第二章第三节拱桥计算1

1、 第四节第四节 拱桥计算拱桥计算 （ Calculation of Arch Bridges ） 一、概述一、概述 二、拱轴线的选择与确定二、拱轴线的选择与确定 三、拱桥内力计算三、拱桥内力计算 四、主拱验算四、主拱验算 五、施工阶段主拱验算五、施工阶段主拱验算 一、概 述 Introduction 1 1、拱桥计算主要内容、拱桥计算主要内容 （1 1）成桥状态成桥状态（恒载和活载作用）的强度、刚度、稳定性（恒载和活载作用）的强度、刚度、稳定性 验算及必要的动力计算；验算及必要的动力计算； （2 2）施工阶段施工阶段结构受力计算和验算结构受力计算和验算 2 2、联合作用：、联合作用：荷载作用下

2、拱上建筑参与主拱圈共同受力；荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受力； （1 1）联合作用与拱上建筑构造形式及施工程序有关；）联合作用与拱上建筑构造形式及施工程序有关； （2 2）联合作用大小与拱上建筑和主拱圈）联合作用大小与拱上建筑和主拱圈相对刚度相对刚度有关，通有关，通 常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑较小；常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑较小； （3 3）主拱圈不计联合作用的计算）主拱圈不计联合作用的计算偏于安全偏于安全，但拱上结构不，但拱上结构不 安全；安全； 3 3、活载横向分布、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱 截面应力不均匀的现象。在板拱情况下常 常不计荷载横向分

3、布，认为主拱圈全宽均 匀承担荷载。 4 4、计算方法、计算方法：手算和程序计算。 一、概 述 Introduction 第四节第四节 拱桥计算拱桥计算 （ Computation of Arch Bridges ） 一、概述一、概述 二、拱轴线的选择与确定二、拱轴线的选择与确定 三、拱桥内力计算三、拱桥内力计算 四、主拱验算四、主拱验算 五、施工阶段主拱验算五、施工阶段主拱验算 二、拱轴线的选择与确定 拱轴线的形状直接影响主拱截面内力大小与分布。拱轴线的形状直接影响主拱截面内力大小与分布。 几个名词：几个名词： 压力线压力线：荷载作用下拱截面上弯矩为零（全截面受：荷载作用下拱截面上弯矩为零（全

4、截面受 压）的截面合内力作用点的连线；压）的截面合内力作用点的连线； 恒载压力线恒载压力线：恒载作用下截面弯矩为零的截面合内：恒载作用下截面弯矩为零的截面合内 力作用点的连线；力作用点的连线； 各种荷载压力线各种荷载压力线：各种荷载作用下截面弯矩为零的：各种荷载作用下截面弯矩为零的 截面合内力作用点的连线；截面合内力作用点的连线； 理想拱轴线理想拱轴线：与各种荷载压力线重合的拱轴线；：与各种荷载压力线重合的拱轴线； 合理拱轴线合理拱轴线：拱截面上各点为受压应力，尽量趋于：拱截面上各点为受压应力，尽量趋于 均匀分布，能充分发挥圬工材料良好的抗压性能；均匀分布，能充分发挥圬工材料良好的抗压性能；

5、选择拱轴线的原则选择拱轴线的原则：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱 轴线外形与施工简便等因素。轴线外形与施工简便等因素。 拱轴线的选择 选择原则：选择原则：尽可能降低荷载弯矩值尽可能降低荷载弯矩值 三种拱轴线形三种拱轴线形： （1 1）圆弧线）圆弧线-15m-20m-15m-20m石拱桥、拱上腹拱石拱桥、拱上腹拱 （2 2）抛物线）抛物线-轻型拱桥，或中承式拱桥轻型拱桥，或中承式拱桥 （3 3）悬链线）悬链线-最常用的拱轴线最常用的拱轴线 1、圆弧线 （1 1）圆弧线拱轴线线形简单，）圆弧线拱轴线线形简单， 全拱曲率相同，施工方便：全拱曲率相同，施工方便： （2 2）已知

6、）已知f,lf,l时，利用上述关时，利用上述关 系计算各种几何量。系计算各种几何量。 lf lf l R Ry Rx Ryyx / /4 1 2 )cos1 ( sin 02 1 1 2 1 2 圆弧形拱轴线是对应于同一深度静圆弧形拱轴线是对应于同一深度静 水压力下的压力线，与实际的恒载水压力下的压力线，与实际的恒载 压力线有偏离。压力线有偏离。 二、拱轴线的选择与确定 在均匀荷载作用下，拱的合理拱轴线的二次抛物在均匀荷载作用下，拱的合理拱轴线的二次抛物 线，适宜于恒载分布比较均匀的拱桥，拱轴线方线，适宜于恒载分布比较均匀的拱桥，拱轴线方 程为程为 在一些大跨径拱桥中，也采用高次抛物线作为拱在

7、一些大跨径拱桥中，也采用高次抛物线作为拱 轴线，例如轴线，例如KRKKRK大桥采用了三次抛物线。大桥采用了三次抛物线。 2、抛物线 2 2 1 4 x l f y 二、拱轴线的选择与确定 2、抛物线 二、拱轴线的选择与确定 实腹式拱桥的实腹式拱桥的恒载集度恒载集度是由拱顶到拱脚连续是由拱顶到拱脚连续 分布、逐渐增大的，其恒载压力线是一条悬分布、逐渐增大的，其恒载压力线是一条悬 链线。链线。 空腹式拱桥恒载的变化空腹式拱桥恒载的变化不是连续不是连续的函数，如的函数，如 果要与压力线重合，则拱轴线非常复杂。果要与压力线重合，则拱轴线非常复杂。 3、悬链线 二、拱轴线的选择与确定 3、悬链线 五点重

