概率统计题库计算题

1、概率统计题库计算题（随机事件与概率部分，每小题10 分左右）1：一个口袋中有 7 个红球 3 个白球，从袋中任取一球，看过颜色后放回袋中，然后再取一球，假设每次取球时袋各个球被取到的可能性相同。求（ 1） 第一、二次都取到红球的概率？（ 2） 第一次取到红球，第二次取到白球的概率？（ 3） 第二次取到红球的概率？2：一个口袋中装有编号1 至 10 的十个球，随机地从口袋中任取3 个球，求：（ 1） 最小号码为 4 的概率？（ 2） 最大号码为 7 的概率？（ 3） 最小号码为 3 最大号码为 8 的概率？3：把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 5 人，

2、试求（ 1）这三名学生住不同宿舍的概率？（2）这三名学生有两人住同一宿舍的概率？（3）这三名学生宿同一宿舍的概率？4：总经理的五位秘书中有两位精通英语， 今偶遇其中的三位秘书， 求下列事件的概率：（ 1）事件 A ：“其中恰有一位精通英语” ；（2）事件 B“其中有两位精通英语”；（3）事件 C“其中有人精通英语” 。5：设一质点落在区域 G ( x, y) |0x 1,0 y1, xy 1 内任一点的可能性相等，求（ 1）质点落在直线 x2 的左边的概率？（ 2）质点落在直线 y4的上方的概率？356：已知 10 只电子元件中有 2 只是次品，每次取一只，不放回取两次，求：（ 1）第一次取正

3、品、第二次取次品的概率？（2）一次正品、一次次品的概率？（ 3）两次都是次品的概率？（ 4）第二次取次品的概率？7：甲乙丙同时独立去破译一密码，破译的概率分别为0.5,0.8,0.6，试求（ 1）密码恰好被某两人同时破译的概率？（ 2）密码被破译的概率？8：为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A 与 B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统 A 为了 0.92，系统 B 为 0.93，在 A 失灵的条件下，B 有效的概率为 0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率？（ 2） B 失灵的条件下， A 有效的概率？9:：甲、乙两人同时独立向一目标射击，甲击中的概率为0

4、.8，乙击中的概率为0.9，求（ 1）两人都中靶的概率？（ 2）甲中乙不中的概率？（ 3）甲不中乙中的概率？10：有两箱同类的零件，第一箱装 50 只，其中有 10 只一等品；第二箱装 30 只，其中有 18 只一等品，今从中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次取一只，作不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率？（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下， 第二次取到的也是一等品的概率？11：设 10 件产品中有 4 件是次品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是次品，求另一件也是次品的概率？12：设玻璃杯整箱出售，每箱 20 只，各箱含有 0，1，2 只残次品的概率分别

5、为 0.8，0.1，0.1。一顾客欲买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，顾客开箱随机查看 4 只，若无残次品，则买此箱杯，否则不买。求（ 1）顾客买此箱玻璃杯的概率？（ 2）在顾客买的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率？13:：甲、乙、丙命中率分别为70%、50%、30%，设每个人都足够聪明与理智，按丙、乙、甲顺序先后射击决斗，问每个人胜出的概率为多少？14：有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4。若坐火车来迟到的概率为 0.25，坐船来迟到的概率为 0.3，坐汽车来迟到的概率为 0.1，坐飞机来不会迟到，求（ 1）该朋友迟到的概率为多少？（ 2

6、）如果这朋友迟到了，则他是坐汽车来的概率为多少？15：甲、乙两人投篮命中率分别为0.7,0.8 ，每人投三次，求：（1）两人进球数相等的概率？（2）甲比乙进球数多的概率？16： n( n2) 封不同的信装入 n 个不同的信封，求没有一封信装对的概率？17：甲乙丙同时向一敌机射击，命中的概率分别为0.4,05,0.7，又设若只有一人射中，飞机坠毁的概率为0.2，若两人射中，飞机坠毁的概率为0.6，若三人射中，飞机必坠毁，求（1）飞机坠毁的概率？（2）已知飞机坠毁，它是由甲乙丙三人同时击中的概率为多少？18：某类灯泡使用时数在1000 小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只

