自动控制理论 自考 习题解答第5章稳定性分析

1、第五章 稳定性分析51解：（1） 系统的特征方程为。因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S平面的左半面，所以此系统稳定。（2） 系统的特征方程为。因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。（注：BIBO稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S平面的左半平面。若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。）52解：（1）特征方程中所

2、有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（），满足稳定的充分条件。 该控制系统稳定。（2）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh表如下：S4139S315S29S10S09Routh表中第一列元素出现负号，所以系统不稳定。并且其符号变化两次，故系统有两个特征根在S平面的右半部。（3）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（），不满足稳定的充分条件。 该控制系统不稳定。（4）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh表如下：S

3、6141012S56 (3)6 (3)14 (7)S412S3S212S1S012结论：表中第一列元素出现负数，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。（5）特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh表如下：S512423S42 （1）48 （24）46 （23）S30 （1）0 （12）S223S1S023结论：表中第一列元素出现零元素，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程 利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写

4、。结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。53解：（1）系统开环极点为-1、-2、-3，均在S平面的右半平面，所以开环系统稳定；闭环系统的特征方程为特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。（2）系统开环极点为0、-1、-2、-3，有一个在原点处，所以开环系统不稳定；闭环系统的特征方程为特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；列写Routh表S411120S36 （1）6 （1）S2 （1）20 （2）S10S02 结论：表中第一列元素出现负号，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定，根据

5、第一列元素符号变化情况，有2个特征根在S平面的右半平面，其它2个在S平面的左半平面。（3）系统开环极点为0、1、-5，其中一个在原点处，一个在右半平面，所以开环系统不稳定；闭环系统的特征方程为特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。（4）系统开环极点为0、1、-3/2，其中一个在原点处，一个在右半平面，所以开环系统不稳定；闭环系统的特征方程为特征方程的系数不全大于零，不满足系统稳定的必要条件，所以，系统不稳定。若列写Routh表可以确定根的分布。开环系统稳定与否是由系统开环极点的位置确定；而闭环系统稳定与否是

6、由系统闭环极点的位置（或特征根的位置）确定。所以，开环系统稳定，闭环系统不一定稳定；开环系统不稳定，闭环系统也不一定不稳定。54解：（1） 系统稳定的必要条件是；系统稳定的充分条件是；所以系统稳定的充分必要条件是。（2） 系统稳定的必要条件是；系统稳定的充分条件是由得：由得：所以系统稳定的充分必要条件是。55解：（1） 系统的特征方程为 系统稳定的必要条件是；系统稳定的充分条件是；所以系统稳定的充分必要条件是。（2）若希望系统的特征根具有稳定裕量，则表示特征根不但在S平面的左半平面，且距虚轴有一个单位。设，做坐标变换。得系统稳定的必要条件是；系统稳定的充分条件是；所以系统稳定的充分必要条件是。

7、56解：（1） 系统特征方程为所有项系数1，21，80，250大于0；赫尔维茨主行列式为；结论：满足系统稳定的充分必要条件，所以该系统稳定。（2） 系统特征方程为所有项系数1，20，75，250，250大于0；赫尔维茨主行列式为；结论：满足系统稳定的充分必要条件，所以该系统稳定。 jIm=0 -1 = Re jIm-1 = Re=057解： (a) (b)(a) 题为1型系统，则在原点的开环极点数为Q开=1，开环传递函数不含右半平面极点，则P开=0。绘制辅助线：以原点为圆心、无穷大为半径，起于实轴顺时针旋转90*Q开=90与奈氏曲线起点相连成封闭曲线。计算奈氏曲线与（-1，j0）点沿反时针方向

8、所引射线的正负穿次：顺时针穿次数b=1，逆时针穿次数为a=0，则系统闭环在右半平面的极点数P闭=P开-2（a-b）=2。结论：该系统不稳定，有两个特征根在S平面的右半平面。（b） 题为2型系统，则在原点的开环极点数为Q开=2，开环传递函数不含右半平面极点，则P开=0。绘制辅助线：以原点为圆心、无穷大为半径，起于实轴顺时针旋转90*Q开=90*2=180与奈氏曲线起点相连成封闭曲线。计算奈氏曲线与（-1，j0）点沿反时针方向所引射线的正负穿次：顺时针穿次数b=1，逆时针穿次数为a=1，则系统闭环在右半平面的极点数P闭=P开-2（a-b）=0。结论：该系统稳定，所有特征根在S平面的左半平面。58