8、合法：使拱轴线和压力线在五点重合法：使拱轴线和压力线在拱脚、拱脚、 拱顶和拱顶和1/41/4点点重合来选择悬链线拱轴线的方重合来选择悬链线拱轴线的方 法，这样计算方便。法，这样计算方便。 目前大中跨径的拱桥都普遍采用悬链线拱目前大中跨径的拱桥都普遍采用悬链线拱 轴线形，采用悬链线拱轴线对空腹式拱桥轴线形，采用悬链线拱轴线对空腹式拱桥 主拱受力是有利的主拱受力是有利的。 3、悬链线 二、拱轴线的选择与确定 1）拱轴方程的建立 （1 1）坐标系的建立：拱顶为原点，）坐标系的建立：拱顶为原点，y1y1向下为正；向下为正； （2 2）对主拱的受力分析）对主拱的受力分析 1）拱轴方程的建立 （2）对主拱

9、的受力分析 恒载集度：恒载集度： 拱顶轴力：拱顶轴力： ， 因拱顶因拱顶 对拱脚截面取矩：对拱脚截面取矩： 对任意截面取矩：对任意截面取矩： d g x g j g 1 ygg dx ddj mgfgg f g m d ) 1( ) 1(1 1 f y mgg dx g H 0, 0 dd QM f M H j g g x H M y 1 1）拱轴方程的建立 （3）恒载压力线基本微分方程的建立 对 两边求导得： g x g H g dx Md Hdx yd 2 2 2 1 2 1 为简化结果引入参数 1 lx 1 2 2 1 2 1 2 yk H gl d yd g d ) 1( 2 12 m

10、 fH gl k g d g x H M y 1 1）拱轴方程的建立 （4）基本微分方程的求解 二阶非齐次常系数微分方程的通解为 kk eCeCy 211 微分方程的特解为： g d H gl y 2 1 1 边界条件：00, 0 1 1 d dy y 悬链线方程为： ) 1( 1 1 chk m f y g d H gl yk d yd 2 1 1 2 2 1 2 1）拱轴方程的建立 （4）基本微分方程的求解 ) 1( 1 1 chk m f y 拱的跨径和矢高确定后，拱轴线坐标取决于拱的跨径和矢高确定后，拱轴线坐标取决于 m m ，各种不同，各种不同m m ，所对应的拱轴坐标可由，所对应的

11、拱轴坐标可由 拱桥（上）拱桥（上）第第575575页附录页附录IIIIII表表(III)-1(III)-1 查出查出 1）拱轴方程的建立 （5）三个特殊关系 fy 1 , 1mchk )1ln( 2 mmk dj ggm , 1 2 1 fy 2/1 ， 4/11 yy 2) 1(2 1 1 1 2 1 1 ) 1 2 ( 4/1 mm m m k ch f y 2) 1(2 1 1 1 2 1 1 ) 1 2 ( 4/1 mm m m k ch f y 2）拱轴系数的确定 （1）实腹式拱桥拱轴系数的确定 dhg dd21 h d hg j dj321 cos j dd fh cos22 dh

12、 dd f d h g g m d jj d d j 21 321 ) cos22 ( cos 321 , 分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重；分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重； jd hdh, 分别为拱顶填料厚度、主拱圈厚度、拱脚拱腹填料厚度分别为拱顶填料厚度、主拱圈厚度、拱脚拱腹填料厚度 及拱脚处拱轴线水平倾角。及拱脚处拱轴线水平倾角。 2）拱轴系数的确定 （1）实腹式拱桥拱轴系数的确定 确定拱轴系数的步骤：确定拱轴系数的步骤： 假定m 从拱桥（上）拱桥（上）第第10001000页附录页附录IIIIII表表(III)-20(III)-20查查 j cos 由（由（1-2-251-

13、2-25）式计算新的）式计算新的m m 若计算的若计算的m m 和假定和假定m m 相差较远，则再次计算相差较远，则再次计算m m 值值 直到前后两次计算接近为止。直到前后两次计算接近为止。 以上过程可以编制小程序计算。以上过程可以编制小程序计算。 2）拱轴系数的确定 （2）空腹式拱桥拱轴系数的确定 拱轴线变化拱轴线变化：空腹式拱中桥跨结构恒：空腹式拱中桥跨结构恒 载分为两部分：分布恒载和集中恒载。载分为两部分：分布恒载和集中恒载。 恒载压力线不是悬链线，也不是一条光恒载压力线不是悬链线，也不是一条光 滑曲线。滑曲线。 五点重合法五点重合法：使悬链线拱轴线接近其：使悬链线拱轴线接近其 恒载压力