7、有一个坏的概率？k19：设昆虫生产k 个卵的概率为pkk !e，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率p(0p1) 为，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有l 条的概率为多少？20：设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的 45%、35%、20%，各车间的次品率依次为 4%、2%、5%，现从待出厂的产品中任取一件，求（1）这件产品为次品的概率？ （2）如果取到的产品为次品，则它是由甲车间生产的概率？21：抛一均匀的硬币五次，求（ 1）正面至少出现两次的概率？（2）正面恰好出现三次的概率？（ 3）已知正面至少出现两次，问恰好是三次的概率？22：装有 10 个白球 5 个黑球的罐中

8、丢失一球，但不知是什么颜色的，为了猜测它是什么颜色的， 随机地从罐中摸出两球， 结果都是白球， 问丢失的是黑球的概率？23：一猎人用枪向一只野兔射击，第一枪距离野兔 200 米远，如果未击中，他追到离野兔 150 米时进行第二次射击，如果仍未击中，他追到离野兔 100米远处再进行第三次射击， 此时击中的概率为1 ，如果第三次的命中率与2他到野兔的距离平方成反比，求猎人击中野兔的概率？24：甲袋中有 5 个白球 5 个黑球，乙袋和丙袋为空袋， 现从甲袋中任取 5 球放入乙袋，再从乙袋任取3 个球放入丙袋，最后在丙袋中任取一球，求：（1） 最后取出的是白球的概率？（2） 如果最后取出的是白球，那么

9、一开始从甲袋中取出的都是白球的概率？25：设某种产品 50 件为一批，一批产品中含有次品0,1,2,3,4 件的概率分别为 0.35,0.25,0.2,0.18,0.02 ，今从某批产品中任取 10 件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过2 件的概率？26：三架飞机（一架长机，二架僚机）一同飞往某一目的地进行轰炸，但要到达目的地需要无线电导航，只有长机有这种设备，到达目的地之前，必须经过敌方的高炮阵地上空， 这时任一飞机被击落的概率为 0.2，到达目的地后，各机将独立地进行轰炸， 炸毁目标的概率都是 0.3，求目标被炸毁的概率？参考答案：1：解：设 A 、B 分别表示第一、二次取红球，则有

10、（1） P( AB)767P( A)P(B | A)91510（2） P(AB)737P( A)P(B | A)930107（3） P(B)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)102：解：（1） P( A)C621 ；（2） P(B)C621 ；（3） P(C)C38C3810103：解：（1） P( A)P5312；（2） P( B)C32 C51C411253255325（3） P(C )C33C5115325C21C313C 214：解：（1） P( A)；（2） P(B)2，C53C53105（3） P(C)P( A)7P(B)10SA1185：解：由几何概率可得：（1）

11、218P(A)19SG2SB11（2） P(B)50SG12526：解：设 A、 B 分别表示第一、二次取正品，则有1C41（1） P(AB)P(A)P(B | A)82810945161（2） P( AB)P(AB)（3） P( A B)45P(A)P(B | A)45（4） P(B)P(A)215107：解：设 A、 B、C 分别表示密码被甲、乙、丙独自破译，则有（1） P(ABC )P( ABC)P( ABC)0.5 0.8 0.40.50.80.60.50.40.60.52（2） P( ABC )1P(A B C)10.50.20.40.96P(AB)P(B)P(AB)8：解：（ 1）

