxx 将式（5-11）代入式（5-12）得： （5-13） P P 几何关系 （5-14） cossin sincos yxyx 矩阵形式 y x 旋转变换 ),.,( 21 n xxx)/,.,/,/( 21 n xxx ),.,( 21n xxx),.,( 21 n xxx 1 1 010 001 11 yx TT yxyx 100 00 00 11 y x S S yxyx 100 0cossin 0sincos 11yxyx 0),.,( 21 n xxx yy xx 关系 几何 1 100 010 001 11yxyxyx 形式 矩阵 yy xx 关系

3、几何 1 100 010 001 11yxyxyx 形式 矩阵 o y x 对称变换（1） y x o 对称变换（2） yy xx 1 100 010 001 11yxyxyx 关系 几何 形式 矩阵 形式 矩阵 关系 几何 xy yx 1 100 001 010 11xyyxyx o x y 对称变换（3） x y o y=x 对称变换（4） xy yx 几何关系 1 100 001 010 11xyyxyx 矩阵形式 x y o y=-x 对称变换（5） x 错切变换（1） y x ayyctgx 有ctga 令 yy ayxx 代入得 yy xxx 几何关系 1 100 01 001 1

4、1yayxayxyx 矩阵形式 错切变换（2） y x y 1 100 010 01 11ybxx b yxyx 矩阵形式 几何关系 yyy xx byyctgx 有 ctgb 令 yy ayxx 代入得 1 010 001 00 1 yx T 100 00 00 y x S S S 1 010 001 00 2 yx T 100 00 00 11 2233y x S S yxyx 1 010 001 11 00 1122 yx yxyx 1 010 001 11 00 3344 yx yxyx 任意点比例变换示意图 平移 1 11 yx 平移 比例 21ST TT TyxSTTyx yxyx

5、 1 1 11 112111 44 (x2,y2) (x3,y3) (x0,y0) O x y (x1,y1) (x4,y4) 相对于任意点(x0,y0)的旋转变换 100 0cossin 0sincos 11 2233 yxyx 1 010 001 11 00 1122 yx yxyx 1 010 001 11 00 3344 yx yxyx 任意点旋转变换示意图 平移 1 00 yx 平移 旋转 1 010 001 00 1 yx T 100 0cossin 0sincos R 1 010 001 00 2 yx T 21RT TT TyxRTTyx yxyx 1 1 11 112111

6、44 3 3）对称平行于）对称平行于X X轴的任意直线轴的任意直线 ccc yyyyyy xx 2)( 120 010 001 11 c y yxyx 其中变换矩阵： 120 010 001 c y T 4 4）对称平行于）对称平行于Y Y轴的直线轴的直线 yy xxxxxx ccc 2)( 102 010 001 11 c x yxyx 其中变换矩阵： 102 010 001 c x T 5 5）对称于任一点）对称于任一点(x(xc c,y,yc c) )的变换的变换 c c yyy xxx 2 2 变换方程写成齐次坐标矩阵形式为： 122 010 001 11 cc yx yxyx 其中变

7、换矩阵： 122 010 001 cc yx T 对称于任一点(xc,yc)的变换，可以看做分别相对于直 线轴xxc和直线轴 yyc的两次对称变换，是两者的 综合： 6 6）对称于任一轴的变换）对称于任一轴的变换 10 010 001 1 b T 100 0cossin 0sincos 2 T 做对称于Y轴的对称变换，其变换 矩阵为： 100 010 001 3 T 最后反向旋转和反向平移将直线置回原处，其变换 矩阵分别为： 100 0cossin 0sincos 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 4 T 10 010 001 5 b T 所以，对称于任一轴ymxb的变换

8、矩阵为： 1)sin(coscossin2 0sincoscossin2 0cossin2cossin 22 22 22 54321 bbb TTTTTT 当m为直线斜率，b为截距时有： sinsin90sincos90cos 1 1 )90cos( 2 m cossin90coscos90sin 1 )90sin( 2 m m 所以 2 2 22 1 1 sincos m m 2 1 cossin m m 替换变换矩阵中的和得： 1 1 )1 ( 1 2 0 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 22 2 b m mb m bm m m m m m m m1 m-1 T 2 2 2 上述变

9、换用代数方程表示为： 22 2 1 )(2 1 1 m m byx m m x b m m byx m m y 2 2 2 1 1 )( 1 2 sml qdc pba yxTyxyx D 111 2 旋转、比例旋转、比例 错切、对称错切、对称 透视 投影 ndycxy mbyaxx 二维仿射变换二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换： 用户坐标系与设备坐标系的变换关系可以二维仿射变换模用户坐标系与设备坐标系的变换关系可以二维仿射变换模 型予以描述，如何推导？型予以描述，如何推导？ 平移平移变换变换 已知空间一点的坐标是P(x,y,z），沿X、Y及Z轴 方向分别平移t x 、t y 、t z