14、线，即要求拱轴线在全拱有恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有5 5 点（拱顶、拱脚和点（拱顶、拱脚和1/41/4点）与其三铰拱点）与其三铰拱 恒载压力线重合。恒载压力线重合。 2）拱轴系数的确定 （2）空腹式拱桥拱轴系数的确定 五点弯矩为零的条件：五点弯矩为零的条件： #1#1、拱顶弯矩为零条件、拱顶弯矩为零条件：0, 0 dd QM ，只有轴力 g H #2#2、拱脚弯矩为零、拱脚弯矩为零： f M H j g #3#3、1/41/4点弯矩为零点弯矩为零： 4/1 4/1 y M H g #4、 4/1 4/1 y M f M j 主拱圈恒载主拱圈恒载的 j MM, 4/1 可由拱桥（上）拱桥（

15、上）第第988988页页附录附录IIIIII表表(III)-19(III)-19查得查得 2）拱轴系数的确定 （2）空腹式拱桥拱轴系数的确定 拱轴系数的确定步骤：拱轴系数的确定步骤： #1#1、假定拱轴系数、假定拱轴系数m m #2#2、布置拱上建筑，求出、布置拱上建筑，求出 j MM, 4/1 #3#3、利用（、利用（1-2-241-2-24）和（）和（1-2-271-2-27）联立解出）联立解出m m为为 1)2( 2 1 2 4/1 y f m #4#4、若计算、若计算m m与假定与假定m m不符，则以计算不符，则以计算m m作为假定值作为假定值m m重新计算，重新计算， 直到两者接近为

16、止。直到两者接近为止。 2）拱轴系数的确定 （3）拱轴线与压力线的偏离 三铰拱拱轴线与恒载压力线的偏离值三铰拱拱轴线与恒载压力线的偏离值 以上确定以上确定m m方法只保证全拱有方法只保证全拱有5 5点与恒载压力线吻合，其余各点均存在点与恒载压力线吻合，其余各点均存在 偏离，这种偏离会在拱中产生附加内力，对于三铰拱各截面偏离弯矩值偏离，这种偏离会在拱中产生附加内力，对于三铰拱各截面偏离弯矩值 p M可用拱轴线与压力线在该截面的偏离值y表示，即yHM gp 空腹式无铰拱的拱轴线与压力线的偏离空腹式无铰拱的拱轴线与压力线的偏离 对于无铰拱，偏离弯矩的大小不能用对于无铰拱，偏离弯矩的大小不能用 yHM

17、 gp 表示，而应以该偏离弯矩作为荷载计算无铰拱的偏离弯矩；表示，而应以该偏离弯矩作为荷载计算无铰拱的偏离弯矩； 2）拱轴系数的确定 （3）拱轴线与压力线的偏离 由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为：由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为： s s g s s p p I ds ds I y H EI dsM EI dsMM X 2 1 1 11 1 1 s s g s s p p I dsy ds I yy H EI dsM EI dsMM X 22 2 2 22 2 2 其中yHM gp 1 1 M yM 2 其值较小 其值恒正（压） 2）拱轴系数的确

18、定 （3）拱轴线与压力线的偏离 任意截面之偏离弯矩为：任意截面之偏离弯矩为： p MyXXM 21 拱顶和拱脚弯矩为：拱顶和拱脚弯矩为： 0 21 sd yXXM 0)( 21 sj yfXXM s y 是弹性中心至拱顶的距离是弹性中心至拱顶的距离。 空腹式无铰拱采用五点重合法确定拱轴线，是与相应的三铰空腹式无铰拱采用五点重合法确定拱轴线，是与相应的三铰 拱压力线在五点重合，而与无铰拱压力线实际上并不存在五拱压力线在五点重合，而与无铰拱压力线实际上并不存在五 点重合关系。但点重合关系。但偏离弯矩恰好与控制截面弯矩符号相反偏离弯矩恰好与控制截面弯矩符号相反，因，因 而，而，偏离弯矩对拱脚及拱顶是

19、有利的偏离弯矩对拱脚及拱顶是有利的。 2）拱轴系数的确定 （4 4）拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系）拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系 矢跨比大，拱轴系数矢跨比大，拱轴系数m m相应取大；相应取大； 空腹拱的拱轴系数空腹拱的拱轴系数m m比实腹拱的小比实腹拱的小 ； 对于无支架施工的拱桥，裸拱对于无支架施工的拱桥，裸拱 1m ,为了改善裸拱受力状态，设计时宜选较小为了改善裸拱受力状态，设计时宜选较小 的拱轴系数的拱轴系数m m； 矢跨比不变，高填土拱桥选小矢跨比不变，高填土拱桥选小 m ，低填土拱桥选较大低填土拱桥选较大 m 3）拱轴线的水平倾角 对拱轴线方程求导得： shk m fk d d

20、y 1 1 shk ml fk dl dy dx dy tg ) 1( 2 1 11 )1ln( 2 mmk 拱轴线各点水平倾角只与f/l和m有关，该值可从拱 桥（上）第第577577页页表（III）-2查得。 ) 1( 1 1 chk m f y 4）悬链线无铰拱的弹性中心 4）悬链线无铰拱的弹性中心 计算无铰拱内力时，为简化计算常利用计算无铰拱内力时，为简化计算常利用弹性中心弹性中心的特的特 点；将无铰拱基本结构取为点；将无铰拱基本结构取为悬臂曲梁悬臂曲梁和和简支曲梁简支曲梁。 ff dksh dkshchk m f ds dsy EI ds EI dsy y s s s s s 3 1