12、 P(B | A)P(A)0.851 P(A)P( AB)P( B) 0.85(1 P( A)P(A B) P(A)P( B)P( AB)0.988（2） P(A|B)P(AB)P( A)P(AB)0.0580.829P(B)1P(B)0.079：解：（ 1） P( AB )P( A)P( B)0.80.90.72（2） P( AB)P(A) P(B)0.80.10.08（3） P( AB)0.1810：解：设 A1 , A2 分别表示取到第一、二箱的产品，B1,B2分别表示第一、二次取到一等品，（1） P( A1 )P( A2) 0.5P(B1 )P( A1)P(B1 | A1)P( A2)

13、P(B1| A2)25P(B2| B1)P( B1B2 ) P(A1) P(B1B2 | A1 ) P( A2 )P( B1B2 | A2)P(B1)P( B1)（ 2）27500.52528411：解：设 A=“两件产品中有一件是不合格品”A1“两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品”A2“两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品”则 A A1 A2, AA1 A1, A1A2C422C61C4182P( A1)2, P( A2)215， P(A) P(A1) P(A2)C1015C103P(A1|A)P( AA1) P( A1)1P( A)P( A)512：解：设 B=“顾客买下该箱

14、产品” ， Ai (i0,1,2) 为该箱产品中次数，P( A0)0.8, P( A1 )0.1, P( A2 )0.1P(B | A0)1,P(B | A1)C1944, P(B | A2)C18412C2045C204192P(B)P( Ai ) P(B | Ai ) 0.94i0P( A0)P(B | A0)0.85（2） P( A0 | B)P(B)13：解：用 A 、B、 C 分别表示甲、乙、丙胜出，则CCCBA CCBACBA CL由事件的互不相容性及独立性可得：P(C)0.3 0.105 0.3 0.10520.3L0.30.33510.105B CBCBAB CBACBABLP

15、(B)0.35 0.105 0.350.1052 0.35 L10.350.3910.105P( A)1P(B) P(C ) 0.27414：解：用 Ai (i1,2,3, 4) 分别表示朋友坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机，B 表示迟到，则（1） P(B)4P( Ai )P( B | Ai )0.30.250.2 0.30.10.1 0.4 0 0.145i 0（2） P(A3 | B)P( A3) P(B | A3)2P( B)2915：解：用 A0 , A1 , A2 , A3 分别表示甲进球数分别为0，1，2，3 个，用 B0 , B1, B2 , B3分别表示乙进球数分别为0，1，2，3

16、 个，则有：333（ 1） P( Ai Bi )P( Ai Bi )P( Ai )P(Bi )i0i0i 03C3i 0.7i0.33i C3i 0.8i0.23i = 0.36332i 0（2） P( A1 B0A2 B0A3 B0A2 B1A3B1A3 B2 ) 0.2147616：解：设 A= “至少有一封信装对信封”Ai=“第 i 封信装对信封” i1,2,L, nP( Ai )( n 1)!11,2,L, n)P( Ai Aj )( n2)!n!(i, i j 1,2,L , nnn!P(AAA)(n3)! ,ijk1,2,L , n ， L Lijkn!1P( A1 A2 L An

17、 )n!nnnnP( A) P( Ai )P(Ai )P( Ai Aj )P( Ai Aj Ak )i 1i 11 i j n1 i j k n( 1)n 1 P( A1 L An )n (n1)!Cn2 (n2)!Cn3 (n3)!L( 1)1n!n!n!n!111L(1)n1 12! 3!n!P(A)1P( A)11L(1)n 12!3!n!17：解：Ai =“恰好有 i 个人同时击中飞机” i0,1,2,3B=“飞机坠毁”，则有P( A0)0.60.50.30.09P( A1)0.40.50.30.60.5 0.30.60.50.70.36P(A2)0.40.50.30.4 0.5 0.