10、 ， 后，得新坐标 P(x,y,z）的表示式为： z y x tzz tyy txx 矩阵形式为： 1 0100 0010 0001 11 zyx ttt zyxzyx 比例比例变换变换 相对于原点的比例变换的表示式为： z y x szz syy sxx 1000 000 000 000 11 z y x s s s zyxzyx 矩阵表示为：矩阵表示为： 1000 0100 00cossin 00sincos 11 zz zz zyxzyx （1 1） 绕绕Z Z轴旋转变换轴旋转变换 三维图形绕Z轴旋转时，图形上各顶点z坐标 不变，x、y坐标的变化相当于在XY二维平面内绕 原点旋转。所以绕

11、Z轴旋转变换的表达式为： zz yxy yxx zz zz cossin sincos （2 2） 绕绕X X轴旋转变换轴旋转变换 xx xx zyz zyy xx cossin sincos 1000 0cossin0 0sincos0 0001 11 xx xx zyxzyx （3 3） 绕绕Y Y轴旋转变换轴旋转变换 三维图形绕Y轴旋转时，图形上各顶点y坐标 不变，x、z坐标的变化相当于在XZ二维平面内绕 原点旋转。所以绕Y轴旋转变换的表达式为： yy yy zconxz yy zxx sin sincos 矩阵表示为： 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos 11 yy

12、 yy zyxzyx 绕任意轴旋转变换绕任意轴旋转变换 cos cos cos 3 2 1 n n n 绕该轴进行旋转变换其旋转矩阵的获取方法为：通过绕该轴进行旋转变换其旋转矩阵的获取方法为：通过 平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴 完成指定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原完成指定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原 始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。 (1) (1) 将将P(xP(xc c,y,yc c,z,zc c) )平移到坐标原点；变换矩阵为：平移到坐标原点；变换矩阵为：

13、 1 0100 0010 0001 1 ccc zyx T (2) (2) 将将I I轴绕轴绕Y Y轴旋转轴旋转 y y角角，同YZ平面重合，其 变换矩阵为： 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos 2 yy yy T (3) (3) 将将I I轴绕轴绕X X轴旋转轴旋转 x x角角，同Y轴重合，其变换矩阵为： 1000 0cossin0 0sincos0 0001 3 xx xx T (4) (4) 将将P(x,y,zP(x,y,z）点绕）点绕Y Y轴旋转轴旋转角角，其变换矩阵为： 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos 4 T （5 5）绕）绕X X轴旋转轴

14、旋转- - x x角角，其变换矩阵为： 1000 0cossin0 0sincos0 0001 5 xx xx T （6 6）绕）绕Y Y轴旋转轴旋转- - y y角角，其变换矩阵为： 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos 6 yy yy T （7 7）将）将P(xP(xc c,y,yc c,z,zc c) )平移回原位置平移回原位置，其变换矩阵为： 1 0100 0010 0001 7 ccc zyx T 复合变换矩阵为：TT1T2T3T4T5T6T7 （8）中间变量的计算方法）中间变量的计算方法 变换过程式中，sinx、siny、cosx、cosy为 中间变量，应使用已知

15、量n1、n2、n3表示出来。考 虑I轴上的单位向量n n，它在三个坐标轴上的投影值 即为n1、n2、n3。取Y轴上一单位向量将其绕X轴旋 转-x角，再绕Y轴旋转-y角，则此单位向量将同 单位向量n n重合，其变换过程为： 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos 1000 0cossin0 0sincos0 0001 10101 321 yy yy xx xx nnn 1sinsinsin yxxyx concon 即n1=sinx siny，n2= cosx，n3= sinx cosy。同时考 虑到n12+n22+n32=1，可解得： 2 cosn x 2 3 2 1 2 co

16、s1sinnn xx 2 3 2 1 33 sin cos nn nn x y 2 3 2 1 11 sin sin nn nn x y x(xxc)(n12(1n12)cos (yyc)( n1n2(1cos)n3sin) (zzc)( n1n3(1cos)n2sin)xc y=(xxc)( n1n2(1cos)n3sin) (yyc)( n22(1n22)cos) (zzc)( n2n3(1cos)n1sin)yc z=(xxc)( n1n3(1cos)n2sin) (yyc)( n2n3(1cos)n1sin) (zzc)( n32(1n32)cos)zc 对称变换对称变换 1000 0

17、100 0010 0001 11zyxzyx 相对于XZ平面的对称变换只需改变y坐标的正负号, 其变换的矩阵表示为： 1000 0100 0010 0001 11zyxzyx 空间一点P(x,y,z)对XY坐标平面对称变换时，只需 改变z坐标的正负号，其它两坐标不变，其变换的 矩阵表示为： 相对于YZ平面的对称变换只需改变x坐标的正负 号, 其变换的矩阵表示为： 1000 0100 0010 0001 11zyxzyx 如果需要相对于任一平面作对称变换时，可以将 此平面转换成与某一坐标平面相重合，并运用上 述简单的对称变换，然后再将平面反变换回原来 的位置即可。 错切错切变换变换 第一列中元素c和e不为0，产生沿X轴方向的