21、1 1) 1( 1 1 1 0 22 1 0 22 1 1 1 可从可从拱桥（上）拱桥（上）第第579579页表页表（IIIIII）-3-3查得查得。 4、拟合拱轴线 （1 1）必要性和可行性）必要性和可行性 确定拱轴线的特点是采用确定拱轴线的特点是采用五点重合法五点重合法，即利用，即利用 拱轴线的五点来逼近压力线，但随着桥梁跨度的增拱轴线的五点来逼近压力线，但随着桥梁跨度的增 大，五点显得越来越少，一些截面偏离弯矩较大，大，五点显得越来越少，一些截面偏离弯矩较大， 有必要采取有必要采取多点重合法多点重合法来逼近压力线。来逼近压力线。 随着现代结构分析理论发展和计算技术在桥梁随着现代结构分析理

22、论发展和计算技术在桥梁 设计中广泛应用，通过设计中广泛应用，通过优化拟合优化拟合而成的某一曲线作而成的某一曲线作 为拱轴线成为可能，目前常用的拟合方法有：最小为拱轴线成为可能，目前常用的拟合方法有：最小 二乘法，样条函数逼近法等二乘法，样条函数逼近法等。 4、拟合拱轴线 （2 2）确定函数逼近准则）确定函数逼近准则 压力线与拱轴线任意对应点的残差均达到最小残差均达到最小 ), 3 , 2 , 1( min)(maxniyxf ii 4、拟合拱轴线 （3 3）确定约束条件）确定约束条件 我们希望的拱轴线；我们希望的拱轴线； 约束条件使之成为较好的拱轴线；约束条件使之成为较好的拱轴线； 约束条件包

23、括坐标原点通过拱顶、拱脚竖坐约束条件包括坐标原点通过拱顶、拱脚竖坐 标为矢高，凸曲线的条件等标为矢高，凸曲线的条件等 。 4、拟合拱轴线 （4 4）建立拟合数学模型）建立拟合数学模型 将逼近准则与约束条件相结合： ), 3 , 2 , 1( )(maxminniyxf ii ), 0( 0)( n xxxf 0(0) 0)0(ff 拱轴线的拟合可以逐次逼近实现。 第四节第四节 拱桥计算拱桥计算 （ Computation of Arch Bridges ） 一、概述一、概述 二、拱轴线的选择与确定二、拱轴线的选择与确定 三、拱桥内力计算三、拱桥内力计算 四、主拱验算四、主拱验算 五、施工阶段主

24、拱验算五、施工阶段主拱验算 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力（一）手算法计算拱桥内力 1 1、等截面悬链线拱恒载内力计算、等截面悬链线拱恒载内力计算 2 2、等截面悬链线拱活载内力计算、等截面悬链线拱活载内力计算 3 3、等截面悬链线拱其它内力计算、等截面悬链线拱其它内力计算 （二）有限元法计算简介（二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算（三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算（四）拱上建筑计算 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力 1、等截面悬链线拱恒载内力计算 恒载内力、弹性压缩的内力、拱轴线偏离引起的内力恒载内力、弹性压缩的内力、拱

25、轴线偏离引起的内力 (1) (1) 不考虑弹性压缩的恒载内力不考虑弹性压缩的恒载内力 (2) (2) 弹性压缩引起的恒载内力弹性压缩引起的恒载内力 (3)(3) 恒载作用下拱圈的总内力恒载作用下拱圈的总内力 (4)(4) 用影响线加载法计算恒载内力用影响线加载法计算恒载内力 三、拱桥内力计算 （1）不考虑弹性压缩的恒载内力实腹拱 认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈中只有轴力认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈中只有轴力 而无弯矩，按纯压拱计算：而无弯矩，按纯压拱计算： 恒载水平推力： f lg f lg k f lg k m H dd g d g 222 2 )18. 0128. 0(

26、4 1 拱脚竖向反力为半拱恒载重力： lglgklg mm m dxgV ddgd l xg )981. 0527. 0( ) 1ln(2 1 2 2 0 1 拱圈各截面轴力： cos/ g HN gg kk,可从拱桥（上）拱桥（上）第第580580页表页表（IIIIII）-4-4查得。 三、拱桥内力计算 （1）不考虑弹性压缩的恒载内力空腹拱 空腹式悬链线无铰拱的拱轴线与压力线均有偏离，计算时 分为两部分相叠加： 无偏离恒载内力无偏离恒载内力+ +偏离影响的内力偏离影响的内力= =无弹性压缩的恒载内力。无弹性压缩的恒载内力。 无偏离恒载内力无偏离恒载内力 f M H j g ig PV cos

27、/ g HN sin )( cos 2 121 2 XQ yHyyXXM XN gs 偏离引起的恒载内力偏离引起的恒载内力 三、拱桥内力计算 （1）不考虑弹性压缩的恒载内力空腹拱 偏离引起的恒载内力偏离引起的恒载内力 中小跨径空腹拱桥不考虑该值偏于安全；中小跨径空腹拱桥不考虑该值偏于安全； 大跨径空腹拱桥对拱顶、拱脚有利，对大跨径空腹拱桥对拱顶、拱脚有利，对1/81/8、3/83/8 截面有不利，尤其截面有不利，尤其3/83/8截面往往成为正弯矩控制截面截面往往成为正弯矩控制截面 偏离附加内力大小与拱上恒载布置有关偏离附加内力大小与拱上恒载布置有关 一般腹拱的跨度大，影响大一般腹拱的跨度大，影