18、70.60.50.70.41P( A3)0.40.50.70.14（1） P(B)3P( Ai )P( B | Ai )0.458i 0（2） P(A3P( A3) P(B | A3)14070| B)4580.306P( B)22918：解：用 A0 , A1 分别表示三个灯泡使用1000 小时以后无坏、坏一个，则有P( A0 A1)C33 0.23 0.80C31 0.220.80.104k19：解：Ak =“昆虫产 k 个卵”， P( Ak )e, k 0,1,2,Lk !B=“昆虫有 l 条后代”， P(B | Ak )0, k lCkl pl (1 p) k l , k lke Ck

19、l pl (1 p) k lP( B)P( Ak )P(B | Ak )k !k 0k l( p)l (1p)k l( p) lepl ! k l(kl )!l !20：解：设 A1 , A2 , A3 分别表示抽到甲、 乙、丙车间生产的产品， B=“抽到次品”，则有3（1） P(B)P(Ai ) P( B | Ai )0.450.040.350.020.2 0.05 0.35i1（2） P( A1 | B)P( A1 )P(B | A1) 18P( B)3521：解：设 Ai=“正面恰好出现 i 次”， i0,1,2,3,4,5 ，则由二项概率有51 C50 0.55C510.553（1）

20、P(Ai ) 1P( A0) P( A1)i216（2） P( A3)C53 0.555165P(A3)5135（3） P( A3 |Ai )5161613i 2P(Ai )i222：解：将丢失的球看不放回地取一球，A=“第一次取到黑球” ，B=“第二次取出两个白球”，则有C10245,P(B| A)C9236P(B | A)91C14291C142P(B)P( A)P( B | A)P( A) P( B | A)0.429P(A |B)P(A)P(B | A)0.384P(B)23：解：设 Ai =“猎人第 i 次射击击中野兔”， i1,2,3，B=“猎人击中野兔”Q P(A3)k1 ,k1

21、002100222P( A1)k1, P(A2)k2 ，由概率加法公式及事件独立性可得2002815029P(B)P( A1A1 A2A1 A2 A3)172771889890.66224：解：设 Ai =“从甲袋中取出的5 个球中有 i 个白球” i 0,1,2,3,4,5Bj =“从乙袋中取出的 3 个球中有 j 个白球” j 0,1,2,3 ，C=“最后从丙袋中取一球为白球”P(A )C5iC55i,P(A )1,P(A)25 ,P(A )100 ,iC105025212522252（1）100251P(A3), P(A4 ),P(A5)252252252521 ， P( B1)5105

22、P( B0)P( Ai )P( B0| Ai )P( Ai )P( B1 | Ai )i 0252i 02525105 ， P(B3)521P(B2)P( Ai ) P(B2 | Ai )P( Ai ) P(B3 | Ai )i0252i 025237P(C )P( Bj0.389) P(C | B j )j018（2） P(C | A5 )1,P(A5 | C)P( A5 )P(C | A5 )0.01P(C)25：解：设 Ai =“一批产品中有 i 件次品” i0,1,2,3,4，B=“任取 10 件产品，检查出一件次品”， P(B | Ai )Ci1C5010 i,i0,1,2,3,4C

23、5010P(B | A0) 0, P(B | A1)1,P(B |A2)805245P(B | A3)39 , P(B | A4)9889823034P(B)P( Ai )P( B | Ai ) 0.16i 0P( A0 A12P( Ai2P(Ai ) P(B | Ai )A2|B)| B)0.588i 0i 0P( B)26：解：A0 =“三机均未到达目的地”=“长机未到达目的地” ，A1 =“只有长机到达目的地” ， A2 =“长机同一僚机到达目的地” ，A3 =“三机都到达目的地” ， B=“目标被炸毁”P( A0)0.2,P(A1)0.8 0.220.032P( A2)C21 0.82

24、 0.20.265,P( A3) 0.830.512P(B | A0)P(B | A2)P(B | A3)0, P(B | A1)0.3,1P(B | A2)10.7 20.511P(B | A3)10.730.6573P(B)P( Ai ) P( B | Ai )0.477i 0（ 随机变量及其分布之计算题，每小题 10 分左右）1：口袋中有大小一样编号分别为：1,1,2,2,2,3 的六个球，从中任取一个，记取得的号码数 X ，求（ 1） X 的分布律；（ 2）分布函数 F ( x)2：一个袋中有 5 个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中随机地取出3 个，以 X 表示取出的 3 个