9、jIm jIm jIm-1 = Re -1 = Re -1 = Re =0 =0 =0p=2 p=2 p=1(a) (b) (c) 解：（a） 奈氏曲线起于实轴，故为0型系统，则在原点的开环极点数为Q开=0，不需加辅助线。开环传递函数在右半平面极点数为P开=2。计算奈氏曲线与（-1，j0）点沿反时针方向所引射线的正负穿次：顺时针穿次数b=1，逆时针穿次数为a=0。则系统闭环在右半平面的极点数P闭=P开-2（a-b）=4。结论：该系统不稳定，有4个特征根在S平面的右半平面。（b） 奈氏曲线起于实轴，故为0型系统，则在原点的开环极点数为Q开=0，不需加辅助线。开环传递函数在右半平面极点数为P开=2

10、。计算奈氏曲线与（-1，j0）点沿反时针方向所引射线的正负穿次：顺时针穿次数b=0，逆时针穿次数为a=1。则系统闭环在右半平面的极点数P闭=P开-2（a-b）=0。结论：该系统稳定，所有特征根在S平面的左半平面。（c） 奈氏曲线起于实轴，故为0型系统，则在原点的开环极点数为Q开=0，不需加辅助线。开环传递函数在右半平面极点数为P开=1。计算奈氏曲线与（-1，j0）点沿反时针方向所引射线的正负穿次：顺时针穿次数b=1，逆时针穿次数为a=0.5（起于射线为半穿）。则系统闭环在右半平面的极点数P闭=P开-2（a-b）=1-2（0.5-1）=2。 结论：该系统不稳定，有2个特征根在S平面的右半平面。5

11、9解：（1） 系统开环频率特性为： 方法一：对应的相角与幅值条件为：依据相角裕量和穿越频率的计算公式得：方法二：依据相角裕量和幅值在不同频段的近似计算公式得：注：穿越频率刚好在转折频率处，计算误差较大。若穿越频率远离转折频率时，计算精度较高。（2） 系统开环频率特性为：对应的相角与幅值条件为：依据相角裕量和穿越频率的计算公式得：注：若采用折线近似计算方法，由于穿越频率刚好在转折频率处，可能产生的计算误差较大。510解：（1） 系统开环频率特性为：对应的相角与幅值条件为：根据增益裕量定义由相角条件得：dB，根据所在频段，利用幅值近似计算公式得：（2） 根据穿越频率和相角裕量定义得：幅值近似计算公

12、式为：由所在频段，利用幅值近似计算公式得：511解：（1）绘制K=10时，系统的Bode图为： L() dB-20 20 1 5 50 -40 -60() 5 50 -90 -180-270题5-11图（1）（3） 绘制K=100时，系统的Bode图为：L() dB -20 40 -401 5 50 -60() 5 50 -90 -180-270题5-11图（2）注：开环增益变化，仅仅是上下移动幅频特性曲线，而相频特性不变。（3）判别系统的稳定性：系统特方程为，规范化后得根据Routh稳定判据，该系统稳定的充分必要条件是所以K=10时，系统稳定，可以计算相角裕量与幅值裕量；K=100时，系统不

13、稳定，不存在相角裕量与幅值裕量。（4）计算K=10时系统相角裕量与幅值裕量：l 计算穿越频率根据穿越频率所在频段得：l 计算相角裕量l 相角等于-180时的角频率l 计算幅值裕量512解：（1） 绘制系统Bode图如下所示：L() dB 26.02 -20 -40K=2 K=20 6.021 5 -60() 1 5 -90 -180-270题5-12图（2）判系统稳定性：系统闭环特征方程为系统稳定的充分必要条件是。该系统在K=2时，系统稳定，在K=20时，系统不稳定。（3）计算K=2稳定系统的相角裕量和幅值裕量l 计算穿越频率根据穿越频率所在频段得：l 计算相角裕量l 相角等于-180时的角频

14、率l 计算幅值裕量513解：（1） 绘制开环系统的Bode图 两个积分环节；两个一阶微分环节的转折频率分别为5、50；两个一阶惯性环节的转折频率分别为200、1000；（2）系统的稳定性分析：从Bode图上看出，无论K值增大或减小，只使系统的幅频特性曲线上下移动，但相频特性曲线不变。由于该系统相频特性曲线在-180线上方，且与-180线无交点，因此，该系统的幅值裕量始终为无穷，相角裕量始大于零，所以无论K何值系统均稳定。 L（）-401 5 10 50 100 200 1000 -200 -20 （） -40 0 -90 -180 题5-13 图 题5-13图514解：（1） 稳定性分析：系统特征方程为系统稳定的充分必要条件是该系统在K=10、20、40