28、响大 三、拱桥内力计算 （2）弹性压缩引起的恒载内力 在恒载轴力作用下，拱圈弹性压缩表现为拱轴长度在恒载轴力作用下，拱圈弹性压缩表现为拱轴长度 缩短，这必然会引起相应的附加内力。缩短，这必然会引起相应的附加内力。 拱顶变形协调条件拱顶变形协调条件： 022lH g 三、拱桥内力计算 （2）弹性压缩引起的恒载内力 022lH g l g l EA dx H EA Nds dxl 00 cos cos sssss EI dsy EA ds EI dsy EA dsN EI dsM 222 2 2 2 2 22 )1 ( cos 1 1 gg HH ss s EI dsy EvA l EI dsy

29、EA ds 22 2 cos ss EI dsy AEv l EI dsy EA dx 2 1 2 0 1 cos 三、拱桥内力计算 （2）弹性压缩引起的恒载内力 上述公式中： s EI lf EI dsy 2 2 )119. 0086. 0( 可从拱桥（上）拱桥（上）第第581581页表页表（IIIIII）-5-5查得； )975. 0824. 0( 1 ),03. 1247. 1 ( 1 1 vv 可从拱桥（上）拱桥（上）第第607607页表（页表（IIIIII）-8-8和第和第609609页表（页表（IIIIII）-10-10查得； 2 1 )92.1154.10( f r 和 2 )3

30、1.11967. 6( f r 可从拱桥（上）拱桥（上）第第608608页表（页表（IIIIII）-9-9和第和第610610页表页表（IIIIII）-11-11查得； 三、拱桥内力计算 （2）弹性压缩引起的恒载内力 g H 的作用在拱内产生的内力为： sin 1 )( 1 cos 1 1 1 1 1 g sg g HQ yyHM HN 可见考虑弹性压缩，在拱顶产生正弯矩，压力线上移拱顶产生正弯矩，压力线上移；拱脚产生负弯拱脚产生负弯 矩，压力线下移矩，压力线下移。即实际压力线不与拱轴线重合实际压力线不与拱轴线重合。 8585桥规桥规规定，对跨径较小 ，矢跨比较大的拱桥可不计弹性压缩影响： 3

31、/1/,30lfml4/1/,20lfml5/1/,10lfml 1 1 gg HH 三、拱桥内力计算 （3）恒载作用下拱圈的总内力总内力 不考虑弹性压缩的内力不考虑弹性压缩的内力+ +弹性压缩产生内力弹性压缩产生内力 sin 1 )( 1 cos 1cos 1 1 1 1 g sg g g HQ yyHM H H N 三、拱桥内力计算 （3）恒载作用下拱圈的总内力总内力 不考虑弹性压缩内力不考虑弹性压缩内力 + +弹性压缩内力弹性压缩内力+ +拱轴偏离内力拱轴偏离内力 sinsin)( 1 )( 1 cos)( 1 cos cos 22 1 12 1 2 1 2 XXHQ MyyXHM XH

32、X H N g sg g g s s g dsy ydsy HX 2 2yHyXXM g 21 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力 1、等截面悬链线拱恒载内力计算 恒载内力、弹性压缩的内力、拱轴线偏离引起的内力恒载内力、弹性压缩的内力、拱轴线偏离引起的内力 (1) (1) 不考虑弹性压缩的恒载内力不考虑弹性压缩的恒载内力 (2) (2) 弹性压缩引起的恒载内力弹性压缩引起的恒载内力 (3)(3) 恒载作用下拱圈的总内力恒载作用下拱圈的总内力 (4)(4) 用影响线加载法计算恒载内力用影响线加载法计算恒载内力 三、拱桥内力计算 （4）用影响线加载法计算恒载内力 为简化可用影响线加载法计算

33、恒载内力，通过影响线和恒为简化可用影响线加载法计算恒载内力，通过影响线和恒 载布置形式可制成计算系数表格，供查用，见载布置形式可制成计算系数表格，供查用，见拱桥（上）拱桥（上） 第第830973830973页表（页表（IIIIII）-17-17（1 1）1717（144144）。 该方法计算分两步：该方法计算分两步： 在不计弹性压缩影响线上计算恒载内力得到不计弹性压缩在不计弹性压缩影响线上计算恒载内力得到不计弹性压缩 内力；将拱桥恒载分为三部分：空腹拱段集中力，实腹段分内力；将拱桥恒载分为三部分：空腹拱段集中力，实腹段分 布力和主拱圈。布力和主拱圈。 在不计弹性压缩内力基础上计算弹压内力；然后

34、将这两部在不计弹性压缩内力基础上计算弹压内力；然后将这两部 分叠加即为恒载内力。分叠加即为恒载内力。 三、拱桥内力计算 （4）用影响线加载法计算恒载内力 三、拱桥内力计算 （4）用影响线加载法计算恒载内力 不计弹性压缩时的恒载计算如下： 路面荷载： 100/ 1000/ 1 2 1 lBhkN lBhkM dN dM 填料荷载： 100/ 1000/ 2 2 3 2 lBkN lBkM N M 拱圈重力： lAkN lAkM N M 3 2 3 100/ 空腹拱集中力： iN iM PkN lPkM 式中： 321 , 是路面、填料和拱圈材料的容重；B,A是拱圈宽度和拱圈截面积； NM kk,