25、球中最大号码，求（ 1）X 的分布律；（ 2）分布函数 F ( x)3：设随机变量 X : B(6, p) ，已知P( X1)P( X5) ；求：（1） p ；（2） P( X2) ；（3） P(X2)4：设随机变量 X 服从泊松分布，且有：P( X1)P( X2) ，求：（1） X 的分布律；（2） P( X5) ；（3） P( X1)5：设随机变量 X 的密度函数 f ( x)Ax2 , x(0,1)求：（1）常数 A ；0, x(0,1)（2） P(| X | 1) ；（3）分布函数 F ( x)c, x(0,1)6：随机变量 X 的分布密度为f ( x)1x2；求：（1）常数 c ；0

26、, x (0,1)（2）计算 P( 1 X2)与P(2X1) ；（3）分布函数 F (x)227：随机变量 X 的概率密度为： f ( x)Ce |x| ；求（1）常数 C；（2） P( X(0,1) ；（2） 分布函数 F (x)8：设随机变量 X 服从（ 1， 6）上均匀分布，求方程 t 22Xt X10 有实根的概率？9：已知 X N (0,1) ，方程： t 2Xt10有实根的概率为多少？（附： (2) 0.9772）10：某产品的质量指标 X N (160,2 ) ，若要求 P(120X200)0.8 ，问：允许 最多为多少？（附：(1.3)0.9）11：设随机变量 X 的分布函数为

27、 F ( x)1(1 x)e x , x0；求（ 1）X 的密度0, x 0函数；（ 2） P(1 X6) ；（3） P( X5)。12：设随机变量 X 的分布函数为 F (x)ABarc tan x ，x，求：（1） 常数 A、B；（2） P( 1X3)；（ 3） X 的分布密度。13：设某顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：分钟）X : e(1) ，若等5待时间超过十分钟就离去，求（ 1）顾客某天去银行未等到服务离开的概率；（2）顾客一个月内去银行五次， 五次中至少有一次未等到服务离开的概率。14：某人上班所需的时间 X : N (30,100)（单位：分钟），已知上班时间是，他每天出

28、门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周五天工作制，一周至少迟到两次的概率。15：设 X : N (u, 2 ), P( X5)0.045 ， P( X 3) 0.618 ，求： u,16：已知随机变量 X 只能取：1,0,1, 三个值，相应的概率分别为：c,2 c,3c ；求：（1）常数 c ；（2） P( X1| X0) ；（3）分布函数 F (x)17：已知随机变量 X N (u,2 )，求： YX u 的分布？18：已知 X R(0,1) ，求： YX 2 的分布密度？19：已知 X N (0,1) ，求： YX 2 的分布密度？20：对球的直径作测量，设其值于(a,b) 上均匀分布，

29、求体积的分布密度？21：点随机地落在中心在原点， 半径为 R 的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求落点的横坐标的概率密度？22：设随机变量 X N (u, 2 ), P( X 0.5)0.0793 ，P( X 1.5) 0.761 ，求： u, 223：设 X 表示随机地在1，2，3，4 四个数中任取一个， Y 表示在 1 至 X 中随机地取一个，求 (1)（ X ，Y ）的联合分布？ (2)边缘分布 ?24：袋中装有标上号码为 1，2，2,3 的四个球，从中任取一个不放回再取下一个，记 X ，Y 分别为两次取得的球上号码，求 (1)（ X， Y ）的分布？(2)边缘分布 ?25：某射手在射击