35、是两半拱相应立柱处内力影响线坐标之和 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力（一）手算法计算拱桥内力 1 1、等截面悬链线拱恒载内力计算、等截面悬链线拱恒载内力计算 2 2、等截面悬链线拱活载内力计算、等截面悬链线拱活载内力计算 3 3、等截面悬链线拱其它内力计算、等截面悬链线拱其它内力计算 （二）有限元法计算简介（二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算（三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算（四）拱上建筑计算 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力 2、等截面悬链线拱活载内力计算 （1）荷载横向分布系数 （2）内力影响线 （3）内力计算 三、拱

36、桥内力计算 （1）荷载横向分布系数 拱桥属于空间结构，在活载作用下受力比较复拱桥属于空间结构，在活载作用下受力比较复 杂，实际中常常通过荷载横向分布系数形式将杂，实际中常常通过荷载横向分布系数形式将空间结构空间结构 简化为平面结构计算简化为平面结构计算。 板拱桥的荷载横向分布系数：均匀分布板拱桥的荷载横向分布系数：均匀分布 B C n C C 为车列数，B 为拱圈宽度， n 为拱箱个数。为拱箱个数。 肋拱桥荷载横向分布系数：偏安全地用杠杆法计算肋拱桥荷载横向分布系数：偏安全地用杠杆法计算 三、拱桥内力计算 （2）内力影响线 赘余力影响线赘余力影响线 求拱中内力影响线时，常采用简支曲梁为基本结构

37、，赘余力为求拱中内力影响线时，常采用简支曲梁为基本结构，赘余力为 321 ,XXX ，根据弹性中心特点，所有副变位均为零根据弹性中心特点，所有副变位均为零。 三、拱桥内力计算 （2）内力影响线 赘余力影响线赘余力影响线 求拱中内力影响线时，常采用简支曲梁为基本结构，赘余力为求拱中内力影响线时，常采用简支曲梁为基本结构，赘余力为 321 ,XXX ，根据弹性中心特点，所有副变位均为零。根据弹性中心特点，所有副变位均为零。 33 3 33333 22 2 22222 11 1 11111 0 0 0 p p p p p p XX XX XX s p s s p s s p s ds EI MM E

38、I l ds EI M ds EI MM EI lf ds EI M ds EI MM EI l ds EI M 3 3p 32 3 33 2 2p 22 2 22 1 1p 1 2 1 11 1 EI l EI lf EI l 32 1 , 1 查拱桥（上）拱桥（上）第第607607页（页（IIIIII）-8-8、第、第581581页（页（IIIIII）-5-5、 第第582582页表（页表（IIIIII）-6-6 三、拱桥内力计算 （2）内力影响线 为了计算赘余力，一般将拱圈沿跨径方向分成为了计算赘余力，一般将拱圈沿跨径方向分成4848等分，当单位荷载从左等分，当单位荷载从左 拱脚移动到右

39、拱脚时，可计算出在各分点上的赘余力拱脚移动到右拱脚时，可计算出在各分点上的赘余力 321 ,XXX 数值（即影响线竖坐标值），由此即得321 ,XXX 的影响线， 三、拱桥内力计算 （2）内力影响线 水平推力 1 H影响线： 21 XH 各点影响线竖坐标查拱桥（上）拱桥（上）第第611611页（页（IIIIII）-12-12。 任意截面弯矩影响线：拱中各截面不计弹压的弯矩影响 线坐标可查拱桥（上）拱桥（上）第第623623页（页（IIIIII）-13-13。 一般不用N、Q的影响线求内力，而是先求出水平推力和 拱脚竖向反力，然后计算轴力和弯矩； 1 HN 拱顶截面： jj VHNsincos

40、1 cos/ 1 HN 拱脚截面： jj VHQcossin 1 图为重庆珞磺电厂柑子溪拱桥内力计算影响线图图为重庆珞磺电厂柑子溪拱桥内力计算影响线图 考虑弹性压缩影响（与查表所得图形数值大致相同）考虑弹性压缩影响（与查表所得图形数值大致相同） 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力 2、等截面悬链线拱活载内力计算 （1）荷载横向分布系数 （2）内力影响线 （3）内力计算 三、拱桥内力计算 （3）内力计算 拱是偏心受压构件，最大应力由弯矩拱是偏心受压构件，最大应力由弯矩M M和轴力和轴力N N共同决定共同决定, , 但布载往往不能使但布载往往不能使M M、N N同时达到最大，一般按最大（最

41、小）弯同时达到最大，一般按最大（最小）弯 矩布载，求出最大弯矩及其相应轴力及剪力等。利用影响线求矩布载，求出最大弯矩及其相应轴力及剪力等。利用影响线求 内力有内力有直接布载法直接布载法和和等代荷载法等代荷载法 直接布载法：荷载值直接乘以相应位置影响线竖标值求得。直接布载法：荷载值直接乘以相应位置影响线竖标值求得。 等代荷载法：等代荷载值（车辆等）乘以相应影响线面积求等代荷载法：等代荷载值（车辆等）乘以相应影响线面积求 得。常用活载的等代荷载可从公路桥涵设计手册得。常用活载的等代荷载可从公路桥涵设计手册基本资料基本资料 第第5858页表页表1-231-23查得；影响线面积可从公路桥涵设计手册查得

42、；影响线面积可从公路桥涵设计手册拱桥拱桥 （上）（上）第第732732页表页表(III)-14(III)-14查得；查得； 三、拱桥内力计算 例题：等截面悬链线无铰拱例题：等截面悬链线无铰拱，24. 2,10,50mmfml ，桥面宽度为净桥面宽度为净-7-7米，计算汽车米，计算汽车2020级荷载作用下级荷载作用下拱脚最拱脚最 大正、负弯矩及相应轴力。大正、负弯矩及相应轴力。 三、拱桥内力计算 解解：1 1、拱脚最大正弯矩及相应轴力、拱脚最大正弯矩及相应轴力 （1 1）根据 24. 2, 5/1/mlf 查拱桥（上）拱桥（上）第10101010页的拱脚水平倾角的正弦和余弦： 73057. 0c

43、os,68284. 0sin jj （2 2）根据ml50 ，拱脚最大M及汽车-20查基本资料基本资料第7474页的等代荷载： mkNKKmkNK VHM /879.16,070.18,/478.19 三、拱桥内力计算 （3 3）根据 24. 2, 5/1/mlf 查拱桥（上）拱桥（上）第774774页的影响线面积： ll fll NV HM 44469. 0,16622. 0 ,/09067. 0,01905. 0 22 （4 4）拱脚最大弯矩： mkNKM MM .3 0478.192 2 max kNKH HH 2 .81910/5009067. 0070.1

44、82 2 1 kNKV VV 6 .2805016622. 0879.162 jj VHNsincos 1kN1 .79068284. 06 .2807357. 02 .819 三、拱桥内力计算 2 2、拱脚最大负弯矩及相应轴力、拱脚最大负弯矩及相应轴力 （1 1）根据 ml50 ，拱脚最大负M及汽车-20查基本资料基本资料第7979页的等代荷载： mkNKKmkNK VHM /724.16,932.10,/547.23 （2 2）根据 24. 2, 5/1/mlf 查拱桥（上）拱桥（上）第774774页的影响线面积： ll fll NV HM 36216. 0,33378. 0 ,/0367

45、5. 0,01465. 0 22 三、拱桥内力计算 （3 3）拱脚最大负弯矩及相应轴力： mkNKM MM .8 0547.232 2 max kNKH HH 9 .20010/5003675. 0932.102 2 1 kNKV VV 2 .5585033378. 0724.162 jj VHNsincos 1 kN9 .52768284. 02 .55857.73. 09 .200 活载弹性压缩引起的内力 活载的弹性压缩与恒载相似，在弹性中心作用一赘余 水平拉力。典型方程为： 由活载弹性压缩引起的内力为： ) ( )7021 ( 1 cos 1 1 22 22

46、书上公式有误 H EA Nds l H s sin 1 sin )7321 (cos 1 cos 1 1 1 1 1 1 1 HHQ HHN yHHyM 最终活载内力最终活载内力不考虑弹压的活载内力不考虑弹压的活载内力 活载弹压内力活载弹压内力 手算：手算：不计弹压活载内力可用等代荷载计算，不计弹压活载内力可用等代荷载计算， 活载弹压内力则可根据查表直接求得。若将活载弹压内力则可根据查表直接求得。若将 弹性压缩的影响一并考虑，则会使计算大为弹性压缩的影响一并考虑，则会使计算大为 复杂。复杂。 电算：电算：求结构内力影响线并直接布载求出的内求结构内力影响线并直接布载求出的内 力，因考虑了弹性压缩

47、的影响，故为最终活力，因考虑了弹性压缩的影响，故为最终活 载内力。载内力。 三、拱桥内力计算 （一）手算法计算拱桥内力一）手算法计算拱桥内力 1 1、等截面悬链线拱恒载内力计算、等截面悬链线拱恒载内力计算 2 2、等截面悬链线拱活载内力计算、等截面悬链线拱活载内力计算 3 3、等截面悬链线拱其它内力计算、等截面悬链线拱其它内力计算 （二）有限元法计算简介（二）有限元法计算简介 （三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算（三）拱在横向力及偏心荷载作用下的计算 （四）拱上建筑计算（四）拱上建筑计算 3、等截面悬链线拱的其他内力计算 超静定拱中，温度变化、混凝土收缩变形和拱脚变位都会产超静定拱中，温度变

48、化、混凝土收缩变形和拱脚变位都会产 生附加内力。生附加内力。 我国许多地区温度变化大，温度引起的附加内力不容忽视。我国许多地区温度变化大，温度引起的附加内力不容忽视。 混凝土收缩徐变引起拱桥开裂。混凝土收缩徐变引起拱桥开裂。 拱桥墩台变位的影响突出。据统计分析，两拱脚相对水平位拱桥墩台变位的影响突出。据统计分析，两拱脚相对水平位 移超过移超过L/1200L/1200时，拱桥的承载力就会大大降低，甚至破坏。时，拱桥的承载力就会大大降低，甚至破坏。 温度变化内力计算温度变化内力计算 混凝土收缩变形影响混凝土收缩变形影响 拱脚变位引起的内力计算拱脚变位引起的内力计算 水浮力引起的内力计算水浮力引起的