30、中， 每次击中目标的概率为p(0p1) ，射击进行到击中目标两次为止，以 X， Y 分别表示第一、二次击中目标时的射击次数，求（ X， Y ）的联合分布与边缘分布？26：设（ X，Y ）的联合分布为：X012Y02a125251b322525且： P(Y 1| X0)3 ，求（ 1）常数 a,b ；（2）对于中的 a, b ，随机5变量X与Y独立吗？27：设（ X，Y ）服从区域 G 上的均匀分布，其中G( x, y) |: 0x1,| y |x ，求（ X ，Y ）的联合分布密度与边缘分布密度？28：设随机变量 X 、Y 相互独立，其分布密度为f (g) ，分布函数为 F (g) ，求min

31、( X ,Y ),max( X ,Y ) 的分布函数与分布密度？29：随机变量（ X ，Y ）的联合密度为：C (Rx2y2 ); x2y2R2f ( x, y)2y2R20, x求（1）常数 C，（ 2）随机向量（ X ，Y）落在圆 x2y2r 2 (rR) 内的概率？30：设（ X，Y ）的联合密度为Asin( x y);0 x,0yf (x, y)220; 其它求系数 A 及其边缘分布？31：设（ X，Y ）的联合密度为ke (3 x 4 y) ; x0, y0f (x, y)0;其它求（ 1）系数 K ，（2） P(0X1,0Y2) ，（3）证明 X 与 Y 相互独立。32: 已知二维

32、随机变量 (X,Y) 的联合密度为k(1x) y,0x1,0yxf ( x, y)0,其它求 (1)常数 k ;(2)边缘分布密度 ? (3)X 与 Y 是否独立 ?1133: 设(X,Y) 的密度为 : f (x, y)( x2 y2 ),求 ZX 2Y 2 的密度函数 ?e 2234: 设(X,Y) 的联合分布为 :Y123X11009221993221999求(1) Zmax( X ,Y ) 的分布律 ? (2) Zmin( X ,Y ) 的分布律 ?35: 设二维随机变量(X,Y) 服从 D( x, y) | 0x2,0y2 上均匀分布 ,求 Z X Y 的分布函数及分布密度 ?36:

33、 设随机变量 (X,Y) 的联合分布密度为 :x2kxy,0x1,0y2f (x, y)0,其它求 (1) 常数 k ; (2) 边缘分布密度函数 ; (3) P( X Y 1) .37: 设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 :k (6xy),0x2,0y4f ( x, y)0,其它求 : (1) 常数 k ;(2)边缘分布密度 ; (3)P( XY4)38: 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为Ax2 y,0xy1f ( x, y)0,其它求: (1)常数 A; (2) 边缘分布密度 ; (3) X,Y 独立吗 ?39: 设二维随机变量 (X,Y) 的联合密度为 :e y ,0xy

34、f (x, y)0,其它求: (1) 边缘分布密度 ; (2)P( XY 1)xe x40: 设 (X,Y) 的联合密度为 : f ( x, y)(1y)2 , x, y00, 其它求: (1) 边缘分布密度 ; (2) X,Y 独立吗 ?41: 在某年举行的高等教育大专文凭认定考试中 ,已知某科的考生成绩X : N (u,2 ) ,及格率为 25%,80 分以上的为 3%,求此科考生的平均成绩及成绩的标准差 ?42: 设 X : N(0,2) ,求使X在区间( ,)(0,0) 内取值的概率最大 ?参考答案：1：解：（ 1） P( X1) 1,P(X2)1, P(X3)13260, x11/ 3,1x2（2） F (x)x35/6,21, x32：解：（ 1） P( X3)11,P(XC323,P(X 5)C423C53104)10C535C530, x31/10,3x4（2） F ( x)2/5,4x51, x53：解：（ 1） P( X1)P( X5),C61 p(1p)5C65 p5 (1 p), p12（2） P( Xk )C6k (0.5) k , k0,1,2,3, 4,5,6（3） P(X 2) C62 ( 1)615264（4） P(X1) 1 P(X0)63642P( X1)P( X2),ee,24：解：（ 1）1!2!2kP( Xk)