49、内力计算 (1)温度内力计算 拱圈的合龙温度 当大气温度比合龙温度高时，引起拱 体膨胀；反之，大气温度比合龙温度 低时，引起拱体收缩。不论是膨胀还 是收缩，都会在拱中产生附加内力， 只符号不同而已。 温度内力计算图示 赘余力计算公式 s t t EI dsy tll H 2 22 )1 ( 温度内力图示 y1y1 )( 22 22 为正，反之，为负升温， t tll H t t sin cos )( 1 tt tt sttt HQ HN yyHyHM 升温时，轴力为正，在拱顶， M为负，拱脚M为正，与该两 截面的控制弯矩方向正好相 反，对拱圈受力有利。 降温时，轴力为负，拱顶拱 脚的弯矩与控制

50、弯矩方向相 同，对拱圈不利。 (1)温度内力计算 (1)温度内力计算 例题：例题：某钢筋混凝土拱桥，计算跨径l=90m， 计算矢高f=18m，拱轴系数=2.24，合拢温度为 20，现温度为10，试计算由此温度差在拱拱 顶顶和拱脚拱脚截面产生的附加内力。公式中可以用 11,22,33表示，弹性中心YS=0.32f。 (1)温度内力计算 解：解：根据公式： 2222 2222 /009. 0/109000001. 0 tll H t t 拱顶拱顶附加内力： 0sin /009. 00cos/009. 0cos /0518. 0)01832. 0(/009. 0)( 2222 22221 tt tt

51、 stt HQ HN yyHM (1)温度内力计算 拱脚拱脚附加内力： 06.43,9345. 0 ) 124. 2(90 4456. 14456. 1182 4456. 1)1ln( , ) 1( 2 2 jj j sh tg mmk ml fkshk tg 22 22 22 2222 22 221 /0061. 0 06.43sin/009. 0sin /0066. 0 /7306. 0009. 0cos/009. 0cos /1102. 0 )181832. 0(/009. 0)( tt jtt stt HQ HN yyHM (2)混凝土收缩影响力 混凝土在结硬过程中的收缩变形混凝土在结

52、硬过程中的收缩变形，其作用与温度下降类似，其作用与温度下降类似， 通常等效于温度的额外降低。通常等效于温度的额外降低。桥规桥规规定：规定： 整体浇注的砼结构的收缩影响，一般地区相当于降温整体浇注的砼结构的收缩影响，一般地区相当于降温2020 度，干燥地区为度，干燥地区为3030度；整体浇注的钢筋砼结构的收缩影度；整体浇注的钢筋砼结构的收缩影 响相当于降温响相当于降温15-2015-20度。度。 分段浇注砼或钢筋砼结构收缩影响相当于降温分段浇注砼或钢筋砼结构收缩影响相当于降温10-1510-15度。度。 装配式钢筋砼结构的收缩影响，相当于降温装配式钢筋砼结构的收缩影响，相当于降温5-105-10

53、度。度。 考虑混凝土徐变影响考虑混凝土徐变影响，可乘以下系数，可乘以下系数: : 温度变化影响力：温度变化影响力：0.70.7 混凝土收缩影响力：混凝土收缩影响力：0.450.45 详见详见公路圬工桥涵设计规范公路圬工桥涵设计规范JTG D61JTG D6120052005：P58P58 特别注意的问题： 拱桥设计必须说明合拢温度 拱桥应在较低温度下合拢 设计中必须计算温度内力 例题： 一缆索吊装施工钢筋砼拱桥，主拱合 拢温度为150C，最低气温00C，最高气温 400C，混凝土收缩内力按温度降低100C考虑， 计算考虑混凝土徐变的影响力。 温降：（0-15）0.7-100.45=-15 温升

54、：（40-15）0.7-100.45=13 (3) 拱脚变位引起的内力计算 在软土地基上修建拱桥和桥墩较柔的多孔拱桥， 拱踋变位是难以避免的。 （一）拱脚相对水平位移 采用悬臂曲梁作为基本结构 X222+2=0 拱脚相对水平位移内力计算公式 HAHBH HA HB 为左右拱脚水平位移，右移为正，左移为负。 两拱脚发生相对水平位移在弹性中心产生的赘余力： s HH EI dsy X 2 22 2 两拱脚相对靠拢（ H 为负） 2 X为正。 s EI dsy 2 可查拱桥（上）拱桥（上） 第581581页表（III）-5。 （二）拱脚相对竖直位移 采用悬臂曲梁作为基本结构 X333+3=0 拱脚相

55、对竖直位移内力计算公式 VAVBV VA VB 为左右拱脚垂直位移，下移为正，上移为负。 两拱脚发生相对垂直位移在弹性中心产生的赘余力： s VV EI dsx X 2 33 3 等截面悬链线的 s EI dsx 2 可查拱桥（上）拱桥（上）第582582页表（III）-6； （三）拱脚相对角变位引起的内力 采用悬臂曲梁作为基本结构 （三）拱脚相对角变位引起的内力 图中拱脚B发生转角 B （顺时针为正）之后，在弹性中心除产生相同（顺时针为正）之后，在弹性中心除产生相同 转角外，还引起相对水平位移和相对垂直位移，因此，在弹性中心会转角外，还引起相对水平位移和相对垂直位移，因此，在弹性中心会 产生三个赘余力：产生三个赘余力： s A s sA A E